1、 数学第数学第八八次周测试卷次周测试卷 内容：数列、解三角形、一元二次不等式 一、单选题（一、单选题（50 分）分） 1设集合 2 |340AxZ xx，|21Bx x，则AB （ ） A 1,0,1,2 B 1,2) C 1,0,1 D 1,2 2一元二次不等式 2 20axbx的解集是 1 1 (, ) 2 3 ，则a b的值是（ ） A10 B-10 C14 D-14 3在ABC中，45 ,60 , 1 BCc，则最小边长等于（ ）. A 6 3 B 6 2 C 1 2 D 3 2 4下列命题中正确的是（ ） A若acbc 22 ， 0c ，则ab B若ab，则 11 ab C若ab，c
2、d，则acb d D若ab，cd，则 ab cd 5不等式43xx的解集为（ ） A| 1x x或3x B0 x x 或4x C 13xx D04xx 二、二、填空题（填空题（30 分）分） 6在ABC中，2AB ， 7AC ， 2 3 ABC ，则BC _. 7已知 a，b，x 均为正数，且 ab，则 b a _ bx ax （填“”、“”或“”） 8记 n S为正项等比数列 n a的前 n项和.若 24 1a a ， 3 7S ，则 5 S _. 三、解答题（三、解答题（40 分）分） 9.（1）解不等式0372 2 xx. （2）求关于 x的不等式 2 (1)0 xa xa的解集，其中
3、a是常数. 10如图，在ABC中， 3 6, 4 ABB ，D是BC边上一点，且 3 ADB （1）求AD的长； （2）若10CD，求AC的长. （选做题）11（30 分）分） 已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满 足sinsin 2 AC abA . （1）若 2 bac，试判断ABC的形状，并说明理由； （2）若6b，求ABC周长l的取值范围. 参考答案参考答案 1A 【解析】 【分析】 分别解出集合A、B中的不等式即可. 【详解】 因为 2 |340| 141,0,1,2,3,4AxZ xxxZx |21|3Bx xx x 所以AB 1,0,1,2 故选：A 【点睛】
4、本题考查的是一元二次不等式的解法和集合的运算，较简单. 2D 【解析】 【分析】 由方程 2 20axbx的两根为 1 2 和 1 3 ，根据韦达定理求出, a b可得结果. 【详解】 根据题意，一元二次不等式 2 20axbx的解集是 1 1 (, ) 2 3 ， 则0a ，方程 2 20axbx的两根为 1 2 和 1 3 ， 则有 11 23 b a ， 112 23a ， 解可得12,2ab ， 则14ab . 故选：D 【点睛】 本题考查了由一元二次不等式的解集求参数，属于基础题. 3A 【解析】 【分析】 先由题意，得到75A ，根据三角形大边对大角的性质，得到b最小，由正弦定理，
5、即可 求出结果. 【详解】 因为在ABC中，45 ,60 ,1 BCc， 所以18075BCA ， 由三角形大边对大角的性质，可得：b最小， 由正弦定理得： sinsin cb CB ，即 2 sin6 2 sin33 2 cB b C . 故选：A. 【点睛】 本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型. 4A 【解析】 【分析】 对于选项A，由不等式性质得该选项正确；对于选项B， 11ba abab 符号不能确定，所 以该选项错误；通过举反例说明选项C和选项D错误. 【详解】 对于选项A，若acbc 22 ，所以 2 0c ，则a b，所以该选项正确； 对于选项B， 11ba abab 符
6、号不能确定，所以该选项错误； 对于选项C，设1,0,1,3,2,3abcdacbd ，所以acbd ，所以 该选项错误； 对于选项D，设0,1,2,1,0,1, abab abcd cdcd ，所以该选项错误； 故选：A 【点睛】 本题主要考查不等式的性质， 考查实数大小的比较， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平. 5A 【解析】 【分析】 化成 2 430 xx即可求解. 【详解】 由题：等式43xx化简为： 2 430 xx 130 xx 解得：1x或3x . 故选：A 【点睛】 此题考查解一元二次不等式，关键在于准确求出二次函数的零点. 61 【解析】 由题意， 根据余弦定理得 2
7、22 2cosACABBCAB BCB， 即 2 23 0B CB C ， 解得1BC ，或3BC （舍去）.故填 1. 70,x+a0,b-a0, 所以 () 0, () ba x a xa 所以 bbx aax . 故答案为 【点睛】 本题主要考查作差比较法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8 31 4 【解析】 【分析】 应用等比中项可知 3 a，由 3 7S 知 12 aa，根据等比通项公式列方程求出 1 a、q，进而可 求 5 S 【详解】 由 n a为正项等比数列， 24 1a a 知： 3 1a 又 3 7S ，即有 12 6aa 1 2 1 (1)6 1
