1、 20202020- - 2021 2021 学年度第一学期学年度第一学期期中期中检测试题检测试题 高三数学高三数学 2020. I12020. I1 ( (全卷全卷满分满分分分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟分钟) ) 一、单项选择题一、单项选择题( (本大题共本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，中， 只有一项符合要求只有一项符合要求). ). 1. 1.已知复数已知复数 z z 满足满足(1 (1- -i)z=2i)z=2，i i 为虚数单位，则为虚数单位，则 z
2、z 等于等于( ( ) ) A. 1A. 1- -I I B.1+B.1+I I C.C. D.D. + 2. 2.已知集合已知集合 A=x|(x+1)(xA=x|(x+1)(x- -2)02)0，B=x|B=x|2, 2, 则则 A AB=(B=( ) ) A. A. - -1,01,0 B. 0,B. 0,1 1 C. (0,2C. (0,2 D. 0,2D. 0,2 3. 3.已知已知 a=a=.， b=b=., c=, c=.，则，则 a,b,a,b,c c 的大小关系为的大小关系为( ( ) ) A. abcA. abc B. acbB. acb C. bacC. bac D. bc
3、aD. bca 4. 4.已知函数已知函数 f(x) =f(x) = ( + ) + , 1sinx1 B.“a1B.“a1是是 1” , ,则则ABCABC 为锐角三角形为锐角三角形 D.D.在在ABCABC 中，内角中，内角 A,B,CA,B,C 的对边分别为的对边分别为 a,b,ca,b,c，若，若 sin2A= sin2Bsin2A= sin2B，则则 A=BA=B 10.10.若函数若函数 f(x)= sin2.xf(x)= sin2.x 的图象向右平移工个单位得到的图象对应的函数为的图象向右平移工个单位得到的图象对应的函数为 g(x)g(x)，则下列说，则下列说 法中法中正确的是正
4、确的是( ( ) ) A. g(x) A. g(x) 的图象关于的图象关于 x=x= 对称 对称 B.B.当当 x x0,0, 时， 时， g(x) g(x) 的值域为的值域为 - - , , C.C.g g(x) (x) 在区间在区间( ( ) )上单调递减上单调递减 D.D.当当 x0,x0, 时，时， 方程方程 g(x)=0g(x)=0 有有 3 3 个根个根. . 11.11.已知函数已知函数 f(x)f(x)的定义域为的定义域为 R, f(x+1)R, f(x+1)为奇函数，为奇函数， 且且 f(2+x)=f(2f(2+x)=f(2- -x), x), 则则( ( ) ) A. f(
5、A. f(1 1)=0)=0 B. f(x)= f(x+4)B. f(x)= f(x+4) C. C. f f(x+1)=(x+1)=- -f( f(- -x x- -1) 1) D. y= f(x)D. y= f(x)在区间在区间0,500,50上至少有上至少有 2525 个零点个零点 12.12.已知正数已知正数 x,y,zx,y,z 满足满足 = = = =. .则下列说法中正确的是则下列说法中正确的是( ( ) ) A.A. + + = = B.3x4y 6zB.3x4y 6z C. x+y(C. x+y( + +) )z z D. xy2D. xy2 三三. .填空题填空题( (本大
6、题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分) ) 13.13.已知幂函数已知幂函数 y= f(x)y= f(x)的图象过点的图象过点(2.(2. ) )，则曲线 ，则曲线 y= f(x)y= f(x)在点在点(,1)(,1)处的切线方程为处的切线方程为 14.14.在在ABCABC 中，中，BAC=BAC= ， ， AB=2AB=2，AC=3, AC=3, =2 =2 ，则 ，则 . . = =. . 15.15.黄金比例，用希腊字母黄金比例，用希腊字母 表示，借用古希腊数学家欧几里德的话表示，借用古希腊数学家欧几里德的话: :当整条线段的长度与当整条
