1、高三数学 第 1 页（共 4 页） 2021 届高三年级期中学情检测 数 学 试 卷 一、一、单选题：本大题共单选题：本大题共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。题目要求的。 1已知集合 2 1,2,Am，1,Bm.若BA，则m （ ） A. B. 2 C. 0或 2 D. 1 或 2 2设xR，则 2 log (2)1x 是2x 的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 3已知 4 1 )75cos( ，则)230cos( （ ）
2、 A 4 3 B 4 5 C 5 8 D 7 8 4 把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量。 设 ( , )eA B是直线l的一个方向向量， 那么(, )nB A 就是直线l的一个法向量。借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离。已知 P 是直 线l外一点，n是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点 Q，那么PQ在法向量n上的投影向量 为cos n PQ n （）(为向量n与PQ的夹角） ，其模就是点P到直线l的距离d，即 PQ n d n 。据 此，请解决下面的问题：已知点 A(-4,0)，B(2,-1)，C(-1,3)，则点 A 到直线 BC 的距离是（ ） A 21 5 B7
3、 C 27 5 D8 5梯形 ABCD 中，AB/CD，CD=2， 3 BAD ，若2AB ACAB AD，则AC AD（ ） A12 B16 C20 D24 6已知函数 2 ( )(3)1f xmxm x，( )g xmx，若对于任意实数x，( )f x与( )g x的值至少有一个 为正数，则实数m的取值范围是（ ） A.(1,9) B.(3,+ ) C.(,9) D.(0,9) 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，包含单选题（18）多选题 912，填空题（第 13 题第 16 题，共 80 分） 、 解答题（第 1722 题，共 70 分）
4、。本次考试时间 120 分钟，满分 150 分、考试结束后，请 将答题卡交回。 2答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用 0.5 毫米的黑色签字 笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。 3 答题时请用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。 在试卷或草稿纸上作答一律无效。 高三数学 第 2 页（共 4 页） 7设点) 1 ,( 0 xM，若在圆 22 :1O xy上存在点 N，使得45OMN ，则 0 x的取值范围是（ ） A0,1 B 1,1 C 22 , 22 D 2 0, 2 8f(x)是定义域为0,的单调函数，对
5、任意的0,x，都有4)log)( 3 1 xxff，且方程 axf3)(在区间30，上有两解，则实数 a 的取值范围是（ ） A01a B1a C10 a D1a 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ） A若数列 n a的前n项和 2 ( n Sanbnc a，b，c
6、为常数）则数列 n a为等差数列 B若数列 n a的前n项和 1 22 n n S ，则数列 n a为等差数列 C数列 n a是等差数列， n S为前n项和，则 n S， 2nn SS， 32nn SS，仍为等差数列 D数列 n a是等比数列， n S为前n项和，则 n S， 2nn SS， 32nn SS，仍为等比数列. 10 函数 ( )sin()(0,0)f xAxA 的部分图象如图中 实线所示，图中圆 C与 ( )f x的图象交于 M，N两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是（ ） A函数 f(x)在 3 , 2 上单调递增 B函数 f(x)的图象关于点 2 ,0 3 成中心
7、对称 C函数 f(x)的图象向右平移 5 12 个单位后关于直线 5 6 x 成轴对称 D若圆半径为 5 12 ，则函数 f(x)的解析式为 3 ( )sin 2 63 f xx 11如图，四棱锥PABCD中，平面PAD底面ABCD，PAD是等边三 角形，底面ABCD是菱形，且60BAD，M 为棱 PD 的中点，N 为菱 形 ABCD 的中心，下列结论正确的有（ ） A直线 PB 与平面 AMC 平行 B直线 PB 与直线 AD 垂直 C线段 AM 与线段 CM 长度相等 DPB 与 AM 所成角的余弦值为 2 4 高三数学 第 3 页（共 4 页） 12已知函数 f x是定义在R上的奇函数，
