1、数学试卷 第 1 页 共 2 页 衡安学校衡安学校 2020-2021 学年高学年高二二上学期第上学期第五五次次练习练习 文科数学文科数学试卷试卷 (时间：120 分钟 满分：150 分) 第卷(选择题，共 60 分) 一、单选题一、单选题（每题（每题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1已知直线4 20mxy与直线250 xyn互相垂直，垂足为1, p，则mnp 等 于（ ） A0 B4 C20 D24 2袋内分别有红白黑球 3，2，1 个，从中任取 2 个，则互斥而不对立的两个事件是（ ） A至少有一个白球；都是白球 B至少有一个白球；至少有一个红球 C恰有一个白球；一个白球一个黑
2、球 D至少有一个白球；红黑球各一个 3若椭圆 22 :1 84 xy C的右焦点为F，过左焦点F作倾斜角为60的直线交椭圆C于P，Q 两点，则PQF的周长为（ ） A6 2 B8 2 C6 D8 4两圆 22 1: 16Cxy， 22 2: 2270Cxyxy，则两圆公切线条数为（ ） A1 B2 C3 D4 5近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带 一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是 20132018年中国到“一带一路”沿线国家的游客 人次情况，则下列说法正确的是（ ） 20132018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加 2013
3、2018年这 6年中，2014 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 20162018年这 3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平 A B C D 6若直线 2yx 与直线 2 10aa xya 平行，则a（） A1a B2a C1a 或 2 D1a 或2 7“1m ”是“曲线 22 1 31 xy mm 表示椭圆”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（ ） A2021 B2019 C2 505 D2 5051 9 2019年湖南等 8 省公布了高考改革综合方案将采取“31
4、2 ”模式即语文、 数学、 英语必考， 考生首先在物理、历史中选择 1 门，然后在思想政治、地理、化学、生物中选择 2 门，一名同 学随机选择 3门功课，则该同学选到历史、地理两门功课的概率为（ ） A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 3 10已知圆 22 :240C xyxy关于直线3 2110 xay对称，则圆 C中以, 22 aa 为 中点的弦长为（ ） A1 B2 C3 D4 11已知椭圆G： 22 22 1 xy ab (0ab)的右焦点为 3,0F，过点F的直线交椭圆于A，B 两点.若AB的中点坐标为1, 1，则G的方程为（ ） A 22 1 4536 xy B 22 1
5、3627 xy C 22 1 2718 xy D 22 1 189 xy 12 已知F是椭圆E： 22 22 10 xy ab ab 的左焦点， 经过原点O的直线l与椭圆E交于P， Q两点，若3PFQF ，且120PFQ，则椭圆E的离心率为（ ） A 7 4 B 1 2 C 3 4 D 3 2 数学试卷 第 2 页 共 2 页 第卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13若命题“ 0 xR， 2 00 10mxmx ”是假命题，则实数m的取值范围是_. 14已知 1 F 2 F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab
6、 的左，右焦点，点P为C上一点，O为坐标 原点， 2 POF为正三角形，则C的离心率为_. 15小明和小强是同一个小区同校不同班的两个中学生，约定每星期天下午在 5:006:00 之间的 任何一个时间随机地在小区附近的固定图书馆里共同学习.两人商量好提前到达图书馆的人最 多等对方 10分钟，如果对方 10 分钟内没到，那么等待的人自行离开.则每次两人能够见面的概 率是_. 16已知点 P 在椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 上，F1是椭圆的左焦点，线段 PF1的中点在圆 2222 xyab上.记直线 PF1的斜率为 k，若1k ，则椭圆离心率的最小值为_. 三、解答题（第三、解答题
7、（第 17 题题 10 分，分，18-22 题每题题每题 12 分，共分，共 70 分）分） 17设p：实数x满足 22 430 xaxa，其中0a； q：实数x满足 2 60 xx. （1）若1a ，且p q 为真，求实数x的取值范围； （2）若 q 是 p 的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 18已知坐标平面上两个定点0,4A，0,0O，动点,M x y满足： 3MAOM （1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记(1)中的轨迹为C，过点 1 ,1 2 N 的直线l被C所截得的线段的长为2 2，求直线l的方 程 19 哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的
