1、高二数学（理）试卷 第 1 页（总 4 页） 安徽省卓越县中联盟 2020-2021 学年第一学期高二期中联考 数学试题卷（理） （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知全集0,1,2,3,4,5U = ， 集合2,3,5A= ， 集合1,3,4B = ， 则集合 U AB = （ ） A2,
2、5 B 3 C0,2,5 D1,2,3,4,5 2若 0.2 log3a=， 5 log 7b=， 4 0.7c =，则实数a，b，c的大小关系为（ ） Acba Bcab Cbca Dabc 3在等比数列 n a中， 234 27a a a=， 7 27a=，则首项 1 a =（ ） A 3 B1 C 3 D1 4已知向量( ,2)at= ? ，(3,4)b = ? ，()abb+ ? ，则t的值为（ ） A-2 B2 C-11 D11 5已知直线 1: 420laxy+=与直线 2:2 50lxyb+=互相垂直，垂足为(1, ) c，则 abc+ +的值为（ ） A20 B4 C0 D24
3、 6已知tan()2 6 =，()tan3+= ，则tan() 6 +=（ ） A1 B2 C3 D4 7 函数()log44 a yx=+(0a， 且1a)的图象恒过定点A， 且点A在角的终边上， 高二数学（理）试卷 第 2 页（总 4 页） 则 7 cos() 2 +=（ ） A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5 8若圆C: 22 2430 xyxy+=关于直线2 60axby+= 对称，则由点( , )a b向圆C 所作的切线长的最小值是（ ） A2 B4 C3 D6 9在ABC中，角A BC、 、所对的边分别为abc、 、，且3CB=，则 c b 的取值范围为 （ ） A 2
4、3 , 22 B( ) 2,3 C( ) 1, 3 D()1,3 10若函数 2 ( )16f xxxm= 有零点，则实数m的取值范围是（ ） A4 2,4 2 B4,4 2 C4,4 D4,4 2 11设 1 0 2 m， 149 SS=，则满足0 n S 的最大自然 数n的值为_. 16在ABC中,已知 9AB AC = ? ? ? ,sincossinBAC=,6 ABC S= ,P为线段AB上的 点,且 CACB CPxy CACB =+ ? ? ? ? ? ? ? ,则xy的最大值为_. 三三、解答题解答题：本大题共本大题共 6 6 个小题个小题，共共 7070 分分. .解答应写出
5、文字说明解答应写出文字说明、证明过程或证明过程或 演算步骤演算步骤. . 17（10 分） 在ABC中， 角,A B C所对的边分别为, ,a b c 已知 cos( 2)cosaCb cA= （）求角A的大小； （）若2 5,2 2ab=，求ABC的面积 18 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形， 120BCD=，PA底面ABCD，4PA=，2AB =. （）求证：BD 平面PAC； （）过AC的平面交PD于点M，若/ /PB平面AMC， 求三棱锥MACD的体积. 19 （12 分）已知向量2cos,1 4 ax = ? ，cos,0 4 bx = ? ，函数( )
6、f xa b= ? ? . （）求函数( )f x图象的对称中心； 高二数学（理）试卷 第 4 页（总 4 页） （）若动直线, 4 2 xt t = 与函数( )f x和函数( )3cos21xgx=+的图象 分别交于M、N两点，求线段MN的长度的取值范围. 20 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，233 nn Sa=. （）求数列 n a的通项公式； （）记 21 n n n b a = ，设数列 n b的前n项和为 n T，求证： 1 1 3 n T是定义域为R的奇函数. （）若( )10f，不等式 2 ()(4)0f xbxfx+在xR上恒成立，求实数b的 取值范围；
7、（） 若( ) 3 1 2 f=且 ( )( ) 2 2 1 2 x x h xamf x a =+在 1,)+上的最小值为2， 求m的 值. 22 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知( 1, 1),(2, 1),(, )ABC m n为三个不同的定 点.以原点O为圆心的圆与线段,AB AC BC都相切. （）求圆O的方程及 ,m n的值； （） 若直线:()l yxt tR= +与圆O相交于,M N两点， 且 1 2 OM ON= ? ? ? ， 求t的 值； （）在直线AO上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有 ( PA PQ = 为常数)？若存在，求出点Q的坐标及
