1、第 1 页 共 21 页 2019-2020 学年辽宁省本溪市高二下学期验收数学试题学年辽宁省本溪市高二下学期验收数学试题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合 2 |1Mx x， |1Nx ax，若，若NM，则实数，则实数a的取值集合为的取值集合为 （ ） A1 B 1,1 C1,0 D1, 1,0 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 先求出集合 M=x|x2=1=1，1， 当 a=0时， N=， 成立； 当 a0时， N= 1 a ， 由 NM，得 1 1 a 或 1 a =1由此能求出实数 a 的取值集合 【详解】 集合 M=x|x2=1=1，1，N=x|ax=1，NM， 当 a=
2、0 时，N=，成立； 当 a0 时，N= 1 a ， NM， 1 1 a 或 1 a =1 解得 a=1或 a=1， 综上，实数 a的取值集合为1，1，0 故选 D 【点睛】 本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想，是基础题 2设命题设命题 p：所有矩形都是平行四边形，则 ：所有矩形都是平行四边形，则 p 为（为（ ） A所有矩形都不是平行四边形所有矩形都不是平行四边形 B有的平行四边形不是矩形有的平行四边形不是矩形 C有的矩形不是平行四边形有的矩形不是平行四边形 D不是矩形的四边形不是平行四边形不是矩形的四边形不是平行四边形 【答
3、案】【答案】C 【解析】【解析】根据全称量词命题 p的否定是存在量词命题，判断即可. 【详解】 解：命题p：所有矩形都是平行四边形， 则 p 为：有的矩形不是平行四边形. 第 2 页 共 21 页 故选：C. 【点睛】 本题考查了全称量词命题的否定命题应用问题，是基础题. 3设设、是两个不同的平面，是两个不同的平面，m、 、n是两条不同的直线，有下列命题：是两条不同的直线，有下列命题： 如果如果mn，m，/ /n，那么，那么； 如果如果m，/n，那么，那么mn； 如果如果/ /，m，那么，那么/ /m； 如果平面如果平面内有不共线的三点到平面内有不共线的三点到平面的距离相等，那么的距离相等，那
4、么/ /； 其中正确的命题是（其中正确的命题是（ ） A B C D 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 根据线面垂直与线面平行的性质可判断;由直线与平面垂直的性质可判断; 由直线与平面平行的性质可判断;根据平面与平面平行或相交的性质,可判断. 【详解】 对于如果mn,m,/ /n,根据线面垂直与线面平行性质可知或/ / 或,所以错误 对于如果m,/n,根据直线与平面垂直的性质可知mn,所以正确; 对于如果/ /,m,根据直线与平面平行的判定可知/ /m,所以正确; 对于如果平面内有不共线的三点到平面的距离相等,当两个平面相交时,若三个 点分布在平面的两侧,也可以满足条件,所以/ /错误,所
5、以错误; 综上可知,正确的为 故选:B 【点睛】 本题考查了直线与平面平行、直线与平面垂直的性质,平面与平面平行的性质,属于中档 题. 4若直线若直线 220axya 与与3(5)50 xay平行，则平行，则a的值为（的值为（ ） A2 B1 或或 3 C3 D2 或或 3 【答案】【答案】A 第 3 页 共 21 页 【解析】【解析】根据直线平行得到(5)2 3a a ，排除重合情况，计算得到答案. 【详解】 因为直线220axya与3(5)50 xay平行 所以(5)2 3a a ，解得2a或3a 当3a 时，这两条直线重合，排除，故2a. 故选A 【点睛】 本题考查了根据直线平行求参数，
6、忽略掉重合的情况是容易犯的错误. 5已知实数已知实数0 x， 0y ，则，则“1xy ”是是“2 24 xy ”的（的（ ） A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案】【答案】B 【解析】【解析】通过举反例得到“1xy ”推不出“2 24 xy ”；再由 “2 24 xy ”“1xy ”.能求出结果 【详解】 解：实数0 x，0y ，当3x ， 1 4 y 时， 1 3 4 22224 xy ， “1xy ”推不出“2 24 xy ”； 反之，实数0 x，0y ，由基本不等式可得2 22 2 xyx
