1、试卷第 1 页，总 14 页 山西省运城市景胜中学山西省运城市景胜中学 2020-2021 学年度第一学期高二期中数学试题（文）学年度第一学期高二期中数学试题（文） 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计 60 分 ， ） 1. 在空间直角坐标系中，点(2,1,9)关于轴的对称点的坐标是( ) A.(2,1,9) B.(2,1,9) C.(2,1,9) D.(2,1,9) 2. 若(2,1)为圆( 1)2+ 2= 25的弦的中点，则直线的方程是( ) A. 3 = 0 B.2 + 3 = 0 C. + 1 = 0 D.2 5 = 0 3. 已知某几何体的三视图如图所示，则
2、该几何体的体积为( ) A.32 3 B.32 C.16 3 D.16 4. 已知等腰直角三角形的斜边所在的直线是，直角顶点是 ，则两条直角边，的方程是( ) A.， B.， C.， D.， 5. 圆1:2+ 2= 4与圆2:2+ 2 4 + 4 12 = 0的公共弦的长为( ) A.2 B.3 C.22 D.32 6. 在空间中，有如下四个命题： 若平面垂直平面，则平面内的任意一条直线垂直于平面； 平行于同一个平面的两条直线是平行直线； 垂直于同一条直线的两个平面是平行平面； 过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直 其中正确的两个命题是( ) 试卷第 2 页，总 4 页 A.、 B.、
3、C.、 D.、 7. 某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1） ，则该三棱锥中最长的 棱长为( ) A.4 B.22 C.10 D.23 8. 三棱锥 的高为，若三个侧面两两垂直，则为 的（ ） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 9. 在四面体 中， 平面， = 90， = = 2， = 1，则 该四面体的外接球的表面积为( ) A.2 3 B.4 3 C.4 D.5 10. 已知方程2+ 2+ 4 2 4 = 0，则2+ 2的最大值是( ) A. 14 65 B.14 C.9 D. 14 + 65 11. 圆2+ 2+ 2 6 + 1 = 0关于直线 + 3 = 0( 0
4、, 0)对称，则1 + 3 的最小值是( ) A.23 B.20 3 C.16 3 D.4 12. 如图，已知正方体 1111的棱长为2，点在线段1上，且1 = 2， 平面经过点，1，则正方体 1111被平面截得的截面面积为( ) 试卷第 3 页，总 14 页 A.36 B.26 C.5 D.53 4 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计 20 分 ， ） 13. 圆锥底面半径为2，高为2，其中有一个内接正方体，则这个内接正方体的 棱长为_. 14. 直线( + 1) + + + 3 = 0被圆 2+ 2= 25所截的弦长的最小值为 _. 15. 圆2+ 2 4 40上恰
5、有两点到直线 + 0的距离为2，则实数的取 值范围是_ 16. 若为直线 + 4 = 0上一个动点，从点引圆:2+ 2 4 = 0的两条切线 ，（切点为，） ，则|的最小值是_. 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计 70 分 ， ） 17.(10 分) 已知圆的方程为2+ 2= 4. (1)求过点(2,1)且与圆相切的直线的方程； (2)直线过点(2,1)，且与圆交于、两点，若| = 23，求直线的方程. 18.(12 分) 如图，四棱锥 的底面为正方形，平面 平面，且 = = 2， = 2. 试卷第 4 页，总 4 页 (1)证明： 平面； (2)求点到平面的距离 19.(12 分)
6、 已知 的顶点(5，1)，边上的中线所在直线方程为2 5 = 0，边上的高所在直线方程为 2 5 = 0. (1)求边所在直线方程； (2)求过顶点且与平行的直线 20.(12 分) 如图，已知1平面，1/1， = = 3， = 25， 1= 7，1= 27，点，分别为，1的中点 (1)求证：/平面11； (2)求证：平面1平面1； (3)求直线11与平面1所成角的大小 21.(12 分) 如图，几何体中， ， 均为边长为2的正三角形，且平 面/平面，四边形为正方形. 1)若平面 平面，求证：平面/平面； (2)若二面角 为150，求直线与平面所成角的正弦值. 22.(12 分) 在平面直角坐
