1、. 第二讲第二讲 因式分解因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及 各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式) 外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法、求根公式法、配方法等等 一、公式法一、公式法( (立方和、立方差公式立方和、立方差公式) ) 3322 ()()abab aabb? 3322 ()()abab aabb? 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和) 运用这两个
2、公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解 【例【例 1 1】因式分解： (1) 3 8x? (2) 3 0.12527b? 解：解：(1) 3332 82(2)(42)xxxxx?. (2) 33322 0.125270.5(3 )(0.53 )0.50.5 3(3 ) bbbbb? 2 (0.53 )(0.25 1.59)bbb?. 说明：说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如 333 8(2)a bab?，这里 逆用了法则()n nn aba b?；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号 【例【例 2 2】因式分
3、解： (1) 34 381a bb? (2) 76 aab? 解：解：(1) 343322 3813 (27)3 (3 )(39)a bbb abb ab aabb? (2) 76663333 ()()()aaba aba abab? 2222 2222 ()()()() ()()()(). a ab aabbab aabb a ab ab aabbaabb ? ? 7666224224 2222222 2222 ()()() ()() ()()()(). aaba aba abaa bb a ababa b a ab ab aabbaabb ? ? ? 二、分组分解法二、分组分解法 从前面可
4、以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多 项式， 如mambnanb?既没有公式可用， 也没有公因式可以提取 因此， 可以先将多项式分组处理 这 种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组 【例【例 3 3】把2105axaybybx?分解因式 解：解：21052 (5 )(5 )(5 )(2)axaybybxa xyb xyxyab?. 说明：说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也 可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试 【例【例 4 4】把 2222 ()()ab c
5、dab cd?分解因式 . 解：解： 22222222 ()()ab cdab cdabcabda cdb cd? 2222 ()()abca cdb cdabd? ()()()()ac bcadbd bcadbcad acbd?. 【例【例 5 5】把 222 2428xxyyz?分解因式 解：解： 222222 24282(24)xxyyzxxyyz? 22 2()(2 ) 2(2 )(2 )xyzxyz xyz?. 三、十字相乘法三、十字相乘法 1 1 2 ()xpq xpq?型的因式分解型的因式分解 (1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个
6、因数之和 22 ()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxp xq?. 因此， 2 ()()()xpq xpqxp xq?. 【例【例 6 6】因式分解： (1) 2 76xx? (2) 2 1336xx? 解：解：(1) 2 76( 1)( 6)(1)(6)xxxxxx? ? ? (2) 2 1336(4)(9)xxxx?. 【例【例 7 7】因式分解： (1) 22 6xxyy? (2) 222 ()8() 12xxxx? 解：解：(1) 2222 66(3 )(2 )xxyyxyxxy xy?. (2) 22222 ()8() 12(6)(2)xxxxxxxx?(
7、3)(2)(2)(1)xxxx?. 2一般二次三项式 2 axbxc?型的因式分解 大家知道， 2 1122121 22 11 2 ()()()a xca xca a xa ca c xc c? 反过来，就得到： 2 121 22 11 21122 ()()()a a xa ca c xc ca xca xc? 我们发现，二次项系数a分解成 12 a a，常数项c分解成 1 2 c c，把 1212 ,a a c c写成 11 22 ac ac ? ，这里按斜 线交叉相乘，再相加，就得到 1 22 1 a ca c?，那么 2 axbxc?就可以分解成 1122 ()()a xca xc? 这
8、种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法 【例【例 8 8】因式分解： (1) 2 1252xx? (2) 22 568xxyy? 解：解：(1) 2 1252(32)(41)xxxx?. 32 4 1 ? ? (2) 22 568(2 )(54 )xxyyxyxy?. 1 2 54? ? 【例【例 9】因式分解： (1) 22 (2 )7(2 )8xxxx? (2)aaxxx5152 2 ? 分析：分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较 多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合. .
9、解：解：(1)原式)82)(12( 22 ?xxxx)4)(2() 1( 2 ?xxx. (2)原式)5()152( 2 aaxxx?)5()5)(3(?xaxx)3)(5(axx?. 四四、配方法配方法 【例【例 1 10 0】因式分解 (1) 2 616xx? （2） 22 44xxyy? 解：解：(1) 222 616(3)5xxx?(8)(2)xx?. (2) 22222 44(44)8xxyyxxyyy? 22 (2 )8(22 2 )(22 2 )xyyxyy xyy?. 说明：说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用 平方差公式分解 五五、拆拆( (添添) )项法项法 【例【例 1 11 1】因式分解 32 34xx? 解：解： 3232 34(1)(33)xxxx? 22 (1)(1)3(1)(1)(1)(1)3(1)xxxxxxxxx? 22 (1)(44)(1)(2)xxxxx?. 说明：说明：一般地，把一个多项式因式分解，可按下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解； (3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止