7、y ， 由不等式的基本性质得2 2 224 x yxy ，整理得2 4 x y ，2xy ， 由基本不等式得 2 1 2 xy xy ，即“2 24 xy ”“1xy ” 实数 0 x， 0y ，则“1xy ”是“2 24 xy ”的必要不充分条件 故选：B 【点睛】 本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是中等题 6 两个公比均不为两个公比均不为1的等比数列的等比数列 , nn ab， 其， 其前前 n项的乘积 项的乘积 分别为分别为, nn A B， 若， 若 5 5 2 a b ， 第 4 页 共 21 页 则则 9 9 A B (
8、( ) ) A512 B32 C8 D2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】直接利用等比数列的性质化简 9 9 A B ,再代入 5 5 2 a b 即得解. 【详解】 由题得 9 9 9129192855 9 9129192855 ()()() 2512 ()()() Aa aaa aaaaa Bb bbb bb bbb . 故答案为 A. 【点睛】 (1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能 力.(2) 等比数列 n a中，如果m npq,则 mnpq aaa a ,特殊地，2m pq 时， 则 2 mpq aa a， m a是 pq aa、 的等比中项
9、. 7已知函数已知函数 1 ( )lnsin 1 x f xx x ，则关于，则关于a的不等式的不等式 2 (2)(4)0f af a的解集的解集 是（是（ ） A( 3,2) B( 3，2) C(2, 5) D( 3, 5) 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先判断函数为奇，从而将不等式转化为 2 (4)(2)(2)f af afa ，再 判断函数在( 1,1)上单调递增，可得 2 2 121 141 42 a a aa ，解不等式组可得答案. 【详解】 解：由题意可得， 1 0 1 x x ，解可得，11x ， 又 11 ()lnsin()lnsin( ) 11 xx fxxxf x x
10、x ， 因为 1 ln 1 x y x ， sinyx 在( 1,1)上单调递增， 所以 ( )f x在( 1,1) 上单调递增， 由 2 (2)(4)0f af a可得 2 (4)(2)(2)f af afa ， 第 5 页 共 21 页 所以 2 2 121 141 42 a a aa ，解可得，2 5a 故选：C. 【点睛】 本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关 键，综合考查函数性质的应用 8唐朝著名的凤鸟花卉浮雕银杯（如图唐朝著名的凤鸟花卉浮雕银杯（如图 1 所示） ，它的盛 所示） ，它的盛酒部分可以近似地看做是半球酒部分可以近似地看做是半球 与
11、圆柱的组合体（如图与圆柱的组合体（如图 2） ，当这种酒杯内壁表面积固定时（假设内壁表面光滑，表面） ，当这种酒杯内壁表面积固定时（假设内壁表面光滑，表面 积为积为S平方厘米，半球的半径为平方厘米，半球的半径为R厘米） ，要使酒杯容积不大于半球体积的两倍，则厘米） ，要使酒杯容积不大于半球体积的两倍，则R 的取值范围为（的取值范围为（ ） A 3 0, 10 S B 3 , 10 S C 3 , 510 SS D 3 , 102 SS 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据题意,酒杯内壁表面积为圆柱与半球的表面积,列出S的表达式,再求出体积 V,解不等式即可. 【详解】 设圆柱的高度与半球的
12、半径分别为h,R, 则表面积 2 22SRRh ,故 2 2 S RhR, 所以酒杯的容积 323233 224 () 332323 SS VRR hRRRRRR , 所以 2 5 23 S R, 第 6 页 共 21 页 又 2 0 2 S R, 所以 22 5 23 S RR,解得 3 102 SS R , 故选:D. 【点睛】 本题考查了组合体的体积和表面积的计算,难度不大. 9过坐标原点过坐标原点O作圆作圆 22 341xy的两条切线，切点为的两条切线，切点为,A B，直线，直线AB被圆被圆 截得弦截得弦AB的长度为的长度为( )( ) A 4 6 5 B 2 6 5 C6 D 3 6
