1、 广东省 2021 年新高考名师原创适应性仿真试卷 数数 学学 注：本卷共 22 小题，满分 150 分。 一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 15 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 90 分）分） 1已知集合 2 340Ax xx，集合24BxZx，则AB （ ） A2,1,0,1 B1,0,1,2,3 C0,1 D 1 2已知向量(2,3)a ，(3,2)b ，则|ab rr （ ） A 2 B2 C5 2 D50 3函数 1 2 x x x f 的定义域为（ ） A1,2 2, B1, C1,2 D1, 4已知函数 3 1 2 21,1 ( ) 3log,1 x x
2、f x x x ，则( (4)ff（ ） A3 B4 C5 D 1 4 5 已知不等式 2 10axbx 的解集是 32xx ， 则不等式 2 0 xbxa的解集是 （ ） A 1 6 x x 或1x B1x x 或 1 6 x C 2x x 或3x D3x x 或2x 6已知角的终边经过点 P(4，3)，则2sin cos的值等于( ) A 2 5 B 4 5 C 3 5 - D 2 5 7计算 21 02 32 983 ( )( 2.5)()( ) 4272 的结果为（ ） A 5 2 B 1 2 C 25 18 D 3 2 8如果b是a和c的等比中项，则函数 2 yaxbxc的图像与x轴
3、交点个数是（ ） A0 B1 C2 D0或 2 9完成一项装修工程，请木工需付工资每人 500元，请瓦工需付工资每人 400 元，现有工人工资预 算 20000元，设木工0 x x 人，瓦工0y y 人，则关于工资 , x y满足的不等关系是（ ） A5 4200 xy B54200 xy C5 4200 xy D54200 xy 10已知三条直线a，b，c满足：a与b平行，a与c异面，则b与c（ ） A一定异面 B一定相交 C不可能平行 D不可能相交 11两圆 22 1: 16Cxy， 22 2: 2270Cxyxy，则两圆公切线条数为（ ） A1 B2 C3 D4 12在如图所示的“茎叶图
4、”表示的数据中，众数和中位数分别（）. A23与 26 B31与 26 C24与 30 D26与 30 13已知函数 2, 1, 11,1 xx f x f xx ，则2020f（ ） A1 B2020 C1 D2020 14在ABC中，角A，B，C所対的边分别为a，b，c，已知 222 3abcab ，且 sin2 3sinacBC ，则 ABC S（ ） A 1 2 B 3 2 C1 D 3 15 几何原本第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题 的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如 图所示的图形，点 F在
5、半圆 O 上，且OFAB，点 C 在直径AB上运动.设ACa，BCb，则 由FCOF可以直接证明的不等式为（ ） A 0,0 2 ab ab ab B 22 20,0abab ab C 2 0,0 ab ab ab ab D 22 0,0 22 abab ab 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 24 分）分） 16已知 (0, ) ， 3 sin 5 ，则tan() 4 _ 17已知数列 n a的前项和 2 n Snn，则数列 n a的第 4项是_ 18某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现优质品的概率为 1 8 ，出现合
6、格品的概 率为 3 4 ，其余为次品在该产品中任抽一件，则抽到的为次品的概率为_ 19已知实数 , x y满足方程 2 2 21xy，则 y x 的取值范围是_. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 12 分，满分分，满分 36 分）分） 20在平面四边形ABCD中，已知1ABBCCD，3AD . （1）若 6 A ，求sinBDC； （2）求3coscosAC. 21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD 平面ABCD，PAPD ， 60BAD. （1）求证：ADPB； （2）若2AD ，三棱锥ABDP的体积为 1，求线段PB的长度.
