1、. 2012012 2 年年华约自主招生华约自主招生考试数学试题考试数学试题 一、一、选择题选择题 1. 在锐角三角形 ABC 中，已知ABC?，则cosB取值范围是（ ） A、 2 0, 2 ? ? ? ? B、 12 , 22 ? ? ? ? C、?0,1 D、 2 ,1 2 ? ? ? ? 2. 红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这 6 枚棋子排成一列，其中每对同色的棋子中，均为红棋在前， 蓝棋在后，满足这种条件的不同排列方式共有（ ） A、36 B、60 C、90 D、120 3. 正四棱锥 S-ABCD 中，侧棱底面所成的角为?，侧面与底面所成的二面角为?，侧棱 SB 与底面正方 形
2、ABCD 对角线所成角为?，相邻两侧面所成二面角为?，则四个角大小顺序为（ ） A、? B、? C、? D、? 4. 向量e?，1e ?，若对tR? ?，tee?，则（ ） A、e? B、() e? C、()ee? D、()()ee? 5. 若C?， 1 1 ? ? ? ? 的实数部为0，求复数 1 1? 在复平面内对应的点的轨迹（ ） A、一条直线 B、一条线段 C、一个圆 D、一段圆弧 6. 椭圆长轴长是 4， 左顶点在圆 22 (4)(1)4xy?上， 左准线为 y 轴， 则此椭圆的离心率的范围是 （ ） A、 1 1 , 8 4 ? ? ? B、 1 1 , 4 2 ? ? ? C、
3、1 1 , 8 2 ? ? ? D、 1 3 , 2 4 ? ? ? 7. 已知三棱锥 S-ABC中， 底面 ABC 是正三角形， 点 A在侧面 SBC 的射影H是SBC 的垂心， 二面角 H-AB-C 为 30 度，且 SA=2，则此三棱锥体积为（ ） A、 1 2 B、 3 2 C、 3 4 D、 3 4 8. 已知锐角ABC?，BEAC?于E，CDAB?于D，25BC ?，7CE ?，15BD ?，BECDH?，连 接DE，以DE为直径画圆，该圆与AC交于另一点F，AF的长度为（ ） A、8 B、9 C、10 D、11 9. 数列? ? n a的通项公式是 2 2 lg 1 3 n a
4、nn ? ? ? ? ? ， n S是数列的前 n 项和，则lim n n S ? ?（ ） A、0 B、lg 3 2 C、lg2 D、lg3 10. 已知610 i x? ?（1,2,10i ?） ， 10 1 50 i i x ? ? ? ，当 10 2 1 i i x ? ? 取得最大值时，在 i x这 10 个数中等于6?的共 . 有（ ）个 A、1 B、2 C、3 D、4 二、解答题二、解答题 11. 三角形 ABC 中， 2 2sin1 cos2 2 AB C ? ? ?， （1）求角 C 大小； （2） 222 22cba?，求cos2cos2AB?的值 12. 点P在y轴上的投
5、影为H，若?2,0A ?，?2,0B， 2 2AP BPPH? （1）求点P的轨迹； （2）过B的直线在x轴下方交P点轨迹于 M、N 两点，MN 的中点为 R，求过 R 与?0, 2Q?的直线斜 率的取值范围 13. 系统内每个元件正常工作的概率为p，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作 （1）某系统配置21k ?有个元件，k 为整数，求系统正常工作的概率 k P，并讨论 k P的单调性； （2）现为改善（1）中性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统可靠性 14. 已知 2 ( )1 2! n n xx fxx n ? ?（nN?） ， 求证： 当n为偶数时，( )0 n fx ?无解； 当n为奇数时，( )0 n fx ? 有唯一解且 2nn xx ? ? 15. 乒乓球队有n个队员， 在一次双打集训中， 任意两名队员作为队友， 恰好只搭档过一次双打比赛， 求n 的所有可能值并每个给一种比赛方案
