1、小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学第六感 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学资料库 2016 年北京大学数学年北京大学数学科学科学夏令营初赛试题夏令营初赛试题 本试卷共本试卷共 4 4 题，每题题，每题 3030 分，满分分，满分 120120 分，考试时间分，考试时间 180180 分钟分钟 1、已知锐角ABC 中，B=60 0，P 为 AB 中点，Q 为外接圆上弧 AC(不包含点 B)的中点，H 为ABC 的垂心如果 P,H,Q 三点共线，求A 2、求所有的整系数多项式 P(
2、x)，使得存在一个无穷项整数数列an，其中任意两项互不相 等，且满足：P(a1)=0，P(ak+1)=ak (k=1,2,?) 3、给定正整数 n，有 2n 张纸牌叠成一堆，从上到下依次编号为 1 到 2n我们进行这样的操 作：每次将所有从上往下数偶数位置的牌抽出来，保持顺序放在牌堆下方例如 n=3 时，初 始顺序为 123456，操作后依次得到 135246，154326，142536，123456 证明：对任意正整数 n，操作不超过 2n?2 次后，这堆牌的顺序会变回初始状态 4、给定正整数 p,q，数列an满足：a1=a2=1，an+2=pan+1+qan (n=1,2,3?)求证：要使
3、得对 任意正整数 m,n，均有(am,an)=a(m,n)，当且仅当 p=1 时成立 2016 年北京大学数学年北京大学数学科学科学夏令营初赛试题夏令营初赛试题 参考答案参考答案 1、答案答案 75 0 解解 如图，设 O 为外接圆圆心，延长 CO 交外接圆于 D，则四边形 BHAD 为平行四边形，因此 D,P,H 三点共线，进而 D,P,H,Q 四点共线 连接 OH,BQ，由B=60 0，于是 BH=AD=CD/2=OQ, 又 OB=OQ，因此 BHQO 为菱形，从而 OBC=OCB=BAD=HBA, 又 BCD=BQD=OBQ=HBQ, 因此 BO,BQ,BH 将CBA 四等分，进而不难得
4、知A=75 0 2、答案答案 P(x)=x+C，其中 CZ 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学第六感 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学资料库 解解 设 P(x)=0+1x+?+mx m, 其中 mN?，iZ (i=0,1,2,?,m)，则 P(ak+1)?P(ak+2)=ak?ak+1,k=1,2,?, 而 P(ak+1)?P(ak+2)=1(ak+1?ak+2)+2(a 2 k+1?a 2 k+2)+?+m(a m k+1?a m k+2), 因此 (ak+1?ak+2)(a
5、k?ak+1),k=1,2,?, 因此 a1?a2?a2?a3?|ak?ak+1|?|ak+1?ak+2|?. 由于a1?a2的值有限，因此必然存在 K，使得当 k?K 且 kZ 时，有 ak?ak+1=ak+1?ak+2=ak+2?ak+3=?. 由于数列an中任意两项互不相等，因此有 ak?ak+1=ak+1?ak+2=ak+2?ak+3=?, 因此有 P(ak+1)?ak+1=P(ak+2)?ak+2=?. 若 m?2，则方程 P(x)?x=P(aK+1)?aK+1 有无数个解，矛盾这样得到了所有符合题意的整系数多项式 P(x)=x+C，其中常数 CZ 3、证明证明 我们证明一个等价的命
6、题，将每次操作改为先从上往下取后一半的数出来，然后 与前一半交叉放置(类似于洗扑克牌)，如初始顺序为 123456，操作后依次得到 142536， 154326，135246，123456将纸牌按顺时针摆放，使得第一张牌和最后一张牌(它们始终为 1和2n)重合， 将第一张牌的位置记为1， 顺时针旋转将其他牌的位置依次记为2,3,?,2n-1 定 义纸牌 m 顺时针旋转到纸牌 n 时旋转的步数为纸牌 m 到 n 的距离，记为 d(mn)，如图中 d(23)=3 下面证明经过 k 次操作(kN?)后 d(12)=d(23)=?=d(2n?12n), 用数学归纳法 归纳基础归纳基础 当 k=1 时，
7、有 d(12)=d(23)=?=d(2n?12n)=1, 命题成立 归纳假设与递推证明归纳假设与递推证明 设当 k=p 时，有 d(12)=d(23)=?=d(2n?12n)=q. 不难计算得经过操作后位置 x 的纸牌将会移动到位置 f(x)=(2x?1)%(2n?1), 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学第六感 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学资料库 其中 t%s 表示 t 模 s 的余数， 因此原来距离为 q 的纸牌在操作后距离为(2q)%(2n?1) 因此 经过 p+1
8、次操作后，仍然有 d(12)=d(23)=?=d(2n?12n). 综上所述，经过 k 次操作(kN?)后 d(12)=d(23)=?=d(2n?12n). 这就意味着当纸牌 2 的位置确定时，其他所有纸牌的位置都可以依靠该性质确定而纸牌 2 至多只有 2n?2 种可能的位置， 并且纸牌 2 的所在的位置不可能出现不包含位置 2 的循环 这 是因为操作是可以反向的，因此如果出现不包含位置 22 的循环，那么可以断定最初的状态 纸牌 2 所在的位置不可能为 2因此经过不超过 2n?2 次操作后，纸牌 2 必然回到位置 2，原 命题得证 4、证明证明 必要性必要性 根据题意，有 而由(a3,a4)
9、=a1，可得(p,q)=1；又由(a3,a6)=a3，可得 p+qp 2q+q2, 即 p+qpq(p?1)+q(p+q), 因此 p=1 充分充分性性 当 p=1 时，an+2=an+1+qan，于是 （an+2,q)=(an+1+qan,q) =(an+1,q)=? =(a1,q)=1, 进而 (an+1,an+2)=(an+1,an+1+qan) =(an+1,an)=? =(a1,a2)=1. 记 a0=0，用数学归纳法可以证明对任意 m,nN?，m?n，均有 an=aman?m+1+qam?1an?m, 于是 (am,an)=(am,aman?m+1+qam?1an?m) = (am,an?m)=? =(a(m,n),a(m,n)=a(m,n), 原命题得证