8、当 x0 时， 1 x x f x e .则下列结论正确的是（ ）. A当 x0 时， 1 x f xex B函数 f x在R上有且仅有三个零点 C若关于 x 的方程 f xm有解，则实数 m 的取值范围是 22fmf D 12 ,x xR， 21 2f xf x 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答 题卡相应位置上题卡相应位置上 13曲线(sin )exyxx在点(0,0)处的切线方程为 14定义在(0,)上的函数( )f x满足( )0f x ，( )
9、fx为( )f x的导函数，且2 ( )( )3 ( )f xxfxf x对 (0,)x恒成立，则 (2) (3) f f 的取值范围是 15 若直线 y=kx 与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab )相交于不同的两点 A,B， F 为双曲线 C 的左焦点， 且满足3AFBF，OAb(O 为坐标原点)，则双曲线 C 的离心率为 16如图，边长为 2 的菱形 ABCD 中，60BCD，现将 ABD沿对角线BD折起，得到三棱锥PBCD.则当 二面角PBDC的大小为 2 3 时，三棱锥PBCD 的外接球的表面积为 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分请在答题卡指定区域 内
10、作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤 17. （本小题满分 10 分） 在2a ， 4 B ，3cb这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 在ABC中，a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边，且满足 sinsin3sinsinbaBAcBC. （1）求 A 的大小； （2）已知_，_，若ABC存在，求ABC的面积；若ABC不存在，说明理由. 18 （本小题满分 12 分） 等比数列 n a的前 n 项和为 * 234 ,2,4 n SnNSSS成等差数列，且 234 1 2 16 aaa. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 2 (2)log n a
11、 n bn，求数列 1 n b 的前n项和 n T. 高三数学 第 4 页（共 4 页） 19 （本小题满分 12 分） 已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PD=PB ,H 为 PC 上的 点，过 AH 的平面分别交 PB,PD 于点 M,N，且 BD/平面 AMHN （1）证明：MNPC； （2）当H为 PC 的中点， 3PAPCAB，PA 与平面ABCD 所成的角为60，求二面角PAMN-的余弦值 20 （本小题满分 12 分） “伦敦眼”坐落在伦敦泰晤士河畔， 是世界上首座观景摩天轮， 又称“千禧之轮”， 该摩天轮的半径为60m， 游客乘坐舱P升到半空可鸟瞰伦敦建 筑BC
12、， 伦敦眼与建筑之间的距离AB 为 120m， 游客在乘坐舱P看建筑BC 时的 视角为. （1）当乘客在伦敦眼的最高点 D 时 视角 30， 求建筑 BC 的高度； （2）当游客在乘坐舱P看建筑 BC 的 视角为45时，拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效 果最好的照片，求建筑 BC 的最低高度. （说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m） 21 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 4xy，F为其焦点，椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ， 1 F， 2 F为其左右焦点，离心率 1 2 e ，过F作x轴的平行线交椭圆 于,P Q两点， 4 6 |