13、 5 【答案】【答案】A 【解析】【解析】求得圆的圆心坐标和半径，借助 11 222 AOM AB SOAMAOM ， 即可求解. 【详解】 如图所示，设圆 22 341xy的圆心坐标为(3,4)M，半径为1r ， 则 22 345OM , 2 51242 6OA ， 则 11 222 AOM AB SOAMAOM ，可得 24 6 5 OAMA AB OM ， 故选 A. 【点睛】 第 7 页 共 21 页 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着 重考查了推理与运算能力，属于基础题. 10已知已知P为椭圆为椭圆 2 2 1 4 x y上任意一点，上任意一
14、点， 1 F， 2 F是椭圆的两个焦点，则是椭圆的两个焦点，则 12 | |PFPF 的最小值为（的最小值为（ ） A4 B3 C2 D1 【答案】答案】D 【解析】【解析】设出P的坐标，利用距离公式转化求解 12 | |PFPF的表达式，利用三角函数的 最值求解 12 | |PFPF的最小值. 【详解】 解： 由题意： 椭圆 2 2 1 4 x y， 设 (2c o s ,s i n )P， 1 F， 2 F是椭圆的两个焦点( 3， 0). 2222 12 (2cos3)(sin)(2cos3)(sin)PFPF 22 (3cos44 3cos ) (3cos44 3cos ) 222222
15、 (3cos4)48cos(3cos4)43cos1，当且仅当 cos1时，取等号. 即 12 | |PFPF的最小值为 1. 故选：D. 【点睛】 本题考查了椭圆的简单性质，三角函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力. 属中档题， 11已知点已知点0,2A，抛物线，抛物线 1: C 2 yax0a 的焦点为的焦点为F，射线，射线FA与抛物线与抛物线C相相 交于点交于点M，与其准线相交于点，与其准线相交于点N.若若:1: 5FMMN ，则，则a的值为（的值为（ ） A 1 4 B 1 2 C1 D4 【答案】【答案】D 【解析】【解析】作出M在准线上的射影，根据:1: 5FMMN ，确定
16、:KNKM的值， 进而求出a的值. 【详解】 第 8 页 共 21 页 解：依题意，点F的坐标为,0 4 a ，设点M在准线上的射影为K，如下图所示： 由抛物线的定义知MFKM，由:1: 5FMMN ， 则:2:1KNKM . 028 0 4 FNFA kk a a ，2 FN KN k KM ， 8 2 a ，解得4a. 故选：D. 【点睛】 本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 12设双曲线设双曲线 22 22 1(0,0) yx Cab ab ：的一个焦点为的一个焦点为F，过，过F作双曲线作双曲线C的一条渐的一条渐 近线的垂线，垂足为近线的垂线，垂足为A，
17、且与另一条渐近线交于点，且与另一条渐近线交于点B，若，若3 2OFOBOA ，则双曲，则双曲 线线C的离心率为的离心率为( ) A 2 B2 2 C 2 3 3 D 14 3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】分析：由3 2OFOBOA 可得2 22OFOAOB OFAFFB ， 求 得双曲线 22 22 :1(0,0) yx Cab ab 的渐近线方程，联立求得A B， 坐标，根据向量 坐标运算，整理即可求得双曲线的离心率； 详解： 22 22 1(0,0) yx ab ab 的一条渐近线OA为 b yx a ，另一条渐近线 第 9 页 共 21 页 OB为 b yx a ， 过其焦点0F
18、c（， ）的直线FA与 b yx a ，垂直， FA的方程为 a yxc b ：（）， 由 () b yx a a yxc b 得垂足 A 的横坐标 2 a x c ab y c 则 2 aab A cc （， ）， 进而可得： 2 2222 a cabc B baba （，） 由由3 2OFOBOA 可得2222,OFOAOBOFAFFBFAFB 22 422442 22 237403740 aa c ccca caee cba （） ， 2 42 3 ,. 33 ee 故选 C. 点睛：本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查双曲线的离心率公式，考查计 算能力，属于中档题. 二、填空题