7、线段的长度与 线段线段中较长段的比例等于较长段与较短段的比例时，就是根据黄金比例来分割中较长段的比例等于较长段与较短段的比例时，就是根据黄金比例来分割- - - -线段线段. .从下图从下图 我我们可以更直观地感受黄金比例们可以更直观地感受黄金比例: :用用 A,BA,B 分别表示较长段与较短段的线段长度，于是将欧几里分别表示较长段与较短段的线段长度，于是将欧几里 德的描述用代数方法表示出来德的描述用代数方法表示出来: := = + : ,: ,从而可以解出从而可以解出 的值的值. .类似地类似地, ,可以定义其他金属比可以定义其他金属比 例例. .假设把线段分成假设把线段分成 n+1n+1
8、段，段， 其中有其中有 n n 段长度相等，记这段长度相等，记这 n n 段的每一段长为段的每一段长为 A.A.面剩下的一段长面剩下的一段长 为为 B (B (长度较短的长度较短的). ).如果如果 A A 与与 B B 之比等于整条线段的长与之比等于整条线段的长与 A A 之比，我们用之比，我们用来表示这个比例，来表示这个比例， 即即= = 对于 对于 n(nn(n+N)N)的每的每个值对应个值对应一一个个，则称，则称为金属比例为金属比例. .当当 n=1n=1 时，即为黄金比例，时，即为黄金比例， 此时此时 = = + ; ;当当 n=2n=2 时，时，即为白银比例，我们用希腊字母即为白银
9、比例，我们用希腊字母 o o 表示该比例，则表示该比例，则 =_=_ 16.16.已知函数已知函数 f(x)=f(x)= , , ,其中其中 a0,a0,若函数若函数 g(x)=f(x)g(x)=f(x)- - 3|x|3|x|有两个零点，则实数有两个零点，则实数 a a 的取值范围是的取值范围是_ 四、解答题四、解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题，计小题，计 7070 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤) ) 17. (17. (本小题满分本小题满分 1010 分分) ) 在在a=a=,S=,S= cosB cosB，
10、C=C= 这三个条件中任选 这三个条件中任选- -一个，补充在下面问题中，并对一个，补充在下面问题中，并对其进其进 行求解行求解. . 问题问题: :在在 BCBC 中，内角中，内角 A, B,CA, B,C 的对边分别为的对边分别为 a,b,c,a,b,c,面积为面积为 S S， bcosA=acosC+ccosAbcosA=acosC+ccosA，b=1,_b=1,_，求，求 c c 的值的值. . 注注: :如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 18. (18. (本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 已知函数已知函数 f(x)=
11、f(x)=+ +sin(x+sin(x+ )sin(x )sin(x- - ) )- - (1)(1)求求 f(x)f(x)的最小正周期及对称中心的最小正周期及对称中心; ; (2)(2)若若 f(a)=f(a)= , ,且 且 a(a( , ) )，求 ，求 cos 2acos 2a 的值的值. . 19. (19. (本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 已知函数已知函数 f(x)=f(x)=+- - (a0(a0 且且 a1)a1)是定义在是定义在 R R 上的奇函数上的奇函数. . (1)(1)求实数求实数 k k 的值的值: : (2)(2)若若 f()0,f() 0f(x)
12、0 恒成立，求正整数恒成立，求正整数 m m 的值的值: : (2)(2)当当 x0 x0 时，判断函数时，判断函数 g(x)g(x)的零点个数，并证明你的结论，的零点个数，并证明你的结论， 参考数据参考数据: : 4.8 4.8 20202021 学年度第一学期期中检测试题学年度第一学期期中检测试题 高高 三三 数数 学学 参参 考考 答答 案案 1B 2D 3A 4B 5C 6A 7A 8C 9 AB 10 AC 11 ABD 12 ACD 13230 xy 14 11 3 15 21 16 (0,1)7,) 17 在ABC中，因为3 coscoscosbAaCcA， 所以根据正弦定理得3
