1、. 因式分解的一点补充因式分解的一点补充十字相乘法十字相乘法 x2+（p+q）x+pq 这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为 1，常数项是两个数之积，一 次项系数是常数项的两个因数之和。因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q). 练习练习 1：下列各式因式分解 1- x2+2 x+15 2 （x+y）2-8（x+y）+48； 3x4-7x2+18； 4x2-5xy+6y2。 答：1-（x+3） （x-5） ； 2 （x+y-12） （x+y+4） ； 3 （x+3） （x-3） （x2+2） ； 4 （x-2y） （x-3y） 。 我们已经学习了把形如
2、x2+px+q 的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如 x2+px+q 型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是 1 的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如 ax2+bx+c 的二次 三项式因式分解。 练习练习 2 把 2x2-7x+3 因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上 角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数） ： 2=12=21； 分解常数项： 3=13=31=（-3）（-1）=（-1）（-3） 。 用画十字交叉
3、线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 3 2 1 2 -3 2 -1 13+21 11+23 1（-3）+2（-1） 1（-1）+2（-3） =5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解解 2x2-7x+3=（x-3） （2x-1） 。 一般地，对于二次三项式 ax2+bx+c（a0） ，如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之积，即 a=a1a2，常数项 c 可 以分解成两个因数之积，即 c=c1c2，把 a1，a2，c1，c2排列如下： a1 c1 a2 c2 a1c2 + a2c1 按斜线
4、交叉相乘，再相加，得到 a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式 ax2+bx+c 的一次项系数 b，即 a1c2+a2c1=b，那么 二次三项式就可以分解为两个因式 a1x+c1与 a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1） （） （a2x+c2） 。） 。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 练习练习 3 把 6x2-7x-5 分解因式。 分析：按照例 1 的方法，分解二次项系数 6 及常数项-5，把它们分别排列，可有 8 种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 -5 2（-5）+31=-7 是正确的，因此原多项式
5、可以用直字相乘法分解因式。 解解 6x2-7x-5=（2x+1） （3x-5） 。 指出：通过例 1 和例 2 可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是 1 的二次三项式因式分解，往往要经过 多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。 对于二次项系数是 1 的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如 把 x2+2x-15 分解因式，十字相乘法是 . 1 -3 1 5 15+1（-3）=2 所以 x2+2x-15=（x-3） （x+5） 。 练习练习 4 把 5x2+6xy-8y2分解因式。 分析：这个多项式可以看作是关于 x 的二次三项式，把-8
6、y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分 解 5 与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5 -4 1（-4）+52=6 解解 5x2+6xy-8y2=（x+2y） （5x-4y） 。 指出：原式分解为两个关于 x，y 的一次式。 练习练习 5 把（x-y） （2x-2y-3）-2 分解因式。 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先化简，进行多项式的乘法运算，把变形后的 多项式再因式分解。 问：两个乘积的式子有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？ 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式 2，就变为 2（x-y） ，它是第一个
7、因式的二倍，然后把（x-y）看作一个 整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。 解解 （x-y） （2x-2y-3）-2 =（x-y） 2（x-y）-3-2 1 -2 =2（x-y）2-3（x-y）-2 2 +1 = （x-y）-2 2（x-y）+1 11+2（-2）=-3 =（x-y-2） （2x-2y+1） 。 指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。 课堂练习课堂练习 1用十字相乘法因式分解： （1）2x2-5x-12； （2）3x2-5x-2； （3）6x2-13x+5； （4）7x2-19
8、x-6； （5）12x2-13x+3； （6）4x2+24x+27。 2把下列各式因式分解： （1）6x2-13x+6y2； （2）8x2y2+6xy-35； （3）18x2-21xy+5y2； （4）2（a+b）2+（a+b） （a-b）-6（a-b）2。 答案：1 （1） （x-4） （2x+3） ； （2） （x-2） （3x+1） ； （3） （2x-1） （3x-5） ； （4） （x-3） （7x+2） ； （5） （3x-1） （4x-3） ； （6） （2x+3） （2x+9） 。2 （1） （2x-3y） （3x-2y） ； （2） （2xy+5） （4xy-7） ； （3）
9、 （3x-y） （6x-5y） ； （4） （3a-b） （5b-a） 。 作业作业 1用十字相乘法分解因式： （1）2x2+3x+1； （2）2y2+y-6； （3）6x2-13x+6； （4）3a2-7a-6； （5）6x2-11xy+3y2； （6）4m2+8mn+3n2； （7）10x2-21xy+2y2； （8）8m2-22mn+15n2。 2把下列各式分解因式： （1）4n2+4n-15； （2）6a2+a-35； （3）5x2-8x-13； （4）4x2+15x+9； （5）15x2+x-2； （6）6y2+19y+10； （7）20-9y-20y2； （8）7（x-1）2+4（
10、x-1） （y+2）-20（y+2）2。 答案： 1 （1） （2x+1） （x+1） ； （2） （y+2） （2y-3） ； （3） （2x-3） （3x-2） ； （4） （a-3） （3a+2） ； （5） （2x-3y） （3x-y） ； （6） （2m+n） （2m+3n） ； . （7） （x-2y） （10x-y） ； （8） （2m-3n） （4m-5n） 。 2 （1） （2n-3） （2n+5） ； （2） （2a+5） （3a-7） ； （3） （x+1） （5x-13） ； （4） （x+3） （4x+3） ； （5） （3x-1） （5x+2） ； （6） （2y+5） （3y+2） ； （7）-（4y+5） （5y-4） ； （8） （x+2y+3） （7x-10y-27） 。