19、二、填空题 13已知一个双曲线的方程为：已知一个双曲线的方程为： 22 1 32 xy mm ，则，则m的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】3m或2m. 【解析】【解析】由双曲线方程所满足的条件可得(3)m与(2)m同号可得m的范围. 【详解】 解：由双曲线的方程可得(3)(2)0mm，解得3m或2m， 故答案为：3m或2m 【点睛】 本题考查双曲线的标准方程，属于基础题. 14角角是是ABC的一个内角，且的一个内角，且 1 sincos 5 ，则，则tan_. 第 10 页 共 21 页 【答案】【答案】 3 4 . 【解析】【解析】利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，求
20、出 24 2sincos0 25 ，确定出sincos大于 0，利用完全平方公式求出 sincos的值，联立求出sin与cos的值，即可确定出tan的值. 【详解】 解：因为 1 sincos 5 ， 所以 222 1 (sincos)sincos2sincos12sincos 25 ， 整理得： 24 2sincos0 25 ， 所以 222 49 (sincos)sincos2sincos1 2sincos 25 ， 因为为ABC的一个内角，且 24 2sincos0 25 所以sin0，cos0，即sincos0， 所以 7 sincos 5 ， 联立 1 sincos 5 7 sinc
21、os 5 ，解得： 3 sin 5 ， 4 cos 5 ， 则 3 tan 4 . 故答案为： 3 4 【点睛】 此题考查利用同角三角函数关系求值、利用角的范围判断三角函数的正负，是基础题. 15定义在定义在R上的偶函数上的偶函数 ( )f x对于任意的 对于任意的xR有有(1)(1)fxfx，且当，且当 2x ， 3时， 时， 2 ( )69f xxx ，若函数，若函数( ) logayf xx在在(0, )上只有六个零点，则 上只有六个零点，则 实数实数a_. 【答案】【答案】 1 6 . 【解析】【解析】由(1)(1)f xfx，得到函数是以 2为周期的周期函数，结合当 2x ，3 时，
22、 2 ( )69f xxx ，画出函数 ( )f x的图象，然后利用数形结合法求解即可. 第 11 页 共 21 页 【详解】 由函数 ( )f x是定义在R上的偶函数，且(1)(1)fxfx 成立， 可得(2)()( )f xfxf x， 函数( )f x是定义在R上的周期为 2 的偶函数， 当 2x ，3时， 2 ( )69f xxx . 函数( ) logayf xx在(0,)上的零点个数等于函数( )yf x和函数logayx 的图象在(0,)上的交点个数，如图所示： 当logayx的图象过点(6, 1)A时， 函数( ) logayf xx在(0,)上有六个零点， 1log 6 a
23、， 1 6 a. 故答案为： 1 6 . 【点睛】 本题主要考查的函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，函数的零点与方程的 根的关系，还考查了转化化归的思想和数形结合的数学思想，属于中档题. 三、双空题三、双空题 16 如图， 在正方体如图， 在正方体 1111 ABCDABC D中， 点中， 点O为线段为线段BD的中点， 设点的中点， 设点P在线段在线段 1 CC 上，直线上，直线OP与平面与平面 1 ABD所成的角为所成的角为，则，则sin的最小值的最小值_，最大值，最大值 _. 第 12 页 共 21 页 【答案】【答案】 6 3 1 【解析】【解析】由题意，直线OP与平面 1 A
24、BD所成的角的最小值为 1 AOA和 11 C OA 中的 最小者，然后利用正方体的性质和直角三角形的边角关系，求出sin的取值范围，再 确定其最值 【详解】 解：连接 1 ,AC AO， 11 AC, 因为 11 ,BDAC BDAA ACAAA, 所以BD 平面 11 ACC A， 所以平面 1 ABD 平面 11 ACC A， 所以直线OP与平面 1 ABD所成的角的最小值为 1 AOA和 11 C OA 中的最小者， 不妨设2AB ， 在 1 Rt AOA中， 1 1 2 1 26 sin 3 22 AA AOA AO ， 1111 sinsin(2)sin2COAAOAAOA 11
25、2sincosAOAAOA 632 26 2 3333 ， 所以sin的取值范围为 6 ,1 3 ， 所以sin的最小值为 6 3 ，最大值为 1， 第 13 页 共 21 页 故答案为： 6 3 ；1 【点睛】 此题考查正方体的性质和直角三角形的边角关系，线面角的求法，考查推理能力，属于 中档题 四、解答题四、解答题 17已知正方体已知正方体 1111 ABCDA B C D，O是底是底ABCD对角线的交点对角线的交点.求证：求证： （1） 1 / /C O面面 11 AB D； （2） 1 AC 面面 11 AB D 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】【解析