13、sincossincossincosBAACCA 2 分 所以3sincossinBAB,因为sin0B ，所以 3 cos 3 A 5分 选择，由余弦定理 222 2cosabcbcA得 2 2 3 10 3 cc ，解得3c 10 分 选择， 1 cossin 22 c SBbcA，所以cossincos() 2 BAA 所以 2 BA ，即 2 C ，解得3c 10 分 选择， 3 C ，因为 36 sinsin()sincoscossin 3336 BAAA ， 所以由 sinsin cb CB 得 sin 2 64 sin bC c B 10 分 18 (1) 1cos23 ( )3
14、sin()sin() 22662 x f xxx 31 cos22cos()sin() 2266 xxx 31 cos2sin(2) 223 xx 3113113 cos2(sin2cos2)(sin2cos2) 2222222 xxxxx 1 sin(2) 23 x . 4 分 所以( )f x的最小正周期 2 2 T . 5 分 由2,Z 3 xkk 得,Z 26 k xk ，所以( )f x的对称中心为(,0),Z 26 k k . 6 分 (2) 由 1 ( ) 6 f得 1 sin(2) 33 ，因为(,) 12 3 ，所以2(, ) 32 ， 所以 22 12 2 cos(2)1s
15、in (2)1( ) 3333 ， 8 分 所以cos2cos(2)cos(2) cossin(2) sin 333333 2 2 11332 2 32326 . 12 分 19 (1) 方法方法 1：因为 f x是R上的奇函数，所以 010 k fa ，解得0k 3 分 下面检验，此时 xx f xaa，故()( ) xx fxaaf x ，所以( )f x为奇函数 5 分 方法方法 2 2：因为( )f x为奇函数，所以()( )fxf x ，即 +x kxxx k aaaa ， 1 分 即)(10) xxk aaa ， 3 分 所以10 k a ，解得0k 5 分 (2)由 10f得 1
16、 0a a ，解得01a， 6 分 所以 xx f xaa是 R 上的减函数， 7 分 因为( )f x为奇函数,所以由 2 3 +4210ftxfx得 22 3 +42121ftxfxfx 因为 f x是 R 上的减函数，所以 2 3421txx对任意 1,1t 成立 9 分 令 22 ( )3421352g ttxxtxx ，则( )0g t 对任意 1,1t 成立， 等价于 2 2 (1)3520 ( 1)3520 gxx gxx , 10 分 解得11x ，所以x的取值范围是 11 ，. 12 分 20 (1) 因为平面 11 ABB A 平面 11 AAC C， 1 BEAA， BE
17、 平面 11 ABB A，平面 11 ABB A平面 11 AAC C 1 =AA， 所以BE 平面 11 AAC C， 4 分 又因为 11 C A 平面 11 AAC C，所以 11 BEC A. 5 分 (2)方法 1： （综合法）（综合法）作 1 EFCC于F，因为 1 BECC， ,BEEFE BE平面BEF， EF 平面BEF，所以 1 CC 平面BEF，因为BF 平面BEF，所以 1 BFCC, 所以BFE即为二面角 1 BCCA的平面角. 9 分 （注：对于作出了平面角，但没有证明的给 2 分） 在菱形 11 ABB A中，由2AB 、 1= 4 BAA ，可求得2BE . 在
18、菱形 11 AAC C中，由2AB 、 1 = 3 A AC ，可求得3EF 10 分 所以在RtBEF中，3EF ，= 5BF，故可求得 15 cos 5 BFE. 所以二面角 1 BCCA的余弦值为 15 5 . 12 分 方法 2： （向量向量法）法）作 1 EFCC于F，则 1 EFAA，因为平面 11 AAC C 平面 11 ABB A， EF 平面 11 AAC C，平面 11 ABB A平面 11 AAC C 1 =AA，所以EF 平面 11 ABB A， 以E为坐标原点，,EA EB EF所在直线分别为, ,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系 6 分 F B C A C1
19、 B1 A1 E E A1 B1 C1 A C B 在菱形 11 ABB A中，由2AB 、 1= 4 BAA ，可求得2AEBE. 在菱形 11 AAC C中，由2AB 、 1 = 3 A AC ，可求得3EF ，21CF ， 所以点B的坐标为 2 00， ，点 1 B的坐标为 22 0 ， ，点C的坐标为 203-1， ，. 由(1)知BE 平面 11 AAC C，所以平面 1 AC C的一个法向量 1 0,1,0n ， .8 分 设平面 1 BC C的法向量 2 , ,nx y z， 则 21 2 0 0 nBB nBC ，即 20 230 x yz ，取032xyz， 则平面 1 BC
