1、. 第第 7 章章 二次函数的最值问题二次函数的最值问题 【知识衔接】 初中知识回顾 二次函数的增减性二次函数的增减性 当0a ?时，在对称轴左侧，y 随着 x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增大；当0a ?时， 在对称轴左侧，y 随着 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而减少 二次函数的最值二次函数的最值 一般二次函数求最值 根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。 高中知识链接 给定自变量取值范围求二次函数的最值 如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小 的为最小值。 如果给定的范
2、围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大 值，最小的为最小值。 具体归纳如下： 1、一元二次函数)0( 2 ?acbxaxy 0 4 4 , 0 2 min ? ? ? ?a a bac ya时， a bac y 4 4 2 max ? ? 2、一元二次函数)0()( 2 ?acbxaxxfy在区间m,n上的最值。 1 当m a b ? 2 ，)()(),()( minmax mfxfnfxf? 2 当 22 nm a b m ? ? ， a bac xfnfxf 4 4 )(),()( 2 minmax ? ? . 3 当 n a bnm ? ? 22 时，
3、 a bac xfmfxf 4 4 )(),()( 2 minmax ? ? 4n a b ? 2 时， )()(),()( minmax nfxfmfxf? 3、一元二次函数)0()( 2 ?acbxaxxfy在区间m,n上的最值类比 2 可求得。 【经典题型】 初中经典题型 1如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为（4，3） D 是抛物 线 2 6yxx?上一点，且在x 轴上方则BCD 的最大值为 【答案】15 2 . 2已知当 x1=a，x2=b，x3=c 时，二次函数 2 1 yxmx 2 ?对应的函数值分别为 y1，y2，y3，若正
4、整数 a，b， c 恰好是一个三角形的三边长，且当 abc 时，都有 y1y2y3，则实数 m 的取值范围是 【答案】 5 m 2 ? 3已知二次函数 2 yxbxc?（b，c 为常数） （）当 b =2，c =-3 时，求二次函数的最小值； （）当 c =5 时， 若在函数值 y =1 的情况下， 只有一个自变量 x 的值与其对应， 求此时二次函数的解析式； （）当 c=b2时，若在自变量 x 的值满足 bxb+3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 21，求此 时二次函数的解析式 【答案】 （）二次函数取得最小值-4 （）54 2 ?xxy或54 2 ?xxy来源:学+科+网 Z+
5、X+X+K （）77 2 ?xxy或164 2 ?xxy . （）当 c=b2时，二次函数的解析式为 22 bbxxy?，它的图象是开口向上，对称轴为 2 b x?的抛物 线分三种情况进行讨论，对称轴位于 bxb+3 范围的左侧时，即 2 b ?b；对称轴位于 bxb+3 这个 范围时，即 b 2 b ?b+3；对称轴位于 bxb+3 范围的右侧时，即 2 b ?b+3，根据列出的不等式求得 b 的取值范围，再根据 x 的取值范围 bxb+3、函数的增减性及对应的函数值 y 的最小值为 21 可列方程求 b 的值（不合题意的舍去） ，求得 b 的值代入也就求得了函数的表达式 （）当 c=b2时
6、，二次函数的解析式为 22 bbxxy?它的图象是开口向上，对称轴为 2 b x?的抛 物线 若 2 b ?b 时，即 b0， 在自变量 x 的值满足 bxb+3 的情况下，与其对应的函数值 y 随 x 的增大而增大，故当 x=b 时， 222 3bbbbby?为最小值 213 2 ?b ，解得 7 1? b，7 2 ?b（舍去） 若 b 2 b ?b+3，即-2b0， 当 x= 2 b ?时， 222 4 3 ) 2 () 2 (bb b b b y? 为最小值 . 21 4 3 2 ?b ，解得 72 1? b（舍去） ，72 2 ?b（舍去） 高中经典题型 1二次函数 2 13 2 22
7、 yxx? ?的图象如图所示，当1x0 时，该函数的最大值是（ ） A3125 B4 C2 D0 【答案】C 2已知函数? ?42f xx xx?，存在 321 0xxx?，使得? ? ? 123 f xf xf x?，则? ? 123 x xf x? 的取值范围是_ 【答案】?64,81 【解析】 . 根据题意， ? ? 2 2 2 ,4 42 6 ,4 xx x f xx xx xx x ? ? ? ，由图象可知， 12 6,xx? ? ? ? 123111 6x xf xxxf x? ? 2 1111 66xxxx? ? ? ? 2 2 11 6xx? ? 2 2 1 39x ? ? ?