26、】 （1）取 11 AB D 的边 11 B D的中线 1 AO ，由证四边形 11 AOCO 是平行四边形， 得 11 / /OCAO，由线面平行的判定定理可得结论； （2）由 1111111 ,DBAA DBAC 证 得 11 DB 面 1 AC ，可得面 1 AC 面 11 AB D 【详解】 (1)连结，设 连结， 是正方体 四边形 11 ACC A是平行四边形 第 14 页 共 21 页 ,A1C1AC 且 又分别是的中点， 11 C O / /AO且, 四边形 11 AOC O是平行四边形 11 C O/ /AO, 1 AO 面，面 11 AB D, 1 C O面 （2）在正方体中
27、，AA1平面 A1B1C1D1， 11 D B 平面 A1B1C1D1， 111 D BAA 在平面 A1B1C1D1 内， 1111 D BA C, 1111 AAA CA， 111 A CA C面， 11 AAA C面, 111 D BA C面 1111 D BAB D面, 面 A1C面 AB1D1 点睛：处理直线、平面平行问题时应注意的事项(1)在推证线面平行时，一定要强调直线 不在平面内，否则，会出现错误(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知 直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行(3)两个平面平行，两个平面内的所有 直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线、异面直线
28、18在在ABCABC 中，内角中，内角 A A，B B，C C 所对的边分别为所对的边分别为 a a， ，b b，c c，且，且 c(c(sinC-sinA)=(sinA+sinB) (b - a). (1)(1)求求 B B； (2)(2)若若 c=8c=8，点，点 M M，N N 是线段是线段 BCBC 的两个三等分点，的两个三等分点， 1 ,2 3 3 AN BMBC BM ，求求 AMAM 的的 值值 【答案】【答案】 （1） 3 B ；（2） 2 13AM 【解析】【解析】 （） 由题意， 根据正弦定理得 222 ccaba ， 再由余弦定理得 1 cos 2 B ， 即可求解. （
29、）由题意得,M N是线段BC的两个三等分点，设BMx，则2BNx， 第 15 页 共 21 页 2 3ANx ， 在ABN中，由余弦定理得 22 126442 82 cos 3 xxx ，解得2x，则 2BM ，再在ABM中,即可求解AM的长. 【详解】 （1） sinsinsinsincCAAB ba，则由正弦定理得: 222 ccaba , 222 acbca ， 222 1 cos 22 acb B ca ， 又0B， 3 B （2）由题意得,M N是线段BC的两个三等分点，设BMx ，则 2BNx，2 3ANx， 又 3 B ，8AB， 在ABN中，由余弦定理得 22 126442 8
30、 2 cos 3 xxx ， 解得2x（负值舍去） ， 则2BM ， 又在ABM中, 22 1 822 8 2522 13 2 AM 或解：在ABN中，由正弦定理得： 2 32 sin sin 3 xx BAN ， 1 sin 2 BAN 又2BNx，2 3ANx， BNAN， BAN为锐角， 6 BAN ， 第 16 页 共 21 页 2 ANB ，又8AB， 24BNx， 2x，2MN ， 4 3AN ， 在Rt ANM中， 2 2 4 322 13AM . 【点睛】 本题主要考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，在解有关三角形的题目时， 要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理
