1、. 第一讲 因式分解 一、知识归纳一、知识归纳 1、公式法分解因式：用公式法因式分解，要掌握如下公式： （1）)( 22 bababa?； （2） 222 )(2bababa?； （3） 33223 )(33bababbaa?； （4） 2222 )(222cbaacbcabcba?； （5）)(3 222333 acbcabcbacbaabccba?； （6） *1221 );)(N? ?nbabbaababa nnnnnn ? ? ； （7）当 n 为正奇数时)( 1221? ? nnnnnn babbaababa? 当 n 为正偶数时)( 1221? ? nnnnnn babbaabab
2、a? 2、十字相乘法因式分解 3、待定系数法因式分解 4、添项与拆项法因式分解 5、长除法 二、例题讲解二、例题讲解 例 1：因式分解：376 2 ? xx . 例 2：因式分解： 2222224 )()(2baxbax? 例 3：因式分解3104344 22 ?yxyxyx 例 4：利用待定系数法因式分解 （1）20314932 22 ?yxyxyx （2）3104344 22 ?yxyxyx . 例 5：利用添项法、拆项法因式分解 （1）76 3 ? xx （2）1 5 ? xx 例 6：已知013 2 ? xx，求1987576 23 ?xxx的值。 三、课堂练习三、课堂练习 1、分解因
3、式 （1）)()( 66 xyzyzyxx? （2） 22222 4) 1(baba? （3）8324 34 ?mmm 分解因式 . （1）4 4 ?x （2）89 3 ? xx 3、分解因式 （1）2332 22 ?yxyxyx （2）253352 22 ?yxyxyx 4、 已知多项式13 3 ?bxaxx能被1 2 ?x整除， 且商式是13 ?x则? b a)( 。 5、多项式bxaxxx?732 224 能被2 2 ? xx整除，求 b a 的值。 . 第二讲 分式 一、知识归纳 （一）分式的运算规律（一）分式的运算规律 1、加减法 同分母分式加减法： c ba c b c a? ?
4、异分母分式加减法： bc bdac c d b a? ? 2、乘法： bd ac d c b a ? 3、除法： bc ad c d b a d c b a ? 4、乘方： n n n b a b a ?)( （二）分式的基本性质（二）分式的基本性质 1、)0(?m bm am b a 2、)0(? ? ? ?m mb ma b a （三）比例的性质（三）比例的性质 （1）若 d c b a ?则bcad ? （2）若 d c b a ?则 d dc b ba? ? ? （合比性质） （3）若 d c b a ?（0? db）则 db db ca ca ? ? ? ? ? （合分比性质） （4
5、）若 d c b a ? n m ，且0?ndb?则 b a ndb mca ? ? ? ? ? （等比性质） （四）分式求解的基本技巧（四）分式求解的基本技巧 1、分组通分 2、拆项添项后通分 3、取倒数或利用倒数关系 4、换元化简 . 5、局部代入 6、整体代入 7、引入参数 8、运用比例性质 二、例题解析 例 1：化简 2 32 |21 1 xx xxx ? ? 例 2：化简： ? ? 3223 babbaa a 44 22 22223223 311 ba ba abbababbaa b ? ? ? ? ? ? ? ? 例 3：计算 . 2)( 3 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2
6、 2 2 2 ? ? ? ? ? n m m n n m m n n m m n n m m n n m m n 例 4：计算 abbcacc ba acabbcb ac bcacaba cb ? ? ? ? ? ? ? ? 222 例 5：若1?abc，求 111? ? ? ? ?cac c bbc b aab a . 例 6：已知 x zyx y zyx z zyx? ? ? ? ? 且0?xyz 求分式 xyz xzzyyx)()(? 的值 三、课堂练习 1、已知 yx xy ? ?1， zy yz z ? ?， zx xz ? ?3，则 x ； 2、若3419 ?x则分式 158 23
