1、. 分分 解解 因因 式式 因式分解的主要方法有： 提取公因式法、 公式法、 分组分解法、 十字相乘法， 另外还应了解求根法。 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22 ()()ab abab?； （2）完全平方公式 222 ()2abaabb? 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233 ()()ab aabbab?； （2）立方差公式 2233 ()()ab aabbab?； （3）三数和平方公式 2222 ()2()abcabcabbcac? ?； （4）两数和立方公式 33223 ()33abaa babb?； （5）两数差立方公式 3
2、3223 ()33abaa babb? 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明 说明：前面有*的供选用 1提取公因式法与分组分解法、公式法 例 1 分解因式： （1）2（yx） 2+3（xy） （2）mn（mn）m（nm） 2 22 22 3223 2 92 4424 5 6 ()(1) xyxy aabbab xx yxyy ab aabb ? ? ? ? （3） （4） （ ） （ ） 2十字相乘法 例 2 分解因式： （1）x 23x2； （2）x24x12； （3） 22 ()xab xyaby?； （4） 22 62xxyy? 解： （1）如图 121，将二次项x 2分解成
3、图中的两个 x的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x 23x2 中的一次项，所以，有 x 23x2(x1)(x2) 1 2 x x 图 121 1 2 1 1 图 122 2 6 1 1 图 123 ay by x x 图 124 . 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 121 中的 两个x用 1 来表示（如图 122 所示） （2）由图 123，得 x 24x12(x2)(x6) （3）由图 124，得 22 ()xab xyaby?()()xay xby? * *例例 3 3 因式分解： （双十字相乘法） 22 2
4、2 22 (1)282143 (2)31092 (3) 422473 xxyyxy xxyyxy xxyyxy ? ? ? 3关于x x的二次三项式axax 2 2+ +bx bx+ +c c(a a0 0)的因式分解 （求根法） 若关于若关于x x的方程的方程 2 0(0)axbxca?的两个实数根是的两个实数根是 1 x、 2 x，则二次三项式，则二次三项式 2 (0)axbxc a?就可分解为就可分解为 12 ()()a xxxx?. . 例 3 把下列关于x的二次多项式分解因式： （1） 2 21xx?； （2） 22 44xxyy? 解： （1）令 2 21xx?=0，则解得 1 1
5、2x ? ?， 2 12x ? ?， 2 21xx?=( 12)( 12)xx ? ? ? ? ? ? ? =(12)(12)xx? ? ? （2）令 22 44xxyy?=0，则解得 1 ( 2 2 2)xy? ? ?， 1 ( 2 2 2)xy? ? ?， 22 44xxyy?=2(12) 2(12) xy xy? 1 1 x y 图 125 . 练 习 1选择题： （1）多项式 22 215xxyy?的一个因式为 （ ） （A）25xy? （B）3xy? （C）3xy? （D）5xy? （2）若 2 1 2 xmxk?是一个完全平方式，则k等于 （ ） （A） 2 m （B） 2 1 4
6、 m （C） 2 1 3 m （D） 2 1 16 m 2填空： （1） 22 1111 () 9423 abba?（ ） ； （2）(4m? 22 )164(mm? )； (3 ) 2222 (2)4(abcabc? ) 3分解因式： （1）5（xy） 3+10（yx）2 ? 2 2 22 2cababc?（ ） ? 422 2 3 2x xyxxyxy yx?（ ） 4 432 2 a a?（ ） （5）8a 3b3； （6）x26x8； （7）4(1)(2 )xyy yx? （8） 42 4139xx?； . ? 4224 2 22 9 20337 10510596 aa bb xxxx ? ? （ ） （ ） *（11） 22 35294xxyyxy? ? *（12） 22 2456xxyyxy? 4在实数范围内因式分解： （1） 2 53xx? ； （2） 2 2 23xx?； （3） 22 34xxyy?； （4） 222 (2 )7(2 ) 12xxxx? 5分解因式：x 2x(a2a)