13、 3 PQ . （1）求椭圆的标准方程； （2）过抛物线上一点A作切线l 交椭圆于,B C两点，设l与x轴的交 点为D，BC的中点为E，BC的中垂线交x 轴于点K，KED， FOD的面积分别记为 1 S， 2 S，若 1 2 18 49 S S ，且点A在第一象限求点A的坐标 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 2 lnf xxxx， 2 ln a g xxx x ，其中aR， 0 x是 g x的一个极值点， 且 0 2g x. （1）讨论函数 f x的单调性； （2）求实数 0 x和 a 的值； （3）证明 2 1 11 ln 21 2 41 n k n k （ * nN）. 高三
14、数学（答案） 第 1 页（共 6 页） 2021 届高三期中学情检测 数学参考答案 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。分。 18CADACDBA 9ABD 10BD 11ABD 12BD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 2yx 14 84 27 9 ， 15 3 16 28 3 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分分 17. （本小题满分 10 分） （1）因为sinsin3sinsinbaBAcBC， 又由正弦
15、定理 sinsinsin abc ABC ，得 3babacbc， 2 分 即 222 3bcabc ，所以 222 33 cos 222 bcbc A bcbc a ，因为0A， 所以 6 A . 4 分 （2）方案一：选条件和. 由正弦定理 sinsin ab AB ，得 2 sinsin2 2 sin4 sin 6 a bB A . 6 分 7 6412 CAB . 7212326 sinsin 124322224 所以 ABC 的面积 1126 sin2 2 231 224 SabC . 10 分 方案二：选条件和. 由余弦定理 222 2cosabcbcA，得 222 433bbb，
16、 则 2 4b ，所以2b. 所以32 3cb， 所以ABC的面积 111 sin2 2 33 222 SbcA . 10 分 方案三：选条件和，这样的三角形不存在，理由如下： 在三角形中，因为3cb由正弦定理得 高三数学（答案） 第 2 页（共 6 页） 26 sin3sin3sin31 422 CB ，不成立， 所以这样的三角形不存在. 10分 18.（1）设等比数列 n a的公比为q， 由 234 24,S SS成等差数列知， 423 422SSS， 所以 43 2aa ，即 1 2 q . 2 分 又 234 1 2 16 aaa，所以 23 111 1 2 16 a qa qa q，
17、所以 1 1 2 a ， 4 分 所以等差数列 n a的通项公式 1 2 n n a . 6 分 （2）由（1）知 1 ( ) 2 2 (2)log(2) n n bnn n 所以 111 11 (2)22 n bn nnn 8 分 所以数列 1 n b 的前n 项和： 1111111111 1 224511233 n T nnnn 1111 1 2212nn 323 42(1)(2) n nn 所以数列 1 n b 的前n项和 323 42(1)(2) n n T nn 12 分 19（1） 证明： 连结AC交BD于点O， 连结PO 因为ABCD为菱形， 所以BDAC ， 且O为AC、 BD
18、的中点，因为PDPB，所以POBD， 因为ACPOO且ACPO、平面PAC， 所以BD 平面PAC， 因为PC 平面PAC，所以BDPC 因为/ /BD平面AMHN， BD 平面PBD， 且平面AMHN平面PBDMN， 所以/BDMN， 所以MNPC 4 分 （2）由（1）知BDAC且POBD，因为PAPC，且O为AC 高三数学（答案） 第 3 页（共 6 页） 的中点， 所以POAC，所以PO平面ABCD，所以PA与 平面ABCD所成的角为PAO， 所以 13 , 22 AOPA POPA，因为3PAAB，所以 3 6 BOPA 分别以OA， OB， OP为 , ,x y z轴，建立如图所示
19、空间直角坐标系，设 2PA，则 3313 0,0,0 ,1,0,0 ,0,0 ,1,0,0 ,0,0 ,0,0, 3 ,0, 3322 OABCDPH 所以 2 3333 0,0 ,0,1,0 ,1,0, 3 3223 DBAHABAP 记平面AMHN的法向量为 1111 ,nx y z，则 11 111 2 3 0 3 33 0 22 n DBy nAHxz ， 令 1 0 x ，则 11 0,3yz，所以 1 1,0, 3n ， 8 分 记平面PAB的法向量为 2222 ,nxy z，则 222 222 3 0 3 30 nABxy nAPxz ， 令 2 1x ，则 22 3 3, 3