7、1826 2 234 ? ? xx xxxx ； 3、设1 1 2 ? ?mxx x ，则 1 336 3 ?xmx x ； 4、若0?abc，且 b ac a cb c ba? ? ? ? ? ，则 abc cacbba)()(? ； 5、设x、y、z为有理数，且0?zyx，a zy x ? ? ，b xz y ? ? ，c yx z ? ? ， 则 c c b b a a ? ? ? ? ?111 ； 6、已知a、b、c均不为0，且0?cba，则 22222222 111 cbabacacb? ? ? ? ? ? ； . 第三讲 图形变换 一、知识归纳 1、)0()()(?aaxfyaxf
8、y个单位向上平移 2、)0()()(?aaxfyaxfy个单位向下平移 3、)0)()(?aaxfyaxfy个单位向左平移 4、)0)()(?aaxfyaxfy个单位向右平移 5、| )(|)(xfyxfy? 将)(xfy ?图象在 x 轴下方的部分，以 x 轴为对称轴对称地翻折上去即可 6、|)(|)(xfyxfy? 将)(xfy ?的图象位于 y 轴右边的部分保留，在 y 轴的左边作其对称的图即可。 二、例题解析 例 1：说出下列函数图象之间的相互关系 （1）1 2 ? xy与1 2 ? xy （2）1 2 ? xy与3) 1( 2 ? xy （3）xy2?与 3 2 ? ? x y （4
9、） x y 2 3?与 32 3 ? ? x y . 例 2：已知中的图的对应函数)(xfy ?，则中的图象对应函数为 ； A、|)(|xfy ? B、| )(|xfy ? C、|)|(xfy? D、|)(|xfy? 例 3：画出下列函数的图象 （1）|32| 2 ?xxy （2）1|2 2 ?xxy 例 4：已知) 1( ?xfy的图象过点（3，2） ，那么与函数)(xfy ?的图系关于 x 轴对 称的图象一定过点 ； A、 （4，2） B、 （4，2） C、 （2，2） D、 （2，2） x y 0 x y 0 . 例 5：试讨论方程kxx?|34| 2 的根的个数 例 6：求方程62|4
10、 2 ?xx的解的个数 课堂练习： 1、函数 x y2?的图象 ； A、与 x y2?的图象关于 y 轴对称 B、与 x y2?的图象关于原点对称 C、与 x y ? ? 2的图象关于 y 轴对称 D、与 x y ? ? 2的图象关于原点对称 2、为了得到 x y) 3 1 (3?的图象，可以把 x y) 3 1 (?的图象 A、向左平移 3 个单位长度 B、向右平移 3 个单位长度 C、向左平移 1 个单位长度 x y 0 -1 1 2 3 1 2 3 y x 0 (0,1) y=2x 第 3 题图 . D、向右平移 1 个单位均等 3、已知 x y2?的图象如右，请画出以下函数的图象 （1
11、）) 1( ?xf （2）|)(|xf （3）1)(?xf （4）)(xf? （5）| 1)(|?xf 4、已知xy 2 log?的图象如右： 试求不等式： 1)(log2?xx成立的 x 的取值范围 5、已知方程1|? axx有一负根，而没有正根，那么 a 的取值范围是 ； A、1?a B、1?a C、1?a D、补以上答案 y x 0 (1,0) 第 4 题图 . 第四讲 三角形的“五心” 一、知识归纳 1、重心：三角形的三条中线交点，它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的 2 倍， 重心和三顶点的连线将ABC 的面积三等分，重心一定在三角形内部。 2、外心：是三角形三边中垂线的交点，它到
12、各顶点的距离相等，锐角三角形的外心 在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外。 3、内心：是三角形的三内角平分线的交点，它到三边的距离相等，内心一定在三角 形内。 4、垂心：是三角形三条高的交点，垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六 组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形 的垂心在三角形外。 5、旁心：是三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，它到三 角形的三边距离相等，一定位于三角形外部。 二、例题解析 例 1：在锐角ABC 中，内角为 A、B、C 三边为 a、b、c，则内心到三边的距离之比 为 ，重心