7、标系中，已知(0,3)，直线: = 2 4圆的半径为1， 圆心在直线上 (1)若圆心又在直线 = 1上，过点作圆的切线，求切线方程； (2)若圆上存在一点满足 = 2，求圆心的横坐标的范围 试卷第 5 页，总 14 页 景胜中学高二景胜中学高二期中考试期中考试数学抽考试题数学抽考试题答案答案（理理） 一、选择题 1.BAABC 6 CDCCD 11 CB 二、填空题 13.22 3 14.43 15.(4,0) (4,8) 16.47 3 三、三、 解答题解答题 （本题共计（本题共计 6 小题小题 ，共计，共计 70 分分 ） 17.解：(1)当斜率不存在时， 直线方程为 = 2，与圆相切，满
8、足题意； 当斜率存在时， 设直线方程为： 1 = ( 2)，即 2 + 1 = 0， 圆圆心坐标为(0,0)，半径 = 2， 圆心到直线的距离 = |2+1| 2+1 = 2， 解得： = 3 4， 直线方程为 3 4 + 5 2 = 0， 即3 + 4 10 = 0 . 综上所述： 过点(2,1)且与圆相切的直线的方程为： = 2或3 + 4 10 = 0 . (2)由(1)知，直线斜率存在，可设其方程为 2 + 1 = 0， 设圆心到直线距离为， | = 22 2= 24 2= 23 ， = 1 ， 即 = |2+1| 2+1 = 1， 解得： = 0或 = 4 3， 直线的方程为 + 1
9、 = 0或4 3 5 3 = 0， 即 = 1或4 3 5 = 0. 【解答】 解：(1)当斜率不存在时， 直线方程为 = 2，与圆相切，满足题意； 当斜率存在时， 设直线方程为： 1 = ( 2)，即 2 + 1 = 0， 圆圆心坐标为(0,0)，半径 = 2， 圆心到直线的距离 = |2+1| 2+1 = 2， 解得： = 3 4， 试卷第 6 页，总 4 页 直线方程为 3 4 + 5 2 = 0， 即3 + 4 10 = 0 . 综上所述： 过点(2,1)且与圆相切的直线的方程为： = 2或3 + 4 10 = 0 . (2)由(1)知，直线斜率存在，可设其方程为 2 + 1 = 0，
10、 设圆心到直线距离为， | = 22 2= 24 2= 23 ， = 1 ， 即 = |2+1| 2+1 = 1， 解得： = 0或 = 4 3， 直线的方程为 + 1 = 0或4 3 5 3 = 0， 即 = 1或4 3 5 = 0. 18. 【答案】 (1)证明： 平面 平面，平面 平面 = ， ， 平面， 平面 又 平面， 在 中， = = 2， = 2， 2+ 2= 2， = ， 平面， 平面 (2)解：如图，设点到平面的距离为， 取的中点，连接，作 于， 则 平面 平面，平面 平面 = ， 平面 = 1 2 = 1， = 5， 在 中， = 6， 同理， = 6 是等腰三角形 由=
11、得： 试卷第 7 页，总 14 页 1 3 = 1 3 ， 1 2 = 1 2 ， 解得 = 25 5 ， 点到平面的距离为25 5 【解答】 (1)证明： 平面 平面，平面 平面 = ， ， 平面， 平面 又 平面， 在 中， = = 2， = 2， 2+ 2= 2， = ， 平面， 平面 (2)解：如图，设点到平面的距离为， 取的中点，连接，作 于， 则 平面 平面，平面 平面 = ， 平面 = 1 2 = 1， = 5， 在 中， = 6， 同理， = 6 是等腰三角形 由= 得： 1 3 = 1 3 ， 1 2 = 1 2 ， 解得 = 25 5 ， 点到平面的距离为25 5 19.
12、【答案】 试卷第 8 页，总 4 页 解：(1)由边上的高所在直线方程为 2 5 = 0， 可知= 2. 又(5，1)， 故边所在直线方程为 1 = 2( 5)， 即边所在直线方程为2 + 11 = 0 (2)联立2 + 11 = 0, 2 5 = 0, 解得 = 4, = 3, 所以顶点的坐标为(4，3). 又因为所在直线的斜率为1 2， 故所求直线方程为 3 = 1 2 ( 4)， 即 2 + 2 = 0 【解答】 解：(1)由边上的高所在直线方程为 2 5 = 0， 可知= 2. 又(5，1)， 故边所在直线方程为 1 = 2( 5)， 即边所在直线方程为2 + 11 = 0 (2)联立
13、2 + 11 = 0, 2 5 = 0, 解得 = 4, = 3, 所以顶点的坐标为(4，3). 又因为所在直线的斜率为1 2， 故所求直线方程为 3 = 1 2 ( 4)， 即 2 + 2 = 0 20. 【答案】 (1)证明：连接1， 在 1中， 和分别是和1的中点， /1， 试卷第 9 页，总 14 页 又 1 平面11， 平面11， /平面11. (2)证明： = ，为的中点， 1 平面，1/1， 1 平面. 平面， 1 又 1 平面1， 平面1，1 = ， 平面1. 平面1， 平面1平面1 (3)解：取1中点和1中点，连接1，1， 和分别为1和的中点， 平行且等于1 21， 平行且等