8、号 召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了 一次网络模拟考试.全学年共 1500人， 现从中抽取了 100人的数学 成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这 100 人中 110,120)分数段的人数比100,110)分数段的人数多 6人. （1）根据频率分布直方图，求 a，b的值，并估计抽取的 100名同 学数学成绩的中位数； （2）现用分层抽样的方法从分数在130,140)，140,150的两组同学中随机抽取 6 名同学，从 这 6名同学中再任选 2 名同学发言，求这 2名同学的分数不在同一组内的概率. 20“城管喊你摆地摊啦!”为了释放地摊经济活力，为市民提供灵
9、活多样化的便民服务，某地 区为市民在城区设置了流动摊贩临时摆放点.小张为参与地摊创业，调查了该地区甲、乙两个行 业地摊摊主 5年内的年收人，制作了如下统计数据表 年份x 2015 2016 2017 2018 2019 甲行业年收人y（万元） 7.8 8.6 10.0 11.1 12.5 乙行业年收入z（万元） 6.2 10.6 8.2 6.6 13.4 （1）根据表格，对比甲、乙两个行业摊主这 5 年的年收入情况（已知甲、乙两个行业的年收入 的 5个数据的方差分别为 2.852， 7.232） ， 判断小张在这两个地摊行业中选择哪个创业更合适； （2）根据甲行业摊主这 5年年收入的数据，求其
10、年收入y关于年份x的线性回归方程，并据此 估计甲行业摊主在 2020 年的年收入. 附：回归方程y bxa $中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 2 11 2 22 11 () () nn iii ii nn ii ii x ynxyxx b xnxxx ，a ybx . 21已知椭圆 22 22 :1 xy E ab 0ab的半焦距为c，原点O到经过两点 ,0 , 0,cb的直 线的距离为 1 2 c，椭圆的长轴长为4 3. （1）求椭圆E的方程； （2）直线l与椭圆交于,A B两点，线段AB的中点为2, 1M，求弦长.AB 22在平面xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy C
11、ab ab 过点 (2,1)P ，且离心率 3 2 e . （1）求椭圆C的方程； （2）直线l方程为 1 2 yxm，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值. 数学试卷 第 3 页 共 2 页 文科数学第五次练习参考答案文科数学第五次练习参考答案 1A 2D 3B 4B 5A 6B 7B 8A 9A 10D 11D 12A【详解】设椭圆的右焦点 F ，连接 PF ， QF ，根据椭圆对称性可知四边形PFF Q 为 平行四边形， 则QF PF ，且由120PFQ，可得60FPF， 所以42PFPFPFa ，则 1 2 PFa ， 3 2 PFa 由余弦定理可得 2 222 22co
12、s603cPFPFPF PFPFPFPF PF， 即 2222 97 44 44 caaa， 椭圆的离心率 2 2 77 164 c e a 130,4 1431 15 11 36 16 2 1 【详解】设线段 1 PF的中点为Q，连接OQ，由于Q在圆 22222 xyabc上， 所以OQc.由于O是线段 12 FF的中点，所以 22 /,22OQ PF PFOQc， 所以 1 22PFac. 设 12 PFF，则tan1k，所以, 4 2 ， 2 cos0, 2 . 在三角形 12 PFF中，由余弦定理得 222 1122 112 cos 2 PFFFPF PFFF 22 22 2244 2
13、 2222 acccac accacc ， 所以 2 2 0 22 ac acc ，由于ac，0ac ，所以 2 02acacc， 所以 2 012 1 ccc aaa ，所以 2 012 1eee， 由于01e ，所以不等式左边成立， 右边，即 2 12 1eee，可化为 2 122210ee ， 12110ee ，解得 2 11e ，所以e的最小值为 2 1 . 17（1）1,3；（2） 0,1. 【解析】 (1)由 x 24ax3a20 得(x3a)(xa)0，所以 a 当 a1 时，由 q 为真时，实数 x 的范围是 2 x3， 若 pq 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 x 的取
