1、 高二数学共 15 页第 1 页 20202021 学年度（上）省六校协作体高二期中联考 数学试题 一选择题一选择题（1-8 题为单选题，每题 5 分） 1. 已知椭圆方程为124 22 yx，则椭圆的焦点坐标为（ ） A. 0 , 2 2 ,0 , 2 2 21 FFB. 0 , 2 1 ,0 , 2 1 21 FF C. 2 1 , 0, 2 1 , 0 21 FFD. 2 2 , 0, 2 2 , 0 21 FF 2. 已知平面上三点 1, 2, 4,0 , 2 , 1,1 , 2 , 3CBA,则平面的一个法向量为（ ） A 16, 9, 4B16, 9 , 4C4, 9 ,16D4,
2、 9 ,16 3. 若直线 xy2 被圆(xa)2y24 所截得的弦长为 22 ，则实数 a 的值为( ) A1 或 3B1 或 3C2 或 6 D0 或 4 4. 当 a 为任意实数时， 直线(a1)xya10 恒过定点 C， 则以 C 为圆心， 5为 半径的圆的方程为( ) A.(x1)2(y2)25B(x1)2(y2)25 C(x1)2(y2)25D(x1)2(y2)25 5. 已知四面体 ABCD 的每条棱长都等于 2，点 E,F,G 分别是棱 AB,AD,DC 的中点，则 GFGE 等于( ) A1 B1C4D4 6. 已知双曲线0, 01: 2 2 2 2 ba b y a x C
3、的一条渐近线与直线 3x 6y30 垂直，以 C 的右焦点 F 为圆心的圆(xc)2y22 与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为 高二数学共 15 页第 2 页 ( ) A1 B2 C. 5 D2 5 7. 已知椭圆1 59 : 22 yx C的右焦点 F，P 是椭圆上任意一点，点32 , 0A,则APF的 周长最大值为（ ） A. 219 B.5327C.14D.315 8. 九章算术中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面是矩形， 一侧棱垂直于底面的四棱锥。如图，在堑堵 111 CBAABC 中，2, 1 AABCAC,当 阳马 11A ACCB体积的最大值为 3 4 时，堑堵
4、111 CBAABC 的外接球 的体积为（ ） A. 3 4 B. 3 28 C. 3 32 D. 3 264 二二.多选题多选题（9-12 题为多选题，全部选对得 5 分，选错得 0 分，部分选对得 3 分） 9. 已知双曲线1 2 2 2 2 y a x 的两条渐近线的夹角为 3，则双曲线的离心率为( ) A. 2 3 3 B. 2 6 3 C. 3 D2 10. 已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点 21,F F在 y 轴上，短轴长等于 2，离心率为 6 3， 过焦点 1 F作 y 轴的垂线交椭圆 C 于 P、Q 两点，则下列说法正确的是( ) A椭圆 C 的方程为1 3 2 2 x y
5、 B椭圆 C 的方程为1 3 2 2 y x C|PQ| 2 3 3 DQPF2的周长为 4 3 高二数学共 15 页第 3 页 11. 在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E，F 分别是 A1D1和 C1D1的中点，则下列结论正确 的是( ) A. 11/ / AC 平面 CEFB. 1 B D 平面 CEF C. DCDDDACE 1 2 1 D. 点 D 与点 B1到平面 CEF 的距离相等 12. 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名。他发现：“平面内到 两个定点 A,B 的距离之比为定值1的点的轨迹是圆”。后来，人们将这个圆以 他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆
6、，简称阿氏圆。在平面直角坐标系xoy中， 0 , 4,0 , 2BA ,点P满足 2 1 PB PA 。 设点P的轨迹为C， 则下列结论正确的是 （ ） A.曲线 C 的方程为94 2 2 yx B.在 x 轴上存在异于 A,B 的两定点 D,E,使得 2 1 PE PD C当 A,B,P 三点不共线时，射线 PO 是APB的平分线 D.在曲线 C 上存在点 M，使得 MAMO2 三填空题三填空题（每小题 5 分） 13. 已知直二面角 l 的棱 l 上有 A,B 两个点， lBDBDlACAC, ,若 5, 3, 4BDACAB ，则 CD 的长是_ 14. 设双曲线与椭圆 x2 27 y2
