1、. 初高中数学衔接教材初高中数学衔接教材 目目 录录 引引 入入 乘法公式乘法公式 第一讲第一讲 因式分解因式分解 1. 1 提取公因式 1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差） 1. 3 分组分解法 1. 4 十字相乘法（重、难点） 1. 5 关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解 第二讲第二讲 函数与方程函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 22 二次函数 2.2.1 二次函数 yax 2bxc 的图象和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 第第三三讲讲 三角形
2、的“四心” . 乘法公式乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22 ()()ab abab?； （2）完全平方公式 222 ()2abaabb? 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233 ()()ab aabbab?； （2）立方差公式 2233 ()()a b aab bab?； （3）三数和平方公式 2222 ()2()abcabcabbcac? ?； （4）两数和立方公式 33223 ()33abaa babb?； （5）两数差立方公式 33223 ()33abaa babb? 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明
3、例例 1 计算： 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx? ? ? 解法一：解法一：原式= 2222 (1) (1)xxx? ? = 242 (1)(1)xxx? = 6 1x ? 解法二：原式= 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx? ? ? = 33 (1)(1)xx? = 6 1x ? 例 2 已知4abc?，4abbcac?，求 222 abc?的值 解： 2222 ()2()8abcabcabbcac? 练 习 1填空： （1） 22 1111 () 9423 abba?（ ） ； （2）(4m? 22 )164(mm? )； (3 ) 2222 (2)4(abcabc?
4、) 2选择题： （ 1 ） 若 2 1 2 xmxk?是 一 个 完 全 平 方 式 ， 则k等 于 （ ） （A） 2 m （B） 2 1 4 m （C） 2 1 3 m （D） 2 1 16 m . （ 2 ） 不 论a，b为 何 实 数 ， 22 248abab?的 值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负 数 第一讲第一讲 因式分解因式分解 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法 1十字相乘法 例 1 分解因式： （1）x 23x2； （2）x24x12； （3） 22 ()xa
5、b xyaby?； （4）1xyxy? ? 解： （1）如图 111，将二次项x 2分解成图中的两个 x的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 . x 23x2 中的一次项，所以，有 x 23x2(x1)(x2) 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 111 中 的两个x用 1 来表示（如图 112 所示） （2）由图 113，得 x 24x12(x2)(x6) （3）由图 114，得 22 ()xab xyaby?()()xay xby? （4）1xyxy? ?xy(xy)1 (x1) (y+1) （如图 115 所示）
6、课堂练习 一、填空题： 1、把下列各式分解因式： （1）?65 2 xx_。 （2）?65 2 xx_。 （3）?65 2 xx_。 （4）?65 2 xx_。 （5）?axax1 2 _。 （6）?1811 2 xx_。 （7）?276 2 xx_。 （8）?9124 2 mm_。 （9）? 2 675xx_。 （10）? 22 612yxyx_。 2、? 3 4 2 ?xxxx 1 2 x x 图 111 1 2 1 1 图 112 2 6 1 1 图 113 ay by x x 图 114 1 1 x y 图 115 . 3、若?42 2 ?xxbaxx则 ?a， ?b。 二、选择题：
7、（每小题四个答案中只有一个是正确的） 1、在多项式（1）67 2 ? xx（2）34 2 ? xx（3）86 2 ? xx（4）107 2 ? xx （5）4415 2 ?xx中，有相同因式的是（ ） A、只有（1） （2） B、只有（3） （4） C、只有（3） （5） D、 （1）和（2） ； （3）和（4） ； （3）和（5） 2、分解因式 22 338baba?得（ ） A、?3 11?aa B、?baba3 11? C、?baba3 11? D、?baba3 11? 3、?208 2 ?baba分解因式得（ ） A、?2 10?baba B、?4 5?baba C、?10 2?bab