14、值范围是(1,3) (2) p ：xa 或 x3a， q ：x3， 由 q 是 p 的充分不必要条件，有 2 33 0 a a a 得 0 p q ，即 a 的取值范围为(0,1 18(1) 22 19 () 24 xy，轨迹为圆；(2) 4310 xy 或 1 2 x . 【详解】详解：（1） 由3MAOM得 2222 (0)(4)3xyxy ， 化简得： 22 19 () 24 xy，轨迹为圆 （2）当直线l的斜率不存在时，直线 1 : 2 l x 符合题意； 当直线l的斜率存在时，设l的方程为： 1 1() 2 yk x ，即 1 10 2 kxyk ， 由圆心到直线的距离等于 2 3
15、| 91 22 2 42 1 k d k ， 解得 4 3 k ， 直线l方程为4310 xy ， 所求的直线l的方程为：4310 xy 或 1 2 x . 19（1）0.020a ，0.026b；中位数为 4 112 13 ；（2） 8 15 . 【详解】（1）(0.0020.0080.0140.0150.010.005) 101ab， 得0 . 0 4 6ab， 又由 100人中110,120)分数段的人数比100,110)分数段的人数多 6人 则100 10()6ba，解得0.020a ，0.026b 中位数中位数为 0.510 0.0020.0080.0140.02 110 0.026
16、 4 112 13 （2）设“抽取的 2名同学的分数不在同一组内”为事件 A， 由题意知，在分数为130,140)的同学中抽取 4 人，分别用 1 a， 2 a， 3 a， 4 a表示， 在分数为140,150的同学中抽取 2人，分别用 1 b， 2 b表示， 从这 6 名同学中抽取 2 人所有可能出现的结果有： 12 ( ,)a a， 13 (,)a a， 14 ( ,)a a， 11 (,)a b， 12 (,)a b， 23 (,)a a， 24 (,)a a， 21 (,)a b， 22 (,)a b， 34 (,)a a， 31 (,)a b， 32 (,)a b， 41 (,)a
17、b， 42 (,)a b， 12 ( ,)b b，共 15种 抽取的 2名同学的分数不在同一组内的结果有： 11 (,)a b， 12 (,)a b， 21 (,)a b， 22 (,)a b， 31 (,)a b， 32 (,)a b， 41 (,)a b， 42 (,)a b，共 8 种 数学试卷 第 4 页 共 2 页 所以 8 ( ) 15 P A 抽取的 2名同学的分数不在同一组内的概率为 8 15 . 20（1）甲行业；（2） 1.192390.23yx ，13.57万元. 【详解】（1）根据表格， 7.88.6 10 11.1 12.5 10 5 y ， 6.2 10.68.26
18、.6 13.4 9 5 z ， 2 2.852 y S ， 2 7.232 z S ，因为yz， 22 yz SS， 且甲行业摊主这 5年的年收入情况一直呈现递增趋势，因此小张选择甲行业创业更合适. （2） 2017x ， 1 2 1 () 22.211.40 1.1 2 2.5 1.19 10 () n ii i n i i xxyy b xx ， 10 1.19 20172390.23aybx ， 所以年收入y关于年份x的线性回归方程为 1.192390.23yx . 当2020 x 时， 1.19 20202390.23 13.57y ， 故甲行业摊主在 2020年的年收入估计值为 13
19、.57万元. 21（1） 22 1 123 xy ；（2）10. 【详解】解：（1）经过两点 ,0 , 0,cb的直线为：1 xy cb 即0bxcybc. 由已知：原点到直线的距离 22 1 2 bcbc dc a bc 即 1 2 b a 因为24 3a ，所以3.b 所以椭圆的标准方程为： 22 1 123 xy （2）当直线l斜率不存在时，线段AB的中点在x轴上，不合题意.所以直线l的斜率存在，设 为k，则直线12yk x 即为：21ykxk 设 1122 ,A x yB x y 联立 22 21 4120 ykxk xy 得： 222 1 4821161680kxkkxkk 222
20、1 4821161680kxkkxkk 显然 则 12 2 821 4 1 4 kk xx k ，解得 1 2 k 则 2 12 2 16168 2 1 4 kk x x k 所以 2 2 121212 1 11410 4 ABkxxxxx x 22（1） 22 1 82 xy ；（2）2. 【详解】（1）因为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 (2,1)P ，且离心率 3 2 e . 所以 222 41 1 3 2 aac c a ，解得 2 2a ， 6c ，则 2b ，所以椭圆方程为： 22 1 82 xy . （2）设直线方程为 1 2 yxm， 1 (A x， 1) y、 2 (B x， 2) y， 联立方程组 22 1 2 1 82 yxm xy 整理得： 22 2240 xmxm， 所以 12 2xxm ， 2 12 24x xm， 由弦长公式得： 2 5(4)ABm，点P到l的距离为 2| 5 m d . 所以 22 222 211(4) 5(4)?(4)2 2225 mmm SAB dmmm . 当且仅当 2 2m ，即2m时取到最大值，最大值为：2.