7、 361 有共同的焦点， 且与椭圆相交， 一个交点的坐标为( 15， 4)，则此双曲线的方程为_ 15. 已知向量 a(1，3,2)，b(2,1,1)，点 A(3，1,4)，B(2，2,2)则 |2a+3b|_；在直线 AB 上，存在一点 E，使得OE b，则点 E 的坐标为 _(第一空 2 分，第二空 3 分) 高二数学共 15 页第 4 页 16. 已知点 A，B 分别是椭圆 x2 36 y2 201 长轴的左、右端点，点 P 在椭圆上，直线 AP 的 斜率为 3 3，设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于|MB|，椭圆上 的点到点 M 的距离 d 的最小值为_
8、四、解答题四、解答题 17. （10 分）当 k 为何值时，直线 3x(k2)yk50 与直线 kx(2k3)y20， (1) 平行；(2)垂直。 18. （12 分）已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O，两个焦点分别为 A(1，0)，B(1,0)，一 个顶点为 H(2,0) (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)对于 x 轴上的点 P(t,0)，椭圆 E 上存在点 M，使得 MPMH，求实数 t 的取值范围 19. （12 分）如图，设四棱锥ABCDE的底面是菱形，且 o 60ABC 2, 2BEAEECAB. (1) 证明：平面 EAB平面 ABCD； (2) 求四棱锥 E-ABCD 的体积
9、. 20. （12 分）圆心 C 在直线 0872:yxl 上，且5 , 1B是圆上的点； 高二数学共 15 页第 5 页 圆心 C 在直线 02 yx 上,但不经过点2 , 4,并且直线 034 yx 与圆 C 相交所得的弦 长为 4 圆 C 过直线 042: yxl 和圆01642 22 yxyx的交点， 在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 问题：平面直角坐标系中，圆 C 过点0 , 6A，且_ (1)求圆 C 的标准方程； (2)求过点 A 的圆 C 的切线方程。 21. （12 分）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 A1A底面 ABCD，ABAC， AB1，A
10、CAA12，ADCD 5，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点 (1)求证：MN平面 ABCD； (2)求平面 ACD1与平面 ACB1的夹角的余弦值； (3)设 E 为棱 A1B1上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 的夹角的正弦值为 1 3，求线段 A1E 的 长 22. （12 分） 已知椭圆01 2 2 2 2 ba b y a x C：的上顶点为 E， 左焦点为 F， 离心率为 2 2 ， xOy 高二数学共 15 页第 6 页 直线 EF 与圆 2 1 22 yx相切。 （1） 求椭圆 C 的标准方程； （2） 设过点 F 且斜率存在的直线 l 与椭圆 C 相交于
11、 A,B 两点，线段 AB 的垂直平分线 交 x 轴于点 P，试判断 AB PF 是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说 明理由。 高二数学共 15 页第 7 页 1. D 2. B 3. D 由弦长公式 l2r2d2，可知圆心到直线的距离 d 2，即 |a2| 1 2 1 2 2，解得 a 0 或 4. 4. C【解析】 直线方程变为(x1)axy10. 由 x10， xy10， 得 x1， y2， C(1,2)，所求圆的方程为(x1)2(y2)25. 5. A 6. D 由直线垂直的条件，可得 b a 3 6 1，所以 b a 6 3 ，由点 F(c,0)到渐近线 y 6 3 x