20、yz，所以 2 3 1, 3, 3 n ， 10 分 记二面角PAMN的大小为，则 12 12 12 39 coscos , 13 n n n n nn 所以二面角PAMN的余弦值为 39 13 12 分 20 （1）当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时， 30BDC，此时120ADAB，即45ABD， 所以105BCD.在等腰三角形ABD中， 120 2BD . 由正弦定理得 sin105sin30 BDBC ， 3 分 所以 120 2 120 3120 62 2 4 BC . 所以建筑BC的高度为120 3120米.5 分 （2）设建筑BC的高度为h， 高三数学（答案） 第 4 页（共 6 页
21、） 建立如图所示的直角坐标系，圆 22 :(60)3600M xy， 在PBC中，由正弦定理可知2 sin45 h R ， 所以 2 2 Rh，其中 R 是 PBC外接圆的半径 即PBC的外接圆的半径为 2 2 Rh. 7 分 由图可知PBC的外接圆的圆心坐标为120, 2 2 h h ， 所以点P在圆 22 2 :120,120 222 hhh Nxyx 上， 9 分 而点P又在圆 22 :(60)3600M xy上， 所以 22 22 601206060 2222 hh hh ， 解得 240(32)240(32) 77 h . 答：建筑 BC 的最低高度为 240(32) 7 时，可以拍
22、摄到效果最好的照片. 12 分 21解： （1）不妨设P在第一象限， 由题可知 2 6 ,1 3 P ， 22 81 1 3ab ， 2 分 又 1 2 e ，将ca2代入上式得： 22 81 1 123cc ， 可得1c，从而得 a=2,3 222 cab 椭圆的方程为 22 1 43 xy . 4 分 （2）设 2 0 0, 4 x A x 则切线l的方程为 2 00 24 xx yx 代入椭圆方程得： 4 223 0 00 3120 4 x xxx x， 高三数学（答案） 第 5 页（共 6 页） 设 112233 ,B x yC x yE x y， 则 3 012 3 2 0 223
23、xxx x x ， 22 000 33 2 0 3 2443 xxx yx x ， KE的方程为 23 00 22 000 32 4323 xx yx xxx ， 即 2 0 2 0 0 2 43 x yx xx ， 令0y 得 3 0 2 0 83 K x x x ， 在直线l方程中令0y 得 0 2 D x x， 2 2 2 00 4 1 24 xx FD 6 分 2 3 00 00 22 00 34 28383 xx xx DK xx ， 0 0 2 , 2 FDBC x kk x ， 8 分 1 FDBC kk ，FD BC， DEKFOD， 22 2 00 1 22 2 2 0 94
24、 18 49 163 xx SDK SFD x . 10 分 化简得 22 00 177240 xx， 0 2x（ 0 2x 舍去） A的坐标为2,1. 4 223 0 00 3120 4 x xxx x， 4 6242 0 0000 4 3123481440 4 x xxxx ， 因为 2 0 084 7x ，故此解符合题意 12 分 22. （1）函数 f x的定义域为0,，且 22ln2fxxx，令 h xfx， 高三数学（答案） 第 6 页（共 6 页） 则有 21x h x x ，由 0h x 可得1x ，如下表： 所以 10h xh，即 0fx ， f x在0,上单调递增； 2 分
25、 （2）函 数 g x的定义域为0,，且 2 2ln 1 ax gx xx 由已知，得 0 0g x，即 2 000 2ln0 xxxa 由 0 2g x可得 2 2 0000 ln20 xxxxa 联立消去 a 可得 2 000 2ln2ln20 xxx 令 2 2ln2ln2t xxxx，则 2ln12ln2 2 xxx tx xxx 由知ln10 xx ，故 0tx ，所以 t x在0,上单调递增 10t，所以方程有唯一解 0 1x ，代入，可得1a . 6 分 （3）由（1）知 2 2 lnf xxxx在0,上单调递增， 故当1,x， 11f xf，所以 22 112ln 10 f xx gx xxx ， 可得 g x在 1,上单调递增。当 1x 时， 12g xg，即 21 ln2xx x 亦即 2 21 lnxx x ，这时 1 0 x x ，ln0 x ，故得 1 lnxx x 取 21 21 k x k ， * kN，可得 2121 ln 21ln 21 2121 kk kk kk 而 2 21212 2121 41 kk kk k 故 2 11 2 ln 21ln 21ln 21 41 nn kk kkn k 所以 2 1 11 ln 21 2 41 n k n k . 12 分 x 0,1 1 1, h x 0 h x 减 极小值 增