8、aq a q 解得： 1 4 1 2 a q 故， 5 1 5 (1)31 14 aq S q 故答案为： 31 4 【点睛】 本题考查了等比数列，应用等比中项、等比通项公式求等比数列的基本量，求等比数列的前 n 项和 9.（1）不等式的解集为 2 1 3xxx或 【解析】 【分析】结合一元二次函数的性质，即可求解. 【详解】 因为02532472， 所以方程0372 2 xx有两个实数解 2 1 3 21 xx， 又由函数372y 2 xx的图象开口向上，所以原不等式的解集是 2 1 3xxx或. 【点睛】 本题主要考查了一元二次不等式的求解， 其中解答中熟记一元二次不等式的解法， 以及不等
9、 式与函数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力. （2）当 a 1时，原不等式的解集为(1，a). 【解析】 【分析】 求出相应方程的两个根，根据两根的大小分类讨论 【详解】 解依题意知方程 2 (1)0 xa xa的根为 x1=1，x2=a，且一元二次函数 y=x2+(1-a)x-a 的图象是开口向上的抛物线. 当 a1时，如图， 一元二次函数 y=x2十(1a)xa的图象与 x 轴从左至右有两个交点(a，0)与( 1，0)，所以 原不等式的解集为(a，1). 当 a=1时，如图， 一元二次函数 y=x2+(1a)xa的图象与 x 轴只有一个交点(1，0).所以原不等式的解集为 . 当
10、 a1时，如图， 一元二次函数 y=x2十(1a)x-a 的图象与 x轴从左至右有两个交点(1，0)与(a，0).所以原不 等式的解集为(1，a). 综上所述，当 a1时，原不等式的解集为(a，1)； 当 a=1 时，原不等式的解集为； 当 a1时，原不等式的解集为(1，a) 【点睛】 本题考查解一元二次不等式，掌握三个二次：一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之 间的关系是解题关键 两角和与差的正弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题 10 （1）6； （2）14. 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理有 sinsin ABAD ADBB 即可求AD的长； （2）根据已知条件，结合余弦
11、定理即可求AC的长 【详解】 （1）在ABD中，由正弦定理得 3 6 sinsin 34 AD ，得6AD （2）由（1）知 2 6,10, 3 ADCDADC ，由余弦定理得 222 1 2cos100362 10 6196 2 ACADCDAD CDADC 14AC 【点睛】 本题考查了利用正余弦定理求线段长度， 根据正余弦定理的边角关系求线段长， 属于简单题 11 （1）等边三角形，见解析； （2）2 6,3 6 【解析】 【分析】 （1）由sinsin 2 AC abA 可推出 3 B ，然后 2 bac结合余弦定理可得a c ，从而 可推出ABC是等边三角形 （2）法一：知道角B和边
12、b，由余弦定理得 22 6acac，然后利用基本不等式可求出 ac的范围；法二：用正弦定理可得2 2 sinsinsin acb ACB ，运用此关系可把边向 角进行转化可得662 2 sinsinlabcacAC ，然后利用三角函数 的知识求出范围即可 【详解】 （1）由题设sinsin 2 AC abA ，及正弦定理得 sinsinsinsin 2 AC ABA ， 因为sin0A，所以sinsin 2 AC B ，由ABC， 可得sinsincos 222 ACBB ， 故cos2sincos 222 BBB . 因为cos0 2 B ，故 1 sin 22 B ，所以 3 B ， 因为
13、 2 bac，又由余弦定理得 22222 2cosbacacBacac ， 所以 22 acacac ，即 2 0ac， 所以ac，故 3 AC ， 所以ABC是等边三角形； （2） 解法一：ABC的周长6labcac ， 由余弦定理 222 2cosbacacB， 2 22 22 633 4 ac acacacacac ， 故 2 24ac， 2 6ac ， 所以63 6labcac ， 当且仅当6ac时，等号成立. 又在ABC中acb ，所以22 6labcb ， 所以ABC周长l的取值范围为2 6,3 6 . 解法二：因为 3 B ， 6b，由正弦定理， 得22 2 sinsinsin acb R ACB ， 所以ABC的周长662 2 sinsinlabcacAC 2 62 2 sinsin 3 AA 31 62 2 sincossin 22 AAA 33 62 2sincos62 6sin 226 AAA ， 因为 2 0 3 A ，所以 5 666 A ， 1 sin1 26 A ， 2 662 6sin3 6 6 A . 所以ABC周长l的取值范围为2 6,3 6 . 【点睛】 本题较为典型，考查了两种求周长（面积）范围的方法.