12、的 距离 d 6 3 c 6 3 2 (1) 2 2，可得 c 5，2c2 5. 7. C 8. B 9. AD 解析 如图所示，双曲线的渐近线方程为 y 2 a x， 若AOB 3，则 6，tan 2 a 3 3 ， a 6 2. 又c 622 2， 高二数学共 15 页第 8 页 e c a 2 2 6 2 3 3 . 10. ACD 11. AC 12. BC 13. 25 14. 解：因为椭圆 x 2 25 y 2 91 的顶点为(5，0)，(5，0)，(0，3)，(0，3)，当顶点为(5，0)， (5，0)时，焦点在 x 轴上，且 a5.又 c a c 52，所以 c10，从而 b
13、275，所以标准方程为x 2 25 y 2 751. 当顶点为(0，3)，(0，3)时，焦点在 y 轴上，且 a3. 又 e c a c 32， 所以 c6，所以 b2c2a236927， 所以标准方程为 y 2 9 x 2 271. 综上可知，双曲线的标准方程为 x 2 25 y 2 751 或 y 2 9 x 2 271 . 15. 74； 5 2 , 5 14 , 5 6 16. 解 直线 AP 的方程是 x 3y60. 设点 M 的坐标是(m,0)， 则 M 到直线 AP 的距离是 |m6| 2 ， 于是 |m6| 2 |m6|， 高二数学共 15 页第 9 页 又6m6，解得 m2，
14、所以点 M(2,0) 设椭圆上的点(x，y)到点 M 的距离为 d，有 d2(x2)2y2x24x420 5 9x 2 4 9 x 9 2 215， 由于6x6. 所以当 x 9 2时，d 取最小值 15. 17. 解：（1）两直线平行时2323kkk解得1k或9k 当 k=1 时两直线重合，所以两直线平行时，k=-9 （2）两直线垂直时，03223kkk解得 2 131 , 2 131 21 kk 18. 解 (1)由题意可得，c1，a2， b 3. 所求椭圆 E 的标准方程为 x 2 4 y 2 31. (2)设 M(x0，y0)，x0 1 2， 1 2，则 x 2 0 4 y 2 0 3
15、1. MP (tx 0，y0)，MH (2x 0，y0)， 由 MPMH 可得MP MH0， 即(tx0)(2x0)y200. 由消去 y0，整理得 t(2x0) 1 4x 2 02x03. x02，t 1 4x0 3 2. 高二数学共 15 页第 10 页 2x02， 2t1. 实数 t 的取值范围为(2，1) 19. （1）证明：取 AB 中点 O，连接 EO,CO,AC 因为底面 ABCD 为菱形且 AB=2，O 为 AB 中点3CO 2,2ABBEAEBEAE ABEOEO, 1 222 2ECCOEOEC即COEO ABCOABCDEABEABEOABCDEO平面平面平面平面 (2)
16、 由（1）可得 EO 为四棱锥 E-ABCD 的高，EO=1,34 ABCD S 3 34 3 1 ABCDABCDE SEOV 20. 解：选条件 （1）（方法一）设所求圆的方程为 2 22 rbyax，由题意得 0872 51 06 2 22 2 22 ba rba rba 解得 a=3,b=2,13 2 r 所以所求圆的方程是1323 22 yx （方法二）设线段 AB 的垂直平分线为 m，则圆心 C 在直线上且在直线 l 上，即 C 是 m 与 l 的交点 直线 AB 的斜率是-1,直线 m 的斜率是 1，AB 中点为 2 5 2 7， ，所以直线01: yxm 高二数学共 15 页第
17、 11 页 0872 01 yx yx 解得 2 3 y x 所以圆心 C(3,2)且13CA 所以所求圆的方程是1323 22 yx （2）A在圆 C 上， 3 2 AC k，过点 A 的切线斜率为 2 3 过点 A 的切线方程是6 2 3 xy即01823 yx 选条件 （1）设所求圆的方程为 2 22 rbyax，由题意得 a=2b， 设圆心 C 到直线034 yx距离为 d， 2 2 2 6bar由垂径定理可知 222 2 dr 即 2 2 2 64 5 34 ba ba 将 a=2b 代入得，4, 2 21 bb 又因为圆 C 不经过点2 , 4,所以 a=8,b=4,20 2 r