31、都要用，要抓住能够利用某个定理的 信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式 子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考 虑两个定理都有可能用到 19 n S为数列为数列 n a的前的前n项和项和.已知已知 n a0， 2 2 nn aa=43 n S . （）求）求 n a的通项公式；的通项公式； （）设）设 1 1 n nn b a a ,求数列求数列 n b的前的前n项和项和. 【答案】【答案】 （）21n+（） 11 646n 【解析】【解析】 （I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求an的通项公式： （）求出 bn
32、1 1 nn a a ，利用裂项法即可求数列bn的前 n项和 【详解】 解： （I）由 an2+2an4Sn+3，可知 an+12+2an+14Sn+1+3 两式相减得 an+12an2+2（an+1an）4an+1， 即 2（an+1+an）an+12an2（an+1+an） （an+1an） ， an0，a n+1 an2， a12+2a14a1 +3， a11（舍）或 a13， 则an是首项为 3，公差 d2的等差数列， an的通项公式 an3+2（n1）2n+1： （）an2n+1， bn 1 111 21 232 nn a ann （ 11 2123nn ） ， 第 17 页 共 2
33、1 页 数列bn的前 n项和 Tn 1 2 （ 111111 35572123nn ） 1 2 （ 11 323n ） 11 646n . 【点睛】 本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键 20已知直线已知直线2 0yxm m与抛物线与抛物线 2 4yx交于交于B、A两点，两点， （1）若若OAOB，求，求m的值；的值； （2）以以AB为边作矩形为边作矩形ABCD，若矩形，若矩形ABCD的外接圆圆心为的外接圆圆心为 1 ,2 2 ，求矩形，求矩形 ABCD的面积的面积. 【答案】【答案】 （1）-8； （2）30. 【解析】【解析】 （1）2yxm与 2 4y
34、x联立得 2 220yym， 设 1122 ,A x yB x y， 根据韦达定理可得 1212 2,2yyyym，结合 0OA OB 可列出关于m的方程， 从而可得结果； （2）设弦AB的中点为M, 设圆心 1 ,2 2 T ，则 12 1 2 M yy y ， 1 22 M M ymm x ，由TMAB得 2 1 21 11 22 m ，可得4m ，根据点到直 线距离公式可得2 5CD ， 利用弦长公式可得| 3 5AB ， 从而可得矩形ABCD的 面积. 【详解】 （1） 2yxm与 2 4yx联立得 2 220yym 由0 得 1 2 m ，设 1122 ,A x yB x y，则 1
35、212 2,2yyyym OAOB， 0OA OB 2 12 121212 0 16 y y x xy yy y ， 12 16y y 216m 8m，满足 题意. （2）设弦AB的中点为M,则 12 1 2 M yy y ， 1 22 M M ymm x ，设圆心 1 ,2 2 T 第 18 页 共 21 页 TMAB 2 1 21 11 22 m 4m， 则 5 ,1 2 M ，5MT ，2 5CB 2 121212 44 86yyyyy ym 2 12 1 13 5 2 AByy 面积为30AB CD. 【点睛】 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判
36、断 能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力， 其常规思路是先把直 线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相 关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 21 如图，如图，BCD与与MCD都是边长为都是边长为 2 的正三角形， 平面的正三角形， 平面MCD平面 平面BCD，AB 平面平面BCD，2 3AB . （1）求直线）求直线AM与平面与平面BCD所成角的大小；所成角的大小； （2）求三棱锥）求三棱锥ABMD的体积；的体积； （3）求平面）求平面ACM与平面与平面BCD所成二面角的正弦值所成二面角的正弦值. 【答案】【答案
37、】 （1）45； （2）1； （3） 2 5 5 . 【解析】【解析】 （1）取CD中点O，连OB，OM，证明MO平面BCD，推出/ /MOAB， 延长AM、BO相交于E， 则AEB就是AM与平面BCD所成的角， 再求解直线AM 与平面BCD所成角的大小为45； （2）利用等体积法 A BDMMABD VV 求解即可； (3)CE是平面ACM与平面BCD的交线.由(1)知，O是BE的中点，则四边形BCED 是菱形，作BFEC于F，连AF，则AFEC，AFB就是二面角A ECB 第 19 页 共 21 页 的平面角，再通过求解三角形求解二面角的正弦值. 【详解】 （1）取CD中点O，连OB，OM