20、 C的一个法向量 2 0, 3, 2n .10 分 所以 11 315 cos, 55 n n， 11 分 所以二面角 1 BCCA的余弦值为 15 5 . 12 分 21 (1) 1 22 11 ()() 485 678476 ()() ii i i i n nn i i xxy yy r y xx 3 分 4854854806624 6 7.515568048080 5180 5151 ， 5 分 所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关. 6 分 注：这里处理方案很多，例如： 485485 4852352254 0.7290.64 678 4763227285678 476
21、 r ； 485485 4854854 0.7 678 4766785678 476 r ； 485480480124 =0.7 680175678 476680480 r ； 485485 48597 974 0.72 680480136 965678 476 r . (2) 由题意得：X的可能取值为 0，1，2，3，4. 根据赋分规则可知，7 个人赋分为 2，4 个人赋分为 1，9 个人赋分为 0. 所以 9 2 2 20 36 (0) 190 C P X C ， 49 11 2 20 36 19 (1) 0 C C P X C ， z x y E A1 B1 C1 A C B F 211
22、 2 20 479 1 6 0 9 (2 9 ) CC C P X C ， 11 47 2 20 2 3 8 1 0 ( 9 ) C C P X C ， 2 7 2 20 (4) 21 190 C P X C . 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 36 190 36 190 69 190 28 190 21 190 所以 3636692821342 190190190 9 ()01234 1901901905 E X 12 分 22 (1)方法方法 1：分离参数得 当 2 x 时，不等式 2 x e m x 恒成立， 令 2 ( ) x e h x x ，则 22 (2)(1)2
23、 ( )0 xxx e xeex h x xx ， 2 分 所以( )h x在,) 2 上递增，所以 2 min 228 ( )( ) 25 2 e h xh ， 3 分 因为 28 12 5 ，所以正整数m的值为 1. 4 分 方法方法 2：( ) x fxem. 当 2 me 时，( )0fx，所以( )f x在,) 2 上递增，所以 2 min ( )()20 22 f xfem ， 即 2 228 5 2 e m ，又 28 12 5 ，所以正整数m的值为 1. 2 分 当 2 me 时，令( )0 x f xem，则lnxm. 当(,ln) 2 xm 时，( )0fx，所以( )f
24、x在(,ln) 2 m 上递减； 当(ln,)xm时，( )0fx，所以( )f x在(ln,)m 上递增. 所以 min ( )(ln)ln2(1ln)20f xfmmmmmm，这与( )0f x 恒成立矛盾，故不符合. 综上得：正整数m的值为 1. 4 分 (2) 当0 x 时， 函数( )g x有 2 个零点. 5 分 证明如下：显然(0)0g，所以 0 是( )g x的一个零点， 6 分 当 2 x 时，( )sincos120 xx g xexxxex ，所以( )g x无零点； 7 分 当0 2 x 时，( )2cossin x g xexxx，令( )( )2cossin x h xg xexxx， 则( )( )3sincos0 x h xg xexxx，所以( )g x在0, 2 上递增 又(0)10, g 2 ()0 22 ge ，所以存在唯一 1 (0,) 2 x 使得 1 ()0g x. 9 分 所以当 1 (0,)xx时，( )0g x，故( )g x递减；当 1 (,) 2 xx 时，( )0g x，故( )g x递增； 因为(0)0g，所以 1 ()0g x，又 2 ()20 2 ge ， 所以存在唯一 21 ( ,) 2 xx 使得 2 ()0g x 综上得：当0 x 时， 函数( )g x有 2 个零点. 12 分