8、 ， ? 2 11 23,398,9xx? ?， ? ? ? 123 64,81x xf x?， 故答案为?64,81 3已知函数，其中 为常数 (1)若函数在区间上单调递减，求实数 的取值范围； (2)若，都有 ，求实数 的取值范围 【答案】 （1）（2） 【解析】分析：(1)根据二次函数性质得对称轴不在区间 内，解不等式可得实数 的取值范围，(2) 根 据二次函数图像得得在 x 轴上方，即，解得实数 的取值范围 详解：(1)因为开口向上，所以该函数的对称轴是 因此，解得 所以 的取值范围是 (2)因为 恒成立， 所以，整理得 解得 因此， 的取值范围是 4如图，抛物线 2 125 1233
9、 yxx? ?与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C若点 P 是线段 AC 上方的 抛物线上一动点，当ACP 的面积取得最大值时，点 P 的坐标是（ ） . A （4，3） B （5， 35 12 ） C （4， 35 12 ） D （5，3） 【答案】C 【分析】连接 PC、PO、PA，设点 P 坐标（m， 2 125 1233 mm?） ，根据 SPAC=SPCO+SPOASAOC构建 二次函数，利用函数性质即可解决问题 【解析】连接 PC、PO、PA，设点 P 坐标（m， 2 125 1233 mm?） 令 x=0，则 y= 5 3 ，点 C 坐标（0，5 3 ） ，令 y=
10、0 则 2 125 0 1233 xx?，解得 x=2 或 10，点 A 坐标（10， 0） ，点 B 坐标（2，0） ，SPAC=SPCO+SPOASAOC= 2 15112515 10 ()10 232123323 mmm? ? = 2 5125 (5) 1212 m?，x=5 时，PAC 面积最大值为125 12 ，此时点 P 坐标（5， 35 12 ） 故选 C来源:163文库 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1已知二次函数 2 ()1yxh?（h 为常数） ，在自变量 x 的值满足 1x3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为（ ） A1 或5
11、 B1 或 5 C1 或3 D1 或 3 【答案】B 【分析】由解析式可知该函数在 x=h 时取得最小值 1、xh 时，y 随 x 的增大而增大、当 xh 时，y 随 x . 的增大而减小，根据 1x3 时，函数的最小值为 5 可分如下两种情况：若 h1x3，x=1 时，y 取得最小 值 5；若 1x3h，当 x=3 时，y 取得最小值 5，分别列出关于 h 的方程求解即可 2一次函数与二次函数 交于 x 轴上一点，则当时，二次函数 的最小值为（ ） A 15 B -15 C 16 D -16 【答案】D 【解析】分析：首先根据一次函数得出与 x 轴的交点坐标，从而得出二次函数的解析式，根据二
12、次函数的 增减性得出函数的最值 详解：根据一次函数解析式可得与 x 轴的交点坐标为(5，0)， 将(5，0)代入二次函数可得：2510b=0， 解得：b=15， 二次函数的解析式为：， 在中当 x=1 时，函数的最小值为16，故选 D 点睛：本题主要考查的是二次函数的性质以及一次函数与 x 轴的交点坐标问题，属于中等难度题型解决 这个问题的关键就是得出一次函数与 x 轴的交点，从而得出二次函数解析式 3二次函数 yx22x3，当 m2xm 时函数有最大值 5，则 m 的值可能为_ 【答案】0 或 4 【解析】分析：根据二次函数的图像和解析式，判断出函数的最值的自变量 x 的值，然后根据 m 的
13、范围求 出 m 的值即可 详解：令 y=5，可得 x22x3=5， 解得 x=-2 或 x=4 所以 m-2=-2，m=4 即 m=0或 4 故答案为：0或 4 . 点睛：此题主要考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图像直接得 出，第二种配方法，第三种公式法，此题关键是根据最值构造一元二次方程求解 4如图，点 A，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4） ，抛物线 y=a(x+m)2+n 的顶点在线段 AB 上，与 x 轴交 于 C，D 两点（C 在 D 的左侧） ，点 C 的横坐标最小值为3，则点 D 的横坐标的最大值为_ 【答案】8 【解析】分析：当 C 点横
14、坐标最小时，抛物线顶点必为 A（1，4） ，根据此时抛物线的对称轴，可判断出 CD 间的距离；当 D 点横坐标最大时，抛物线顶点为 B（4，4） ，再根据此时抛物线的对称轴及 CD 的长， 可判断出 D点横坐标最大值 详解：当点 C 横坐标为?3时,抛物线顶点为 A(1,4)，对称轴为 x=1，此时 D 点横坐标为 5，则 CD=8； 当抛物线顶点为 B(4,4)时,抛物线对称轴为 x=4,且 CD=8,故 C(0,0),D(8,0)； 由于此时 D点横坐标最大， 故点 D的横坐标最大值为 8； 故选：D 点睛：本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次
15、等知 识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键 5已知二次函数，当时，函数值 的最小值为 ，则 的值是_ 【答案】或 【解析】分析：将二次函数配方成顶点式，分 m2 和-1m2 三种情况，根据 y的最小值为-2，结合 二次函数的性质求解可得 详解：y=x ?2mx=(x?m)?m ， 若 m2，当 x=2时，y=4?4m=?2，解得：m= 2(舍)； 若?1?m?2,当 x=m时,y=?m2=?2，解得：m=或 m=?1(舍)， . m 的值为? 或， 故答案为：? 或 点睛：本题主要考查了二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解答本题的关键 6若实数 a，b 满足 a+b2=1，则 2a2+7b2的最小值是_ 【答案】2 【解析】分析：根据得到代入所求式子，用配方法即可求出最小值 详解： ， 当，即 b=0 时， 的值最小 最小值是 2 7 在平面直角坐标系中， 一次函数 y=x+3 的图象与 x 轴交于点 A， 二次函数 y =x2+mx+n 的图象经过点 A （1）当 m=4 时，求 n 的值； （2）设 m=2，当3x0 时，求二次函数 y=x2+mx+n 的最小值； （3）当3x0 时，若二次函数3x0 时的最小值为4，求 m、n 的值 【答案】 （1