7、22某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设， 投资 64万元新建一处农业生态园.建成投入运营后，第一年需支出各项费用 11万元，以后每年支出 费用增加 2 万元.从第一年起，每年收入都为 36万元.设 f n表示前n年的纯利润总和（ f n 前 n年的总收入-前n年的总支出费用-投资额） （1）求 f n的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值； （2）计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值. 广东省 2021 年新高考名师原创适应性仿真试卷 数数 学学 注：本卷共 22 小题，满分 150 分。 一、单选题（本大题共一、单选题（本
8、大题共 15 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 90 分）分） 1已知集合已知集合 2 340Ax xx，集合，集合24BxZx，则，则AB （ ） A2,1,0,1 B 1,0,1,2,3 C0,1 D 1 【答案】【答案】A 【分析】先分别化简两集合，再求交集，即可得出结果. 【详解】因为集合 2 34041Ax xxxx ， 集合242, 1,0,1,2,3BxZx ， 所以2, 1,0,1AB .故选：A. 【点睛】本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型. 2已知向量已知向量(2,3)a ，(3,2)b ，则，则|ab rr （ ） A 2 B2
9、 C5 2 D50 【答案】【答案】A 【分析】求出ab的坐标，再利用向量模的公式计算即可. 【详解】由已知，(2,3)(3,2)( 1,1)ab ， 所以 22 |( 1)12ab.故选：A. 【点睛】本题考查向量模的坐标运算，是基础题. 3函数函数 1 2 x x x f 的定义域为（的定义域为（ ） A1,22, B1, C1,2 D1, 【答案】【答案】A 【分析】根据题意可得出关于x的不等式组，由此可解得函数 f x的定义域. 【详解】 对于函数 1 2 x x x f ，有 10 20 x x ，解得1x且2x. 因此，函数 1 2 x x x f 的定义域为1,22,.故选：A.
10、 【点睛】本题考查函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 4已知函数已知函数 3 1 2 21,1 ( ) 3log,1 x x f x x x ，则，则( (4)ff（ ） A3 B4 C5 D 1 4 【答案】【答案】A 【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（4）的值，即可得 (f f（4）)f （1） ，计算即可得答 案. 【详解】解：根据题意，函数 3 1 2 21,1 ( ) 3log,1 x x f x x x ， 则 1 2 43log 4321f ， 则 2 ( (4)1213f ff .故选：A. 【点睛】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题. 5
11、已知不等式已知不等式 2 10axbx 的解集是的解集是 32xx ， 则不等式， 则不等式 2 0 xbxa的解集是 （的解集是 （ ） A 1 6 x x 或或1x B1x x 或或 1 6 x C 2x x 或或3x D3x x 或或2x 【答案】【答案】B 【分析】先由已知不等式的解集求出a，b，再代入所求不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为不等式 2 10axbx 的解集是 32xx ， 所以3和2是方程 2 10axbx 的两根， 则 32 1 32 b a a ，解得 5 6 1 6 b a ， 因此 2 0 xbxa即为 2 51 0 66 xx ，即 1 10 6 xx
12、， 解得 1 6 x 或1x.故选：B. 【点睛】本题主要考查由一元二次不等式的解集求参数，考查解一元二次不等式，属于基础题型. 6已知角已知角的终边经过点的终边经过点 P(4， ，3)，则，则2sincos的值等于的值等于( ) A 2 5 B 4 5 C 3 5 - D 2 5 【答案】【答案】A 【分析】根据角的终边过点4 3P,，利用任意角三角函数的定义，求出sin和cos的值，然 后求出2cossin的值. 【详解】因为角的终边过点4, 3 ,5PrOP， 所以利用三角函数的定义， 求得 34 ,cos 55 sin ， 342 2cos2 555 sin ，故选 A. 【点睛】本题
