1、 1 黑龙江省八校 2020-2021 学年高二摸底考试数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.用更相减损术求 294 和 84 的最大公约数时，需做减法的次数是( ) 2 . A 3 .B 4 .C 5 .D 2.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位： 万吨)柱形图， 以下结论中不正确的是( ) A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B2007 年我国
2、治理二氧化硫排放显现成效 C2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 3.执行如图所示的程序框图,若输入的 a 值为 1,则输出的 k 值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图所示的程序框图,如果输入三个实数a,b,c,要求输出这三个数中最大的数,那 么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的( ) ?.cbA ?.bcB ?.cxC ?.xcD 5.ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且abc,a2b2+c2,则A的取值范围是( ) , 2 .A 2 , 4 . B 2 , 3 . C 2 , 0. D 3 题图
3、 4 题图 2 6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中随机取点,则点落在四棱锥 O-ABCD 内(O 为正方体 的对角线的交点)的概率是 ( ) 3 1 . A 6 1 .B 2 1 .C 4 1 .D 7.两圆042 222 aaxyx和0414 222 bbyyx恰有三条公切线，若 , 0,abRbRa且则 22 11 ba 的最小值为( ) 2 7 .A 4 .B 1 .C 5 .D 8.已知函数1)( 2 bxaxxf,其中 a(0,2,b(0,2,在其范围内任取实数 a,b,则 函数 f(x)在区间1,+)上为增函数的概率为( ) 3 1 . A 2 1 .B 3 2 .C 4
4、3 .D 9.已知多项式, 12)( 2467 xxxxxf用秦九韶算法计算当2x时 2 v的值是 （ ） A.1 B.5 C.10 D.12 10.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与 相应的生产能耗 y(吨)的几组对应数据： x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y0.7x0.35，那 么表中 t 的精确值为 ( ) A.3 B.3.15 C.3.5 D.4.5 11.如图，正方体 1111 DCBAABCD的棱长为 1，线段 11D B上有两个动点 FE,，且 EF1 2，则下列结
5、论错误的是( ) BEACA. 的 体 积 为 定 值三 棱 锥B E FAB. ABCDEFC平面/. 的 面 积 相 等的 面 积 与 B E FA E FD. 12.对大于 1 的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂” ： 3 , 19 17 15 13 4 , 11 9 7 3 , 5 3 2 333 仿此，若 3 m的“分裂数”中有一个是 2017，则m的值为 （ ） 44. A 45.B 46.C 47.D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，将答案填在题中的横线分，将答案填在题中的横线 上）上）
6、13.二进制数 101 110 转化为等值的八进制数为_. 14.设ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角 C= . 15.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2, 3, 3, 7,a,b,12, 13.7, 18.3, 20,且总体 的中位数为 10.5，若要使该总体的方差最小，则ba,的取值分别是 . 16.棱长为 3 的正方体内有一个棱长为x的正四面体， 且该正四面体可以在正方体 内任意转动，则x的最大值为 . 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演分，解
7、答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤）算步骤） 17.(10 分)某城镇社区为了丰富辖区内广大居民的业余文化生活,创建了社区“文 化丹青”大型活动场所,配备了各种文化娱乐活动所需要的设施,让广大居民健 康生活、积极向上,社区最近四年内在“文化丹青”上的投资金额统计数据如 表:(为了便于计算,把 2015 年简记为 5,其余以此类推) 年份 x/年 5 6 7 8 投资金额 y/万元 15 17 21 27 (1)利用所给数据,求出投资金额 y 与年份 x 之间的回归直线方程 axby； (2)预测该社区 2019 年在“文化丹青”上的投资金额. 附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2)
8、,(xn,yn),其回归直线 axby的斜率和截距的 最小二乘估计分别为., )( )( )( _ 1 2 2 1 _ 1 2 _ 1 _ xbya xnx yxnyx xx yyxx b n i i n i ii n i i n i ii 18.(12 分)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于 2016 年 8 月某日起连 续 n 天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表： 4 (1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 n，m 的值，并完成频率 分布直方图； (2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数； (3)在空气质量指数分别为(50,100和(150,200的监