38、，则OBCD，OMCD， 又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD， 所以/ /MOAB，所以A、B、O、M共面， 延长AM、BO相交于E，则AEB就是AM与平面BCD所成的角， 3OBMO ，/ /MOAB，则 1 2 EOMO EBAB ， 3EOOB ， 所以 2 3EBAB ，即45AEB. 直线AM与平面BCD所成角的大小为45； （2）BCD与MCD都是边长为 2的正三角形， 所以 1113 1 3222 A BDMMABDO ABD VVVAB BDBD ； (3)CE是平面ACM与平面BCD的交线. 由(1)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形， 作BFEC于F，连AF，
39、则AFEC， 所以AFB就是二面角A ECB的平面角，设其为， 因为120BCE， 所以60BCF， cos603BFBC ，tan2 AB BF ， 2 5 sin 5 . 所以，所求二面角的正弦值是 2 5 5 . 第 20 页 共 21 页 【点睛】 本题考查直线与平面所成的角和二面角的平面角的求法，考查空间几何体的体积的求 法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22已知已知 A A、B B 分别是椭圆分别是椭圆 22 22 xy C1(ab0) ab ：的左、右顶点，的左、右顶点，P P 为椭圆为椭圆 C C 的下的下 顶点，顶点，F F 为其右焦点为其右焦点.点点 MM 是椭圆
40、是椭圆 C C 上异于上异于 A A、B B 的任一动点，过点的任一动点，过点 A A 作直线作直线lx轴轴. 以线段以线段 AFAF 为直径的圆交直线为直径的圆交直线 AMAM 于点于点 A A、N N，连接，连接 FNFN 交直线交直线 l l 于点于点H.点点 G G 的坐标为的坐标为 b,0，且，且PF PG2 6，椭圆，椭圆 C C 的离心率为的离心率为 1 2 1求椭圆求椭圆 C C 的方程；的方程； 2试问在试问在 x x 轴上是否存在一个轴上是否存在一个定点定点 T T，使得直线，使得直线 MHMH 必过该定点必过该定点 T T？若存在，求出点？若存在，求出点 T T 的坐标，
41、若不存在，说明理由的坐标，若不存在，说明理由 【答案】【答案】 （1） 22 xy 1 43 ； （2）见解析 【解析】【解析】 1根据题意可得 22 6 c1 a2 ab ，解得即可； 2假设在 x 轴上存在一个定 点T t,0，设动点 00 M x ,y，根据直线与直线的垂直的斜率的关系以及直线的斜率 公式即可求出. 【详解】 1由题意得PFa, PG2b， 22 6 c1 a2 ab ，a2,b3，所求椭圆的方程为 22 xy 1 43 2假设在 x 轴上存在一个定点T t,0，使得直线 MH 必过定点T t,0， 设动点 00 M x ,y，由于 M 点异于 A，B，故 0 y0， 由
42、点 M 在椭圆上，故有 22 00 xy 1 43 ， 2 0 2 0 3 4x y. 4 又由 1知A2,0，F 1,0， 第 21 页 共 21 页 直线 AM 的斜率 0 AM 0 y k x2 ， 又点 N 是以线段 AF 为直径的圆与直线 AM 的交点，AMFN 0 AMFNFN AM0 x21 kk1k ky 直线 FN 的方程 0 0 x2 yx1 y ， 0 0 x2 2 1 y 2 y x ，即 0 0 3 x2 H2, y ， M，H 两点连线的斜率 0 20 00 0 MH 000 3 x2 y y3 x2y k x2yx2 ， 将式代入式，并整理得 0 MH 0 3 x2 k 4y ， 又 P，T 两点连线的斜率 0 PT 0 y k xt 若直线 MH 必过定点T t,0，则必有 MHPT kk恒成立， 即 0 0 00 3 x2y 4yxt ， 整理得 2 000 4y3 x2xt， 将式代入式， 得 2 0 00 3 3x 43 x2xt 4 ， 解得t2，故直线 MH 过定点2,0 【点睛】 本题主要考查椭圆的方程，主要考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理计算能力.