8、的值；若不存在，请说明 理由. 1 安徽省卓越县中联盟安徽省卓越县中联盟20202020- -20212021 学年第一学期高二期中联学年第一学期高二期中联考考 数学（理）答案数学（理）答案 一、选择题一、选择题 题题 号号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答答 案案 A C D C B A D B D D D B 12.【详解】 对于， M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点， / /MNBD， 又MN 平面ABD，BD 平面ABD，/ /MN平面ABD，正确； 对于， 取AC中点O， 连接,DO BO， 如图， 则,DOAC BOAC，BODOO=I， AC 平
9、面BDO，而BD 平面BDO，ACBD，ACMN，即异面直 线MN与AC所成的角为 90，正确； 对于，借助极限状态，当平面DAC与平面ABC重合时，三棱锥DABC外接球即 是以ABCV外接圆圆心为球心，外接圆半径为球半径，当二面角DACB逐渐变 大时，球心离开平面ABC，但球心在平面ABC内射影仍然是ABCV外接圆圆心，故 二面角DACB逐渐变小的过程中，三棱锥DABC外接球的半径不可能先变小 后变大，错误； 对于，过A作AHBC于H，若ABC为锐角，则H在线段BC上，若ABC为 直角，则H与B重合，若ABC为钝角，则H在线段CB的延长线上， 若存在某个位置，使得直线AD与BC垂直，AHBC
10、，BC平面AHD，由 试卷第!异常的公式结尾异常的公式结尾页，总 7 页 2 线面垂直的性质得BCHD， 若ABC为直角，则H与B重合，则CBBD，而已知BCCD=，CBBD不 可能成立，即ABC不可能为直角， 若ABC为钝角， 则H在线段CB的延长线上， 则在原平面菱形ABCD中，DCB为 锐角，由于立体图形中DBDOOB+，因此立体图形中DCB比原平面图形更小， 立体图形中DCB为锐角，而BCCD=，空间图形中BCDV是锐角三角形，由 BCHD知H在线段BC上，与H在线段CB的延长线上矛盾，因此ABC不可能 为钝角， 综上可知，ABC只能为锐角，即正确 故选：B 二、填空题二、填空题 13
11、 2 14.8 15.22 163 【详解】 由sincos sinBAC=得 222 222 1 6 22 ABC bca bcabcSab bc + =+= 所以由 9AB AC = uuu r uuu r 得 2 9,3,4ACba= = uuu r 又P为线段AB上的点，且 CACB CPxy CACB =+ uuuu ruuuu r uuu r uu u ruuu r , 所以1,1,123 343 4 xyxyx y xy ba += += ， 当且仅当 3 ,2 2 xy=时，等号成立 即xy的最大值为 3. 3 三、三、解答题解答题 17解： （）因为cos( 2)cosaCb
12、cA= ，所以 sincos( 2sinsin)cosACBCA=， 所以sin cossincos2sincosACCABA+= ，所以sin()2sincosA CBA+= 因为ABC+=，所以sin()sinA CB+=，所以sin 2sincosBBA= 因为0B，所以sin0B ，所以 2cos1A= ， 所以 2 cos 2 A=， 则 4 A = .5 分 （）由余弦定理可得 222 2cosabcbcA=+ ， 因为 2 2 5,2 2,cos 2 abA= ，所以 2 2084cc= + ， 即 2 4120cc= ，解得6c =或2c = （舍去） 故ABCV的面积为 11
13、2 sin2 266 222 bcA= = .10 分 18 解： （）证明：PA面ABCD， BD 面ABCD，则PABD， 四边形ABCD为菱形，则BDAC， 又PAACA=I，PAAC ，面PAC，则BD面PAC.6 分 （）设AC与BD交于点O，/ /PB平面AMC，平面PBDI平面AMCMO=， / /PBMO. 又因为O为BD中点，得M为PD中点，三棱锥MACD的高 1 =2 2 M PAh， 试卷第!异常的公式结尾异常的公式结尾页，总 7 页 4 故 1112 3 2 2sin602 3323 MACDACDM VSh = = .12 分 19 解:（）( ) 2 2cos1co
14、s2sin21 42 f xxxx = +=+ ，2 分 令()2xkkZ=，则() 2 k xkZ =， 3 分 所以，函数( )yf x=图象的对称中心为(),1 2 kZ k ；4 分 （）( )( )sin213cos21sin23cos2MNf tg ttttt=+ = 2sin 2 3 t = ，7 分 因为, 4 2 t ，所以 2 2, 363 t ，则 1 sin 21 23 t ，.10 分 所以2 sin 21,2 3 MNt ，即线段MN的长度的取值范围为 1,212 分 20 解:（）233 nn Sa=，() 11 2332 nn San =， 两式相减，得 1 2
