1、. 相似形 .1平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长 度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产 生一些重要的长度比. 在一张方格纸上，我们作平行线 123 , ,l l l（如图 3.1-1）， 直线a交 123 , ,l l l于点, ,A B C，2,3ABBC?，另作直线b交 123 , ,l l l于点,A B C，不难发现 2 . 3 A BAB B CBC ? 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图 3.1-2， 123 /lll，有 ABDE BCEF =.当然，也可
2、以得出 ABDE ACDF ?.在运用该 定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成 比例. 例例 1 如图 3.1-2， 123 /lll， 且2,3,4,ABBCDF=求,DE EF. 从上例可以得出如下结论： 平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对 应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边 与原三角形的三边对应成比例. 例 2 在ABCV中，AD为BAC的平分线，求证： ABBD ACDC =. 例 2 的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等 于该角的两边之比）. 练习
3、 1 1如图 3.1-6， 123 /lll，下列比例式正确的是（ ） A ADCE DFBC = B ADBC BEAF = C CEAD DFBC = D. AFBE DFCE = 2如图 3.1-7，/,/,DEBC EFAB5,ADcm=3,2,DBcm FCcm=求BF. 图 3.1-1 图 3.1-6 图 3.1-7 . 3 如 图 ， 在ABCV中 ， AD是 角BAC的 平 分 线 ， AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求 BD 的长. 4如图，在ABCV中，BAC的外角平分线AD交BC的延长线 于点D，求证： ABBD ACDC =. 2 三角形的“四心” 三角形是最
4、重要的基本平面图形， 很多较复杂的图形问题可以化归为三角形 的问题. 如图 3.2-1 ， 在三角形ABCV中， 有三条边,AB BC CA， 三个角,ABC行?， 三个顶点, ,A B C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图 3.2-2）是三角形中 的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心 在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度 之比为 例2 2：1. 已知 D、E、F 分别为ABCV三边 BC、CA、AB 的中点， 求证 AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 2：1. 证明
5、 连结 DE，设 AD、BE 交于点 G， QD、E 分别为 BC、AE 的中点，则 DE/AB，且 1 2 DEAB=， GDE VGABV，且相似比为 1：2， 2,2AGGD BGGE=. 设 AD、CF 交于点G，同理可得，2,2 .AGG D CGG F= 则G与G重合， AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成2:1. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内 图 3.1-8 图 3.1-9 图3.1-10 图 3.2-1 图 3.2-2 图 3.2-3 图 3.2-4 图 3.2-5 . 心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图 3.2-5） 例
6、 2 已知ABCV的三边长分别为,BCa ACb ABc=，I 为ABCV的内心，且 I 在ABCV的边BCACAB、上的射影分 别为DEF、 、，求证： 2 bca AEAF +- =. 证明 作ABCV的内切圆，则DEF、 、分别为内切圆在三边上 的切点， ,AE AFQ为圆的从同一点作的两条切线，AEAF=， 同理，BD=BF，CD=CE. 22 bcaAFBFAECEBDCD AFAEAFAE +-=+- =+= 即 2 bca AEAF +- =. 例 3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三 角形. 已知 O 为三角形 ABC 的重心和内心. 求证 三角形 ABC
7、为等边三角形. 证明 如图，连 AO 并延长交 BC 于 D. QO 为三角形的内心，故 AD 平分BAC， ABBD ACDC =（角平分线性质定理） QO 为三角形的重心，D 为 BC 的中点，即 BD=DC. 1 AB AC =，即ABAC=. 同理可得，AB=BC. ABC V为等边三角形. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂 心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心 在三角形的外部.（如图 3.2-8） 例 4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知 ABCV中，,ADBCD BEACE于于 ，AD 与 BE 交于 H
8、点. 图 3.2-6 图 3.2-7 图 3.2-8 图 3.2-9 . 求证 C HA B. 证明 以 CH 为直径作圆， ,90 , o ADBC BEACHDCHEC ?Q DE、在以 CH 为直径的圆上， FCBDEH ?. 同理，E、D 在以 AB 为直径的圆上，可得BEDBAD?. BCHBAD ?， 又ABDV与CBFV有公共角B，90oCFBADB ?，即CHAB. 过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆，该圆是三角形 ABC 的外接圆， 圆心 O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平 分线的交点. 练习 1 1求证：若三角形的垂心和重心重合，求
9、证：该三角形为正三角形. 2 （1） 若三角形 ABC 的面积为 S，且三边长分别为abc、 、，则三角形的内 切圆的半径是_; （2）若直角三角形的三边长分别为abc、 、（其中c为斜边长），则三角形 的内切圆的半径是_. 并请说明理由. 练习 2 1直角三角形的三边长为 3，4，x,则x=_ 2等腰三角形有两个内角的和是 100 ，则它的顶角的大小是_. 3满足下列条件的ABCV，不是直角三角形的是（ ） A 222 bac=- BCAB? C:3:4:5ABC行? D: :12:13:5a b c = 4已知直角三角形的周长为33?， 斜边上的中线的长为 1， 求这个三角形的面 积. 5证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量. 练习 1 1证略 2.（1） 2S abc? ；（2） 2 abc? . 练习 2 15 或7 2.20o或80o 3.C 4设两直角边长为, a b，斜边长为 2，则13ab? ?，且 22 4ab?，解得3ab ?， 1 2 3 2 Sab?. 5.可利用面积证.