14、于1， 四边形1是平行四边形， 1平行且等于. 又 平面1， 1 平面1， 11即为直线11与平面1所成角. 在 中，可得 = 2， 1 = = 2. /1， = 1， 1/且1 = . 又由 1， 1 1. 在 11中，11= 12+ 12= 4， 在 11中，sin11 = 1 11 = 1 2， 11 = 30，即直线11与平面1所成角的大小为30. 【解答】 (1)证明：连接1， 试卷第 10 页，总 4 页 在 1中， 和分别是和1的中点， /1， 又 1 平面11， 平面11， /平面11. (2)证明： = ，为的中点， 1 平面，1/1， 1 平面. 平面， 1 又 1 平面1
15、， 平面1，1 = ， 平面1. 平面1， 平面1平面1 (3)解：取1中点和1中点，连接1，1， 和分别为1和的中点， 平行且等于1 21， 平行且等于1， 四边形1是平行四边形， 1平行且等于. 又 平面1， 1 平面1， 11即为直线11与平面1所成角. 在 中，可得 = 2， 试卷第 11 页，总 14 页 1 = = 2. /1， = 1， 1/且1 = . 又由 1， 1 1. 在 11中，11= 12+ 12= 4， 在 11中，sin11 = 1 11 = 1 2， 11 = 30，即直线11与平面1所成角的大小为30. 21.【答案】 (1)证明：如图，取的中点，的中点，连接
16、， 则 ，又平面 平面， 平面 平面 = ， 所以 平面， 同理 平面， 所以/， 又 = ， 所以四边形为平行四边形， 所以/，/平面， 又/，/平面， 又因为和交于点， 所以平面/平面 (2)解：连结，则 ， 又 ， 所以为二面角 的平面角， 所以 = 150. 因为 ， ， 所以 平面， 所以平面 平面，且交线为， 又因为/， 所以与平面所成的角即为所求. 过在平面中作 于， 则 平面， 所以即为所求的角. 因为2= 22+ (3)2 2 2 3cos150= 7 + 6 = 13, 即 = 13. 所以1 2 13 = 1 2 2 3sin150， 试卷第 12 页，总 4 页 所以
17、= 39 13 . 所以sin = = 39 26 . 【解答】 (1)证明：如图，取的中点，的中点，连接， 则 ，又平面 平面， 平面 平面 = ， 所以 平面， 同理 平面， 所以/， 又 = ， 所以四边形为平行四边形， 所以/，/平面， 又/，/平面， 又因为和交于点， 所以平面/平面 (2)解：连结，则 ， 又 ， 所以为二面角 的平面角， 所以 = 150. 因为 ， ， 所以 平面， 所以平面 平面，且交线为， 又因为/， 所以与平面所成的角即为所求. 过在平面中作 于， 则 平面， 所以即为所求的角. 因为2= 22+ (3)2 2 2 3cos150= 7 + 6 = 13,
18、 即 = 13. 所以1 2 13 = 1 2 2 3sin150， 所以 = 39 13 . 所以sin = = 39 26 . 试卷第 13 页，总 14 页 22. 【答案】 解：(1)联立得： = 1， = 2 4. 解得： = 3， = 2. ， 圆心(3,2) 若不存在，不合题意； 若存在，设切线为： = + 3， 可得圆心到切线的距离 = ， 即|3+32| 1+2 = 1， 解得： = 0或 = 3 4， 则所求切线为 = 3或 = 3 4 + 3. (2)设点(,)，由 = 2，知：2+ ( 3)2= 22+ 2， 化简得：2+ ( + 1)2= 4， 点的轨迹为以(0,1)
19、为圆心，2为半径的圆，可记为圆， 又 点在圆上，(,2 4)， 圆与圆的关系为相交或相切， 1 | 3，其中| = 2+ (2 3)2， 1 2+ (2 3)2 3， 解得：0 12 5 ， 圆心的横坐标的取值范围为0, 12 5 . 【解答】 解：(1)联立得： = 1， = 2 4. 解得： = 3， = 2. ， 圆心(3,2) 若不存在，不合题意； 若存在，设切线为： = + 3， 可得圆心到切线的距离 = ， 即|3+32| 1+2 = 1， 解得： = 0或 = 3 4， 则所求切线为 = 3或 = 3 4 + 3. (2)设点(,)，由 = 2，知：2+ ( 3)2= 22+ 2， 化简得：2+ ( + 1)2= 4， 点的轨迹为以(0,1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆， 试卷第 14 页，总 4 页 又 点在圆上，(,2 4)， 圆与圆的关系为相交或相切， 1 | 3，其中| = 2+ (2 3)2， 1 2+ (2 3)2 3， 解得：0 12 5 ， 圆心的横坐标的取值范围为0, 12 5 .