9、测数据中，用分层抽样的 方法抽取 5 天，从中任意选取 2 天，求事件 A“两天空气质量等级都为良”发 生的概率 19.(12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足. cos cos2 A B a bc (1)求角 A 的大小; (2)若,52a求ABC 面积的最大值. 20.(12 分)已知圆, 4)4() 3( : 22 yxC直线l过定点).0 , 1 (A （1）若l与圆C相切，求l的方程； （2） 若l与圆相交于QP,两点， 求CPQ面积的最大值， 并求此时直线l的方程。 21.(12 分)如图，在正方体 1111 DCBAABCD中，的中点，与分别为
10、1 ,BBABFE （1）求证：BDAEF 11 平面； （2）设二面角CDEF为，求.tan 22.(12 分)已知各项均不相等的等差数列an的前 4 项和 S4=14,且 a1,a3,a7成等比数 5 列. (1)求数列an的通项公式; (2)设 Tn为数列 1 1 nna a 的前n项和，若 1 nn aT对任意 nN*恒成立,求实数 的最小值. 6 高二数学试题答案 一、一、选择题选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B D C B C D C A D B 二、二、填空题填空题 13. 56 14. 3 2 15. 10.5,10.5 16.6 三、解答
11、题、解答题 17.解：(1)由题意得 = 1 4(5+6+7+8)=6.5, = 1 4(15+17+21+27)=20 , / 2 =1 4 (xi-x)(yi-y)=(5-6.5)(15-20)+(6-6.5)(17-20)+(7-6.5)(21-20)+(8-6.5)(27-20) =20 i=1 4 (xi-)2=(5-6.5)2+(6-6.5)2+(7-6.5)2+(8-6.5)2=5, / 4 = =1 4 (-)(-) =1 4 (-)2 = 20 5 =4, =20-46.5=-6. / 6 回归直线方程为 =4x-6. / 7 (2)当 x=9 时, =49-6=30, /
12、9 故预测该社区 2019 年在“文化丹青”上的投资金额为 30 万元. / 10 18.解：(1)0.0045020 n ，n100， 2040m105100，m25 / 2 40 100500.008； 25 100500.005； 10 100500.002； 5 100500.001. 由此完成频率分布直方图，如图： / 4 7 (2)由频率分布直方图得该组数据的平均数 x 250.00450 750.00850 1250.00550 1750.00250 2250.0015095， 0,50的频率为 0.004500.2，(50,100的频率为 0.008500.4， 中位数为 50
13、0.50.2 0.4 5087.5. / 6 (3)由题意知：在空气质量指数为(50,100和(150,200的监测天数中分别抽取 4 天 和 1 天， / 7 在所抽取的 5 天中， 将空气质量指数为(50,100的 4 天分别记为 a， b， c， d； 将空气质量指数为(150,200的 1 天记为 e，从中任取 2 天的基本事件为(a，b)， (a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共 10 个， / 9 其中事件 A“两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a，b)，(a，c)， (a，d)，(b，c)，(b，d)
14、，(c，d)，共 6 个， / 11 所以 P(A) 6 10 3 5. / 12 19.解：(1)因为 A B a bc cos cos2 ，所以(2c-b)cos A=acos B. 由正弦定理,得(2sin C-sin B)cos A=sin Acos B, 整理得 2sin Ccos A-sin Bcos A=sin Acos B. 所以 2sin Ccos A=sin (A+B)=sin C. 在 ABC 中,0C,所以 sin C0. 所以. 3 , 3 0, 2 1 cos AAA故又 / 6 (2)由(1)得52, 3 aA 则 cos A 2 1 2 222 bc acb ，
15、 整理得b2+c2=bc+20. 由基本不等式,得 b2+c22bc, 则 bc+202bc,所以 bc20,当且仅当 b=c 时,等号成立, / 9 故三角形的面积. 3520 4 3 4 3 3 sin 2 1 sin 2 1 bcbcAbcS 所以 ABC 面积的最大值为. 35 / 12 20.解：(1)若直线l的斜率不存在，方程为1x，合题意。 / 2 若直线l的斜率存在，设l的方程为) 1( xky，即0kykx 8 直线l与圆C相切，圆心)4 , 3(到直线l的距离等于半径， 即2 1 43 2 k kk 解得： 4 3 k 故直线l的方程为 . 0343),1( 4 3 yxx
16、y即 / 5 综上：所求直线l的方程为1x或. 0343 yx / 6 (2)由题意得：直线的斜率一定存在且不为 0 设直线方程为：0kykx，则圆心到直线l的距离 2 1 42 k k d ， / 8 4)2(4442 2 1 224222 dddddddS CPQ 当. 22取得最大值时， CPQ Sd / 10 . 71, 1 42 2 kk k k d或解得： 故所求直线l的方程为. 07701yxyx或 / 12 21. 解： （1）证明：的中点与分别为 1 ,BBABFE 1 / ABEF BAEFBAAB 111 ，又 / 2 111111 ,DAEFBAEFBADA平面平面 /
17、 4 BDABABDADAABADA 11111111111 ,平面，平面 BDAEF 11 平面 / 6 （2）的中点是，交于点、延长ABENCBDE N BEDA E FMMENENBMB连于点交作过, ENFBABCDFB，平面 FMENFBMENBFBBM平面 的平面角为二面角CDEFFMB / 9 9 25 5 2 5 2 a BF a a a a EN BNBE BMaAB ，又，则设 2 5 5 5 2 tantan a a BM FB FMB 2 5 tan / 12 22.解(1)设等差数列an的公差为 d, 由已知得 )6()2( 1464 11 2 1 1 daada da ，解得d=1 或 d=0(舍去), 因此 a1=2.故 an=n+1 / 4 (2)由(1)可知 2 1 1 1 )2)(1( 11 1 nnnnaa nn ， )2(22 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 n n nn Tn / 7 Tnan+1对任意 nN*恒成立, ),2( )2(2 n n n 即 2 )2(2n n 对任意 nN*恒成立. / 9 又 16 1 )4 4 (2 1 )44(2)2(2 22 n n nn n n n （当且仅当 n n 4 即 n=2 时,等号成立） / 11 的最小值为 16 1 . / 12
