1、小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学第六感 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学资料库 2016 年年北京大学北京大学全国优秀中学生暑期学堂数学试题全国优秀中学生暑期学堂数学试题 文科生做前文科生做前 5 5 题，理科生做后题，理科生做后 5 5 题，每题题，每题 2020 分分 1设关于 x 的方程 sin 2x+cosx+a=0 在实数范围内有解，求实数 a 的取值范围 2设 a,b,c 均为正数且 a,b,c 成等差数列，判断 1 bc? ， 1 ca? ， 1 ab? 是否成
2、等差数列，并说明理由 3设 a,b,c 为实数，证明：对任意实数 x 都有(x?a) 2+(x?b)2?c 当且仅当(a?b)2?2c 4 已知复数 z1,z2满足 z1与 z1+z2有相同的模且 1 2 (1)z zai?， 其中 a 为非零实数， 求 2 1 z z 的 值 5一条直线与双曲线交于 A,B 两点，与此双曲线的渐近线交于 C,D 两点，证明：线段 AC 与 BD 的长度相等 6设 , 均为锐角，满足 sin 2+sin2=sin(+)，求 + 的值 7已知ABC 的面积为 1，D,E 分别是边 AB,AC 上的点，F 为线段 DE 上的一点，设 AD:AB=x, AE:AC=
3、y, DF:DE=z 且 y+z?x=1求BDF 的面积的最大值并求出此时 x,y,z 的 值 2016 年北大全国优秀中学生暑期学堂年北大全国优秀中学生暑期学堂 数学试题数学试题参考答案参考答案 1题中方程有解即 a=?sin 2x?cosx 有解，从而有 2 2 155 coscos1cos,1 244 axxx ? ? ? ? ? ? 2由题意知 b?a=c?b= (c?a)/2，所以 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学第六感 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学资料库 11
4、2 + 1 () 2 cbbacaca cbbababcabca ca ? ? ? ? 从而得 1 bc? ， 1 ca? ， 1 ab? 是等差数列 3对题中不等式整理得 2x 2?2(a+b)x+(a2+b2?c)?0, 此不等式恒成立当且仅当对应判别式 =4(a+b) 2?8(a2+b2?c)=42c?(a?b)2?0, 等价于 2c?(a?b) 2，命题得证 4由题意知： 22 11 1121212 ()()zz zzzzzzz?， 化简得 2 22 11 2 0z zz zz z? 因为 1 2 (1)z zai?，所以 1 2 (1)z zai?，代入上面的式子得 22 -2z z
5、a?于是有 222 11 2 2 1 (1) zz za i zz zai ? ? ? ? ? 5以双曲线的中心为原点，以实轴所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则双曲线与它的渐近 线方程可以表示为 22 22 xy ab ? 其中 =1 时为双曲线，=0 时为渐近线 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，则有 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab ? ? ? ? ? ? ? ? 两式相减得 12121212 22 ()()()() 0 xxxxyyyy ab ? ? 同样有 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391
6、979252（海量资料）微信公众号：数学第六感 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学资料库 34343434 22 ()()()() 0 xxxxyyyy ab ? ? 因为 A,B,C,D 四点共线， 当此直线斜率不存在或者斜率为零时， 由双曲线的对称性得 AC=BD； 当此直线的斜率 k 存在且不为零时，有 2 3412 2 1234 yyyyb xxxxa k ? ? ? 即 AB 的中点与 CD 的中点在过原点的同一条直线上，所以它们重合，从而有 AC=BD 事实上，此结论可以直接由双曲线的“垂径定理”得到 6显然当 +=/2 时
7、，等式成立； 由已知条件知 sin 2+sin2=sincos+cossin , 整理得 sin(sin?cos)=sin(cos?sin). 若 +/2，则有 sin?cos 与 cos?sin 同号 若它们同为正，则有 sincos=sin(/2?),cos=sin(/2?)sin, 从而有 /2?, /2?, 无解； 若它们同为负，用类似的方式也可以推导出矛盾 综上，+=/2 7如图，连结 BE： 由三角形的面积公式 S= 1 2 absinC 可以得到 SADE=xySABC=xy, SBCE=(1?y)SABC=1?y, 所以有 SBDE=1?xy?(1?y)=y(1?x). 从而有 3 18 (1)() 327 BDFBDE zyx SzSzyx ? ? ? ? 当 y=z=1?x 时，即 x=1/3,y=z=2/3 时等号成立，此时BDF 的面积有最大值 8/27