13、到三边的距离为 ，外心到三边的距离之比为 ， 垂心到三边的距离之比为 。 . 例 2：如图，锐角ABC 的垂心为 H，三条高的垂足分别为 D、E、F，则 H 是DEF 的 ； A、垂心 B、重心 C、内心 D、外心 例 3：如图，D 是ABC 的边 BC 上任一点，点 E、 F 分别是ABD 和ACD 的重心连结 EF 交 AD 于 G 点， 则 DG：GA ； 例 4： 设ABC 的重心为 G， GA32，22?GB，2?GC， 则 ABC S? ； A F B D C E H A B C E G F M D N . 例 5：若 H 为ABC 的重心，AHBC，则BAC 的度数是 ； A、4
14、5 B、30 C、30或 150 D、45或 135 例 6：已知平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，AB10，AC9，DE12，求平 行四边形 ABCD 的面积。 三、课堂练习 1、已知三角形的三边长分别为 5，12，13，则其垂心到外心的距离为 ，重心 到垂心的距离为 ； 2、已知三角形的三边长为 5，12，13，则其内切圆的半径r ； 3、 在ABC 中， A 是钝角， O 是垂心， AOBC， 则 cos （OBC+OCB） = ; 4、 设 G 为ABC 的重心， 且 AG6， BG8， CG10， 则ABC 的面积为 ； 5、若?900?，那么以?sin、?cos、?c
15、ottan?为三边的ABC 的内切圆， 外接圆的半径之和为 ； A E B C D O G . A、)cos(sin 2 1 ? B、)cot(tan 2 1 ? C、?cossin2 D、 ?cossin 1 ? 6、ABC 的重心为 G，M 在ABC 的平面内，求证： 2222222 3GMGCGBGAMCMBMA? . 第五讲 几何中的著名定理 一、知识归纳 本节重点掌握三角形内、外角平分线定理、中线长定理，梅涅劳斯定理与塞瓦定理 二、例题解析 例 1：如图ABC 中，AD 为BAC 的角平分线 求证： DC BD AC AB ? 例 2：如图，ABC 中，AD 为A 的外角 平分线，交
16、 BC 的延长线于点 D，求证： AC AB CD BD ?. 例 3：如图，AD 为ABC 的中线， 求证：)(2 2222 BDADACAB? A F B D C E 1 2 A B C D 1 2 A B D E C . 例 4： （梅涅劳斯定理） 如果在ABC 的三边 BC，CA、AB 或其延长线上有点 D、E、F 且 D、E、F 三点共 线，则1? FB AF EA CE DC BD 例 5：设 O 为ABC 内任意一点，AO、BO、CO 分别交对边于 N、P、M，则1? PA CP NC BN MB AM . 三、课堂练习 1、如图，P 是 AC 中点，D、E 为 BC 上两点，
17、且 BDDEEC，则 BM：MN：NP ； 2、如图，在ABC 中，D、E 分别在边 AB、 AC 上且 DE/BC，设 BE 与 CD 交于 S，证明 BMCM。 3、证明：三角形的三条角平分线交于一点。 A F B C E G D A M B N C P 0 1 2 3 4 5 6 B D A E S C M . 第六讲 圆 一、知识归纳 1、证明四点共圆的方法有： （1）到一定点的距离相等的点在同一个圆上 （2）同斜边的直角三角形的各顶点共圆 （3）线段同旁张角相等，则四点共圆。 （4）若一个四边形的一组对角再互补，那么它的四个顶点共圆 （5）若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆 （6）四边形 ABCD 对角线相交于点 P，若 PAPCPBPD，则它的四个顶点共圆 （7）四边形 ABCD 的一组对边 AB、DC 的延长线交于点 P，若PDPCPBPA?， 则它的四个顶点共圆。 2、圆幂定理 二、例题讲解 例 1：如图，设 AB 为圆的直径，过点 A 在 AB 的同侧作弦 AP、AQ 交 B 处的切线于 R、S，求证：P、Q、S、R 同点共圆。 例 2：圆内接四边形 ABCD，O 为