13、主要考查三角函数的定义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 7计算计算 21 02 32 983 ( )( 2.5)()( ) 4272 的结果为（的结果为（ ） A 5 2 B 1 2 C 25 18 D 3 2 【答案】【答案】B 【分析】利用指数的运算法则以及零次幂求解即可. 【详解】 21 02 32 983344 ( )( 2.5)()( )1 4272299 1 2 ；故选：B. 【点睛】本题主要考查了指数的运算法则.属于容易题. 8如果如果b是是a和和c的等比中项，则函数的等比中项，则函数 2 yaxbxc的图像与的图像与x轴交点个数是（轴交点个数是（ ） A0 B1
14、 C2 D0 或或 2 【答案】【答案】A 【分析】根据b是a和c的等比中项，得到 2 bac，且0ac ，然后表示出此二次函数的根的判别 式，判断出根的判别式的符号即可得到二次函数与x轴交点的个数. 【详解】解：由b是a和c的等比中项，得到 2 bac，且0ac ， 令 2 0(0)axbxca 则 2 4430bacacacac ， 所以函数 2 yaxbxc的图象与x轴的交点个数是 0. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，灵活运用根的判别式的符号判断二次函数与x轴的交点 个数，属于基础题. 9完成一项装修工程，请木工需付工资每人完成一项装修工程，请木工需付工资每人 500
15、 元，请瓦工需付工资每人 元，请瓦工需付工资每人 400 元，现有工人工资预元，现有工人工资预 算算 20000 元，设木工元，设木工0 x x 人，瓦工人，瓦工0y y 人，则关于工资人，则关于工资 , x y满足的不等关系是（ 满足的不等关系是（ ） A5 4200 xy B 54200 xy C54 200 xy D54200 xy 【答案】【答案】D 【分析】木工所付工资与瓦工所付工资的和小于现有工资预算. 【详解】由题意，可得50040020000 xy，化简得54200 xy. 故答案为: D. 【点睛】应用题答题的关键是审题，此题为简单题. 10已知三条直线已知三条直线a，b，c
16、满足：满足：a与与b平行，平行，a与 与c异面，则异面，则b与与c（ ） A一定异面一定异面 B一定相交一定相交 C不可能平行不可能平行 D不可能相交不可能相交 【答案】【答案】C 【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线的定义即可得出 ABD 错误，再利用反证法结合 平行公理即可得到b与c不可能平行. 【详解】如图所示： b与c可能异面， 也可能相交， 不可能平行 用反证法证明一定不平行， 假设/bc， 又/ab， 则/ac， 这与已知a与c异面矛盾，所以假设不成立，故b与c不可能平行.故选：C. 【点睛】熟练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线定义是解题的关键，考查学生的数形结合
17、思想，属于基础题 11两圆两圆 22 1: 16Cxy， 22 2: 2270Cxyxy，则两圆公切线条数为（，则两圆公切线条数为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】B 【分析】根据两圆的位置关系即可得解. 【详解】两圆 22 1: 16Cxy，圆心 1 0,0C，半径为 4， 22 2: 2270Cxyxy， 其标准方程为 22 119xy，圆心 2 1, 1C ，半径为 3， 圆心距 12 2, 43243CC ， 即两圆相交，所以公切线恰有两条.故选：B 【点睛】此题考查两圆位置关系的判断，通过圆心距离与两圆半径的关系判定两圆位置关系，进而 得出公切线的条数. 12在如图所示
18、的在如图所示的“茎叶图茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）表示的数据中，众数和中位数分别（）. A23 与与 26 B31 与与 26 C24 与与 30 D26 与与 30 【答案】【答案】B 【分析】根据茎叶图的数据，结合众数与中位数的概念，即可求解，得到答案. 【详解】 根据茎叶图中的数据，可得众数是数据中出现次数最多的数据，即众数为31， 又由中位数的定义，可得数据的中位数为26，故选 B. 【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中正确读取茎叶图的数据，以及熟记众数、中位 数的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13已知函数已知函数 2, 1, 11,
19、1 xx f x f xx ，则，则2020f（ ） A1 B2020 C1 D2020 【答案】【答案】B 【分析】先利用分段函数及周期性求得 202002020ff，再代入计算即得结果. 【详解】 函数 2, 1, 11,1 xx f x f xx ， 则 20202019120182.02020020202020ffff . 故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数求函数值，属于基础题. 14在在ABC中，角中，角A，B，C所対的边分别为所対的边分别为a， ，b，c，已知，已知 222 3abcab ，且，且 sin2 3sinacBC ，则，则 ABC S（ ） A 1 2 B 3 2
