1、. 3.2 三角形 321 三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形， 很多较复杂的图形问题可以化归为三角形 的问题. 如图 3.2-1 ， 在三角形ABCV中， 有三条边,AB BC CA， 三个角,ABC行?， 三个顶点, ,A B C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图 3.2-2）是三角形中 的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角 形的重心.三角形的重心在三角形的内部， 恰好是每条中 线的三等分点. 例 1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分 成的两段长度之比为 2：1. 已知 D、E、F 分别为ABCV三边 BC、CA、AB 的中点， 求证 A
2、D、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 2：1. 证明 连结 DE，设 AD、BE 交于点 G， QD、E 分别为 BC、AE 的中点，则 DE/AB，且 1 2 DEAB=， GDE VGABV，且相似比为 1：2， 2,2AGGD BGGE=. 设 AD、CF 交于点G，同理可得，2,2 .AGG D CGG F= 则G与G重合， AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成2:1. 三角形的三条角平分线相交于一点， 是三角形的 内心. 三角形的内心在三角形的内部， 它到三角形的 三边的距离相等.（如图 3.2-5） 图 3.2-1 图 3.2-2 图 3.2-3 图 3.2-4 图 3.
3、2-5 . 例 2 已知ABCV的三边长分别为,BCa ACb ABc=，I 为ABCV的内心， 且 I 在ABCV的 边B CA CA B、上 的 射 影 分 别 为DEF、 、， 求 证 ： 2 bca AEAF +- =. 证明 作ABCV的内切圆， 则DEF、 、分别为内切 圆在三边上的切点， ,AE AFQ为圆的从同一点作的两条切线， AEAF=， 同理，BD=BF，CD=CE. 22 bcaAFBFAECEBDCD AFAEAFAE +-=+- =+= 即 2 bca AEAF +- =. 例 3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O 为三角形 AB
4、C 的重心和内心. 求证 三角形 ABC 为等边三角形. 证明 如图，连 AO 并延长交 BC 于 D. QO 为三角形的内心，故 AD 平分BAC， ABBD ACDC =（角平分线性质定理） QO 为三角形的重心，D 为 BC 的中点，即 BD=DC. 1 AB AC =，即ABAC=. 同理可得，AB=BC. ABC V为等边三角形. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形 的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的 垂心在三角形的外部.（如图 3.2-8） 例 4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知 ABCV中，,ADBCD B
5、EACE于于 ，AD 与 BE 交于 H 点. 图 3.2-6 图 3.2-7 图 3.2-8 . 求证 C HA B. 证明 以 CH 为直径作圆， ,90 , o ADBC BEACHDCHEC ?Q DE、在以 CH 为直径的圆上， FCBDEH ?. 同理，E、D 在以 AB 为直径的圆上，可得 BEDBAD?. BCHBAD ?， 又ABDV与CBFV有公共角B，90oCFBADB ?，即CHAB. 过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆，该圆是三角形 ABC 的外接圆， 圆心 O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平 分线的交点. 练习 1 1求证：
6、若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形. 2 （1） 若三角形 ABC 的面积为 S，且三边长分别为abc、 、，则三角形的内 切圆的半径是_; （2）若直角三角形的三边长分别为abc、 、（其中c为斜边长） ，则三角形 的内切圆的半径是_. 并请说明理由. 3.2.2 几种特殊的三角形几种特殊的三角形 等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形 ABC 中，三角形的内心 I、重心 G、垂心 H 必然在一条直线上. 例 5 在ABC中，3,2.ABACBC?求 （1）ABC的面积 ABC S及AC边上的高BE； （2）ABC的内切圆的半径r； （3）ABC的
7、外接圆的半径R. 解 （1）如图，作ADBC?于D. ,ABACD?为BC的中点， 22 2 2, 1 2 2 22 2. 2 ABC ADABBD S ? ? ? 图 3.2-9 图 3.2-10 . 又 1 , 2 ABC SAC BE?解得 4 2 3 BE ?. （2）如图，I为内心，则I到三边的距离均为r， 连,IA IB IC， ABCIABIBCIAC SSSS?， 即 111 2 2 222 AB rBC rCA r? ? ?， 解得 2 2 r ?. （3）ABC是等腰三角形， ?外心O在AD上，连BO， 则Rt OBD中，,ODADR? 222, OBBDOD? 222 (
8、2 2)1 ,RR?解得 9 2 . 8 R ? 在直角三角形 ABC 中，A为直角，垂心为直角顶点 A， 外心 O 为斜边 BC 的中点，内心 I 在三角形的内部，且内切 圆的半径为 2 bca+- （其中, ,a b c分别为三角形的三边 BC,CA,AB 的长） ，为什么？ 该 直 角 三 角 形 的 三 边 长 满 足 勾 股 定 理 ： 222 ACABBC+=. 例 6 如图，在ABCV中，AB=AC，P 为 BC 上任意一点. 求证： 22 APABPB PC=-?. 证明：过 A 作ADBC于 D. 在Rt ABDV中， 222 ADABBD=-. 在Rt APDV中， 222
9、 APADDP=-. 22222 ()().APABBDDPABBDDP BDDP=-+=-+- ,ABAC ADBCBDDC=Q. BDDPCDDPPC-=-=. 22 APABPB PC=-?. 图 3.2-13 图 3.2-11 图 3.2-12 图 3.2-14 . 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心） 合一，该点称为正三角形的中心. 例 7 已知等边三角形 ABC 和点 P，设点 P 到三边 AB，AC，BC 的距离分别为 123 ,h h h，三角形 ABC 的高为h， “若点 P 在一边 BC 上，此时 3 0h =，可得结论： 123 hhhh+=
10、.” 请直接应用以上信息解决下列问题： 当（1）点 P 在ABCV内（如图 b） ， （2）点在ABCV外(如图 c)，这两种情 况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立， 123 ,h h h与h之 间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）. 解 （1）当点 P 在ABCV内时， 法一 如图，过 P 作B C分别交,AB AM AC于 ,B M C， 由题设知AMPDPE=+， 而AMAMPF=-， 故PDPEPFAM+=，即 123 hhhh+=. 法二 如图，连结， ABCPABPACPBC SSSS=+ VVVV Q， 1111 2222 BC AMAB PDAC P
11、EBC PF?， 又ABBCAC=， AMPDPEPF=+，即 123 hhhh+=. （ 2 ） 当 点 P 在ABCV外 如 图 位 置 时 ， 123 hhhh+=不成立，猜想： 123 hhhh+-=. 注意：当点 P 在ABCV外的其它位置时，还有 可能得到其它的结论，如 图 3.2-15 图 3.2-16 图 3.2-17 图 3.2-18 . 123 hhhh-+=， 123 hhhh-=（如图 3.2-18，想一想为什么？）等. 在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地 运用了面积的方法. 练习 2 1直角三角形的三边长为 3，4，x,则x=_.