8、a D、?5 4?baba 4、若多项式axx?3 2 可分解为?bxx?5，则a、b的值是（ ） A、10?a，2?b B、10?a，2?b C、10?a，2?b D、10?a，2?b 5、若?bxaxmxx? 10 2 其中a、b为整数，则m的值为（ ） A、3或9 B、3? C、9? D、3?或9? 三、把下列各式分解因式 1、?321126 2 ?pqqp 2、 223 65abbaa? 3、642 2 ? yy 4、82 24 ? bb 2提取公因式法 例 2 分解因式： （1） ?baba?55 2 （2） 32 933xxx? ? 解： （1） ?baba?55 2 =) 1)(
9、5(?aba （2） 32 933xxx? ?= 32 (3)(39)xxx?= 2( 3)3(3)x xx? = 2 (3)(3)xx? 或 32 933xxx? ? 32 (331)8xxx? 3 (1)8x? 33 (1)2x? 22 (1)2(1)(1) 22 xxx? ? 2 (3)(3)xx? . 课堂练习： 一、填空题： 1、多项式xyzxyyx426 22 ?中各项的公因式是_。 2、? ?yxxynyxm_。 3、? 222 yxxynyxm_。 4、? ?zyxxzynzyxm_。 5、?zyxzyxzyxm_。 6、 52362 3913xbaxab?分解因式得_。 7计
10、算99992?= 二、判断题： （正确的打上“” ，错误的打上“” ） 1、?baababba?242 22 ? （ ） 2、?bammbmam? （ ）? （ ） 4、?1 11 ? ? xxxx nnn ? （ ） 3：公式法 例 3 分解因式： （1）16 4 ?a （2）?2 2 23yxyx? 解：(1)16 4 ?a=)2)(2)(4()4)(4()(4 222222 aaaaaa? (2) ?2 2 23yxyx?=)32)(4()23)(23(yxyxyxyxyxyx? 课堂练习 一、 22 2baba?， 22 ba ?， 33 ba ?的公因式是_。 二、判断题： （正确的
11、打上“” ，错误的打上“” ） 1、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 . 0 3 2 1 . 0 3 2 1 . 0 3 2 01. 0 9 4 2 2 2 xxxx? （ ） 2 、? ?babababa43 434389 22 22 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ ） 3、?bababa45 451625 2 ? （ ） 4、?yxyxyxyx? 2222 ? （ ） 5、?cbacbacba? 2 2 ? （ ） 五、把下列各式分解 . 1、?2 2 9nmnm? 2、 3 1 3 2 ?x 3、? 2
12、2 244?xx 4、12 24 ? xx 4分组分解法 例 4 （1）xyxyx33 2 ? （2） 22 2456xxyyxy? （2） 22 2456xxyyxy?= 22 2(4)56xyxyy? = 2 2(4)(2)(3)xyxyy?=(22)(3)xyxy? 或 22 2456xxyyxy?= =(2)()(45 )6xy xyxy? =(22)(3)xyxy? 课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）byaxbayx22 2222 ? （2）912644 22 ?bababa 5关于x x的二次三项式axax 2 2+ +bx bx+ +c c(a a00)的因式分解 解： （1
13、）令 2 21xx?=0，则解得 1 12x ? ?， 2 12x ? ?， 2 21xx?=( 12)( 12)xx ? ? ? ? ? ? ? =(12)(12)xx? ? ? （2）令 22 44xxyy?=0，则解得 1 ( 22 2)xy? ? ?， 1 ( 2 2 2)xy? ? ?， 22 44xxyy?=2(12) 2(12) xy xy? 练 习 1选择题： . 多项式 22 215xxyy?的一个因式为 （ ） （A （3）x 22x1； （4） 4(1)(2 )xyy yx? 习题习题 1 12 2 1分解因式： （1） 3 1a ?； （2） 42 4139xx?； （
14、3） 22 222bcabacbc?； （4） 22 35294xxyyxy? ? 2在实数范围内因式分解： （1） 2 53xx? ； （2） 2 2 23xx?； （3） 22 34xxyy?； （4） 222 (2 )7(2 ) 12xxxx? 3ABC?三边a，b，c满足 222 abcabbcca?，试判定ABC?的形状 4分解因式：x 2x(a2a) 2.1 2.1 一元二次方程一元二次方程 2.1.12.1.1 根的判别式根的判别式 情境情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法， 如求方程的根（如求方程的根（1 1
15、）032 2 ? xx(2) (2) 012 2 ? xx (3)(3) 032 2 ? xx 我们知道，对于一元二次方程ax 2bxc0（a0） ，用配方法可以将其变 形为 2 2 2 4 () 24 bbac x aa ? ? 因为a0，所以，4a 20于是 （1）当b 24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不 相等的实数根 . x1，2 2 4 2 bbac a ? ? ； （2）当b 24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数 根 x1x2 2 b a ； （3）当b 2 2 2 4 2 aa x ? ? （3）由于该方程的根的判别式为 a 241(a1)a24a4(a2)2， 所以， 当a2 时，0，所以方程有两个相等的实数根 x1x21； 当a2 时，0， 所以方程有两个不相等的实数根 x11，x2a1 （3