20、C1 D 3 【答案】【答案】B 【分析】利用余弦定理可得 6 C ，再利用正弦定理的边角互化可得 2 3ab ，根据三角形的面 积公式即可求解. 【详解】 222 3 cos 22 abc C ab ， 0,C 6 C ， 1 sin 2 C sin2 3sinacBCQ ， 2 3acbc ， 即2 3ab， ABC S 1113 sin2 3sin3 2222 abCC .故选：B. 【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理、三角形的面积公式，考查了基本运算求解能 力，属于基础题. 15 几何原本第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题几何原本第二卷
21、中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题 的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如现有如 图所示的图形，点图所示的图形，点 F在半圆在半圆 O上，且上，且OFAB，点，点 C在直径在直径AB上运动上运动.设设ACa，BCb， 则由则由FCOF可以直接证明的不等式为（可以直接证明的不等式为（ ） A0, 0 2 ab ab ab B 22 20,0abab ab C 2 0,0 ab ab ab ab D 22 0,0 22 abab ab 【
22、答案】【答案】D 【分析】由a、b分别表示OF、CF，再由FCOF即可得解. 【详解】不妨设点 C在半径OB上运动. 由图形可知： 1 22 ab OFAB ， 2 ab OC 在Rt OCF中，由勾股定理可得 22 22 222 ababab CF , FCOF， 22 22 abab ，(0,0)ab.故选：D 【点睛】本题考查了数学文化及基本不等式的证明，考查了运算求解能力，属于基础题. 二、填空题二、填空题 16已知已知 (0, ) ， 3 sin 5 ，则，则tan() 4 _ 【答案】【答案】 1 7 或7 【解析】【解析】 由已知得， 4 cos 5 ，则 3 tan 4 ，所以
23、 3 1 tan11 4 tan 3 41tan7 1 4 ，或 3 1 tan1 4 tan7 3 41tan 1 4 . 17已知数列已知数列 n a的前项和的前项和 2 n Snn，则数列，则数列 n a的第的第 4 项是项是_ 【答案】【答案】6 【分析】根据 n a与 n S的关系，即可得答案； 【详解】 22 443 (44)(33)6aSS，故答案为：6. 【点睛】本题考查 n a与 n S的关系，属于基础题. 18某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现优质品的概率为某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现优质品的概率为 1 8 ，出现合格品的概，出现合格品
24、的概 率为率为 3 4 ，其余为次品在该产品中任抽一件，则抽到的为次品的概率为，其余为次品在该产品中任抽一件，则抽到的为次品的概率为_ 【答案】【答案】 1 8 【分析】根据对立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意，在该产品中任抽一件，“抽到次品”“抽到优质品和合格品”是对立事件， 在该产品中任抽一件，“抽到次品”的概率为 131 1 () 848 P .故答案为： 1 8 . 【点睛】本题考查了对立事件的概率公式，属于基础题. 19已知实数已知实数 , x y满足方程 满足方程 2 2 21xy，则，则 y x 的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】 33 , 33 【分析】设
25、y k x ，数形结合以及点到直线的距离即可求解. 【详解】 2 2 21xy，圆心为2,0，1r ， 设 y k x ，ykx， 当直线与圆相切时 2 2 1 1 k d k ， 3 3 k ， 33 , 33 k ， 所以 y x 的取值范围是 33 , 33 . 故答案为： 33 , 33 【点睛】本题考查了直线的斜率公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用，属于基 础题. 三、解答题三、解答题 20在平面四边形在平面四边形ABCD中，已知中，已知1ABBCCD ，3AD . （1）若）若 6 A ，求，求sinBDC； （2）求）求3coscosAC . 【答案】【答案】 （