18、所以所求圆的方程是2048 22 yx (2)A在圆 C 上，2 AC k，过点 A 的切线斜率为 2 1 过点 A 的切线方程是6 2 1 xy即062yx 选条件 （方法一）设所求圆 C 的方程为0421642 22 yxyxyx 代入点 A(6,0)得2 所以所求圆的方程为03262 22 yxyx即4231 22 yx （方法二）设直线042: yxl与圆01642 22 yxyx交点 2211 ,yxFyxE 高二数学共 15 页第 12 页 01642 042 22 yxyx yx 即016265 2 xx解得 5 8913 , 5 8913 21 xx 所以 5 8926 , 5
19、 8913 , 5 8926 , 5 8913 FE 设所求圆 C 的方程 2 22 rbyax将 A,E,F 代入 所以所求圆的方程为4231 22 yx 21. (1)证明 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0,0，0)，B(0,1,0)，C(2， 0,0)，D(1，2，0)，A1(0,0,2)，B1(0,1,2)，C1(2,0,2)，D1(1，2，2)，又因为 M，N 分 别为 B1C 和 D1D 的中点， 得 M 1， 1 2，1 ，N(1，2,1) 可得 n(0,0,1)为平面 ABCD 的法向量，MN 0， 5 2，0 ，由此可得MN n0，又因为直线 MN
20、平面 ABCD，所以 MN平面 ABCD. (2)解 AD1 (1，2,2)，AC(2,0,0)，设 n 1(x，y，z)为平面 ACD1的法向量，则 n n1AD1 0， n n1AC 0， 即 x2y2z0， 2x0. 不妨设 z1，可得 n1(0,1,1) 设 n2(x，y，z)为平面 ACB1的法向量，则 高二数学共 15 页第 13 页 n n2AB1 0， n n2AC 0， 又AB1 (0,1,2)， 得 y2z0， 2x0， 不妨设 z1，可得 n2(0，2,1) 因此有 cosn1，n2 n n1n n2 |n n1|n n2| 10 10 ， 所以，平面 ACD1与平面 A
21、CB1的夹角的余弦值为 10 10 . (3)解 依题意，可设A1E A 1B1 ，其中0,1， 则 E(0，2)，从而NE (1，2,1)，又 n(0,0,1)为平面 ABCD 的法向量， 由已知，得 cosNE ，n NE n n |NE |n n| 1 1 22212 1 3， 整理得2430， 又因为0,1，解得 72， 所以，线段 A1E 的长为 72. 22. 解：（1）cbcbacae 222 2 2 2 0:cyxlEF又因为直线 EF 与圆 C 相切，所以2,1abc 所以椭圆 C 的标准方程为1 2 2 2 y x （2） AB PF 是定值。设0 , 02211 xPyx
22、ByxA 高二数学共 15 页第 14 页 直线 l 的方程为1xky由 1 2 1 2 2 y x xky 得022412 2222 kxkxk 12 22 , 12 4 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx 12 122 12 22 4 12 4 1 41 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 21 2 k k k k k k k xxxxkAB （方法一）因为点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，所以PBPA 所以 2 2 2 02 2 1 2 01 yxxyxx 因为点 A,B 在椭圆 C 上，所以 2 1 2 1 2 1 x y， 2 1 2 2 2 2 x y
23、代入， 得 2 1 2 1 2 2 2 02 2 1 2 01 x xx x xx。化简，得 210 4 1 xxx 所以 12 1 12 4 4 1 1 4 1 1 2 2 2 2 210 k k k k xxxPF 4 2 12 122 12 1 2 2 2 2 k k k k AB PF ，故 4 2 AB PF 为定值 （方法二） 12 2 2 2 2121 k k kxxkyy，线段 AB 的中点为 1212 2 22 2 k k k k ， 所以线段 AB 的垂直平分线为 12 2 12 2 2 2 k k x k k yk 高二数学共 15 页第 15 页 令 y=0,得 12 2 2 0 k k x，所以 12 1 12 11 2 2 2 2 0 k k k k xPF 4 2 12 122 12 1 2 2 2 2 k k k k AB PF ，故 4 2 AB PF 为定值