15、33 nnn aaa =，() 1 32 nn ana =，2 分 又 1 3a =， n a为等比数列，公比为3q =， 11 1 3 33 nnn n aaq = =4 分 （）证明：() 21211 21 33 n n n n nn bn a = ，5 分 21 132321 3333 n nn nn T =+L6 分 231 1132321 33333 n nn nn T + =+L，两式相减，得7 分 5 231 2111121 2 333333 n nn n T + =+ L 21 1 11 21 12133 1 33 1 3 n n n + =+ 11 11121 1 3333
16、nn n + =+ 1 222 33n n + + =， 所以 1 1 3 n n n T + = . * Nn ，1 n T ，10 分 1 1 2 1 3 n n n T + + + = ， () 1 111 3121221 0 3333 nn nnnn nnnnn TT + + + =， n T关于 n单调递增，() 1 min 21 1 33 n TT= =， 1 1 3 n T.12 分 21 解:（）因为( )fx是定义域为R的奇函数，所以( )00f=， 所以()110t+=，所以2t =， 2 分 所以( ) 1 (0,1) x x f xaaa a =， 因为( )10f，所
17、以 1 0a a ，又0a 且1a ，所以1a ， 所以( ) 1 x x f xa a =是R上的单调递增， 4 分 又( )fx是定义域为R的奇函数， 所以()()()() 222 4044f xbxfxf xbxf xxbxx+ 即 2 40 xbxx+ + 在xR上恒成立， 所以() 2 1160b =，即35b ， 所以实数b的取值范围为()3,5. 6 分 （）因为( ) 3 1 2 f= ，所以 13 2 a a =，解得2a =或 1 2 a = （舍去） ，8 分 所以 ( ) 2 2 2 1111 2222222 2222 xxxx xxxx h xmm =+=+ ， 试卷
18、第!异常的公式结尾异常的公式结尾页，总 7 页 6 令( ) 1 2 2 x x uf x=，则( ) 2 22g uumu=+， 因为( ) 1 2 2 x x f x =在R上为增函数，且1x ，所以( ) 3 1 2 uf=， 因为( )( ) 2 2 1 22 2 x x h xmf x=+在)1,+上的最小值为2，10 分 所以( ) 2 22g uumu=+在 3 , 2 + 上的最小值为2， 因为( )() 2 22 222g uumuumm=+=+ 的对称轴为u m= 所以当 3 2 m 时， ( )( ) 2 min 22g ug mm= ，解得2m =或2m = （舍去）
19、， 当 3 2 m 时， ( )min 317 32 24 g ugm = ，解得 253 122 m =， 综上可知：2m =12 分 22 解:（）由于圆O与线段AB相切，所以半径1r =. 即圆O的方程为 22 1xy+=.1 分 又由题 22 1xy+=与线段AC相切， 所以线段AC方程为1x = .即1m = .2 分 故直线BC的方程为(1)3210nxyn+ =. 由直线BC和圆O相切可得： 2 12 1 (1)9 n n = + ， 解得3n =或1n = .由于, A C为不同的点，所以3n =. .3 分 （）设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy，则 121
20、2 1 2 OM ONx xy y=+= uuuu r uuu r . 由 22 , 1, yxt xy = + += 可得 22 2210 xtxt+ = ， 22 48(1)0tt =，解得 22t .所以 2 1212 1 , 2 t xxt x x += .5 分 故 22 222 12121212 11 ()()() 22 tt y yxtxtx xxx tttt = +=+=+= . 7 所以 22 2 1212 111 1 222 tt x xy yt +=+= = .所以 2 1 2 t =. 故 2 2 t = . .7 分 （）设 00 (,), ( , )Q xyP x
21、y. 则 22 (1)(1)PAxy=+， 22 00 ()()PQxxyy=+ . 若在直线AO上存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P， 都有 ( PA PQ = 为常数), 等价于 22 22 00 (1)(1) ()() xy xxyy + = + 对圆O上任意点( , )P x y恒成立. 即 222222 00 (1)(1)()()xyxxyy+=+ 整理得 22222222 0000 (1)()(22)(22)2()0 xyx xyyxy+ +=.9 分 因为点Q在直线AO上，所以 00 xy=. 由于P在圆O上，所以 22 1xy+=. 故 2222 00 (22)()320 xxyx+ =对任意2, 2xy+ 恒成立. 所以 2 0 222 0 220, 320. x x + = = 显然0，所以 0 2 1 x = . 故 2 2 2 30 =， 因为0，解得 2= 或1=11 分 当1=时，( 1, 1)Q ，此时,Q A重合，舍去. 当 2= 时， 11 (,) 22 Q ， 综上，存在满足条件的定点 11 (,) 22 Q ，此时 2= .12 分