26、1） 3 2 ； （2）1. 【分析】(1)在ABD中，利用余弦定理求出BD，进而在BCD中求出sinBDC； (2)在ABD和BCD中分别使用余弦定理表示BD，联立方程组可得出 3coscosAC 的值 【详解】 (1)在ABD中，3AD ，1AB ， 6 A ， 2 3 1 32 3cos42 31 62 BD ，得1BD ， 所以1BDBCCD， 3 BDC ， 3 sin 2 BDC?； (2)在ABD中，由余弦定理得 2 1 32 3cos42 3cosBDAA ， 在BCD中，由余弦定理得 2 1 12cos22cosBDCC ，42 3cos22cosAC， 得 3coscos1
27、AC ，所以 3coscosAC 为定值 1. 【点睛】 本题考查余弦定理在解三角形中的应用， 考查学生数形结合思想和计算能力， 属于基础题 21如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为菱形，平面 为菱形，平面PAD 平面平面ABCD，PAPD， 60BAD . （1）求证：）求证：ADPB； （2）若）若2AD ，三棱锥，三棱锥ABDP的体积为的体积为 1，求线段，求线段PB的长度的长度. 【答案】【答案】 （1）见解析（2）6 【分析】 （1）取 AD中点 M，连接 PM，BM，证出PMAD，BMAD，再利用线面垂直的判 定定理证出AD 平面PMB，进而证出ADPB
28、. （2）利用面面垂直的性质定理可得PM 平面ABCD，再利用等体法： 1 1 3 A BDPP ABDABD VVSPM 求出|3PM，在Rt PMB中，利用勾股定理即可求解. 【详解】解:（1） 取 AD中点 M，连接 PM，BM， ,PAPDPMAD. 四边形ABCD是菱形，且60BAD， ABD是正三角形， BMAD， 又PMBMM，AD 平面PMB. 又PB 平面PMB，ADPB. （2）平面PAD 平面ABCD，且交线为AD， PMAD，PM 平面ABCD. 在正三角形ABD中，2AD ， 1 2 2 sin603 2 ABD S . 由题意可知， 1 1 3 A BDPP ABD
29、ABD VVSPM ， 1 3 | 1 3 PM . |3PM， .PM 平面ABCD，MB 平面ABCD， PMMB. ,|3BMAD MB, 22 |336PBPMMB . 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理、面面垂直的性质定理、等体法求 点到面的距离，属于基础题. 22某山村为响应习近平总书记提出的某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设， 的号召，积极进行生态文明建设， 投资投资 64 万元新建一处农业生态园万元新建一处农业生态园.建成投入运营后，第一年需支出各项费用建成投入运营后，第一年需支出各项费用
30、 11 万元，以后每年支出万元，以后每年支出 费用增加费用增加 2 万元万元.从第一年起，每年收入都为从第一年起，每年收入都为 36 万元万元.设设 f n表示前表示前n年的纯利润总和（年的纯利润总和（ f n 前前 n年的总收入 年的总收入-前前n年的总支出费用年的总支出费用-投资额）投资额） （1）求）求 f n的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值；的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值； （2）计算前多少年的年平均纯利润最大）计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值，并求出最大值. 【答案】【答案】 （1） 2 2664f nnn， * nN .前 13
31、年的纯利润总和最大， 最大值为 105 万元. （2） 前 8年的年平均纯利润最大，最大值为 10万元. 【分析】(1)根据题意知每年的支出费用构成等差数列，求出通项公式，从而求出前n年的纯利润总 和，利用一元二次函数的单调性求得最值；(2)求出前n年的年平均纯利润的表达式，利用均值不等 式可求得最值. 【详解】 （1）由题意，每年的支出费用组成首项为 11，公差为 2 的等差数列， 故前n年的总支出费用为 2 1 11210 2 n n nnn ， 22 3610642664fnnnnnn ， * nN . 2 13105f nn ， 13n 时， f n取得最大值 105， 即前 13年的纯利润总和最大，且最大值为 105 万元. （2）由（1）知，前n年的年平均纯利润为 2 266464 26 f nnn n nnn , 6464 216nn nn ，当且仅当 64 n n ，即8n 时等号成立， 162610 f n n ， 即前 8 年的年平均纯利润最大，且最大值为 10万元. 【点睛】本题考查等差数列前 n 项和，一元二次函数，均值不等式，属于基础题.