12、2等腰三角形有两个内角的和是 100 ，则它的顶角的大小是_. 3满足下列条件的ABCV，不是直角三角形的是（ ） A 222 bac=- BCAB? C:3:4:5ABC行? D: :12:13:5a b c= 4已知直角三角形的周长为33?， 斜边上的中线的长为 1， 求这个三角形的面 积. 5证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量. 习题 3.2 A 组 1已知：在ABC中，AB=AC，120 , o BACAD?为 BC 边上的高，则下列结论 中，正确的是（） A 3 2 ADAB? B 1 2 ADAB? CADBD? D 2 2 ADBD? 2三角形三边长分别是
13、6、8、10，那么它最短边上的高为（ ） A6 B4.5 C2.4 D8 3如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等 于_. 4已知：, ,a b c是ABC的三条边，7,10ab?， 那么c的取值范围是_。 5若三角形的三边长分别为18a、 、，且a是整数，则a的值是_。 . B 组 1如图 3.2-19，等边ABC的周长为 12，CD 是 边 AB 上的中线，E 是 CB 延长线上一点，且 BD=BE，则CDE的周长为（） A64 3? B18 12 3? C62 3? D184 3? 2如图 3.2-20，在ABC中，2CABCA? ? ?，BD 是边 AC 上
14、的高，求DBC?的度数。 3如图 3.2-21，,90 , o Rt ABCCM?是 AB 的中点， AM=AN， MN/AC，求证：MN=AC。 4如图 3.2-22，在ABC中，AD 平分BAC?，AB+BD=AC.求:BC?的值。 5如图 3.2-23，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且 1 4 ECBC=，求证：90oEFA?. 图 3.2-20 图 3.2-19 图 3.2-21 图 3.2-22 图 3.2-23 . C 组组 1已知 24 1,2 ,2,1kbk ackack? ?，则以abc、 、为边的三角形是（ ） A等边三角形 B等腰三角
15、形 C直角三角形 D形状无法确定 2如图 3.2-24，把ABC纸片沿 DE 折叠，当点 A 落 在四边形 BCDE 内部时，则A?与12? ?之间有 一种数量关系始终保持不变， 请试着找一找这个规 律，你发现的规律是（） A12A? ? ? B212A? ? ? C312A? ? ? D32( 12)A? ? ? 3如图 3.2-25，已知 BD 是等腰三角形 ABC 底 角平分线，且 AB=BC+CD，求证：90oC?. 4如图 3.2-26，在等腰Rt ABC中90oC?，D 是 斜边 AB 上任一点，AECD?于 E，BFCD?交 CD 的延长线于 F，CHAB?于 H，交 AE 于
16、G. 求证：BD=CG. 3.2 三角形 练习 1 1证略 2.（1） 2S abc? ； （2） 2 abc? . 练习 2 15 或7 2.20o或80o 3.C 4设两直角边长为, a b，斜边长为 2，则13ab? ?，且 22 4ab?，解得3ab ?， 图 3.2-25 图 3.2-26 图 3.2-24 . 1 2 3 2 Sab?. 5.可利用面积证. 习题 3.2 A 组 1B 2. D 3.120o 4.317c? 5.8 B 组 1A 2.18o 3连BM，证MABAMN?. 4在 AC 上取点 E，使 AE=AB，则ABDAED?， BAED? ?.又 BD=DE=EC， ,:2:1.CEDCBC? 5可证ADFFCE，因而AFD?与CFE?互余，得90oEFA?. C 组 1C不妨设ac?，可得 22222 1,1,akckabc?，为直角三角形. 2B 3 在AB上 取E使BE=BC ， 则B C DB E D?， 且AE=ED=DC ， 2180,90 . oo CBEDAABCC? ? ? ? ? 4先证明ACECBF?，得 CE=BF，再证CGEBDF?，得 BD=CG.
