1、. 初高中数学衔接教材初高中数学衔接教材 目目 录录 引引 入入 乘法公式乘法公式 第一讲第一讲 因式分解因式分解 1. 1 提取公因式 1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差） 1. 3 分组分解法 1. 4 十字相乘法（重、难点） 1. 5 关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解 第二讲第二讲 函数与方程函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 22 二次函数 2.2.1 二次函数 yax2bxc 的图象和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 第第三三讲讲 三角形的
2、“四心” . 乘法公式乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22 ()()ab abab?； （2）完全平方公式 222 ()2abaa bb? 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233 () ()abaa bbab?； （2）立方差公式 2233 () ()abaa bbab?； （3）三数和平方公式 2222 ()2 ()abcabca bb ca c?； （4）两数和立方公式 33223 ()33abaa ba bb?； （5）两数差立方公式 33223 ()33abaa ba bb? 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己
3、去证明 例例 1 计算： 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx? ? ? 解法一：解法一：原式= 2222 (1) (1)xxx? ? = 242 (1)(1)xxx? = 6 1x ? 解法二：原式= 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx? ? ? = 33 (1)(1)xx? = 6 1x ? 例 2 已知4abc?，4abbcac?，求 222 abc?的值 解： 2222 ()2()8abcabcabbcac? 练 习 1填空： （1） 22 1111 () 9423 abba?（ ） ； （2）(4m? 22 )164(mm? )； (3 ) 2222 (2)4(abca
4、bc? ) 2选择题： （1）若 2 1 2 xmxk?是一个完全平方式，则k等于 （ ） （A） 2 m （B） 2 1 4 m （C） 2 1 3 m （D） 2 1 16 m （2）不论a，b为何实数， 22 248abab?的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 . 第一讲第一讲 因式分因式分解解 因式分解的主要方法有： 十字相乘法、 提取公因式法、 公式法、 分组分解法， 另外还应了解求根法及待定系数法 1十字相乘法 例 1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3） 22 ()xab xyaby?； （4）1xy
5、xy? ? 解： （1）如图 111，将二次项 x2分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有 x23x2(x1)(x2) 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 111 中的 两个 x 用 1 来表示（如图 112 所示） （2）由图 113，得 x24x12(x2)(x6) （3）由图 114，得 22 ()xab xyaby?()()xay xby? （4）1xyxy? ?xy(xy)1 (x1) (y+1) （如图 115 所示） 课堂练习 一、填空题： 1、把下列各
6、式分解因式： （1）?65 2 xx_。 （2）?65 2 xx_。 （3）?65 2 xx_。 （4）?65 2 xx_。 （5）?axax1 2 _。 （6）?1811 2 xx_。 （7）?276 2 xx_。 （8）?9124 2 mm_。 （9）? 2 675xx_。 （10）? 22 612yxyx_。 2、? 3 4 2 ?xxxx 1 2 x x 图 111 1 2 1 1 图 112 2 6 1 1 图 113 ay by x x 图 114 1 1 x y 图 115 . 3、若?42 2 ?xxbaxx则 ?a， ?b。 二、选择题： （每小题四个答案中只有一个是正确的）
7、 1、在多项式（1）67 2 ? xx（2）34 2 ? xx（3）86 2 ? xx（4）107 2 ? xx （5）4415 2 ?xx中，有相同因式的是（ ） A、只有（1） （2） B、只有（3） （4） C、只有（3） （5） D、 （1）和（2） ； （3）和（4） ； （3）和（5） 2、分解因式 22 338baba?得（ ） A 、?3 11?aa B 、?baba3 11? C 、?baba3 11? D 、 ?baba3 11? 3、?208 2 ?baba分解因式得（ ） A、?2 10?baba B、?4 5?baba C、?10 2?baba D、?5 4?baba
8、 4、若多项式axx?3 2 可分解为?bxx?5，则a、b的值是（ ） A、10?a，2?b B、10?a，2?b C、10?a，2?b D、10?a， 2?b 5、若?bxaxmxx? 10 2 其中a、b为整数，则m的值为（ ） A、3或9 B、3? C、9? D、3?或9? 三、把下列各式分解因式 1、?321126 2 ?pqqp 2、 223 65abbaa? 3、642 2 ? yy 4、82 24 ? bb 2提取公因式法 例 2 分解因式： （1） ?baba?55 2 （2） 32 933xxx? ? 解： （1） ?baba?55 2 =) 1)(5(?aba （2） 3
9、2 933xxx? ?= 32 (3)(39)xxx?= 2( 3)3(3)x xx? = 2 (3)(3)xx? 或 32 933xxx? ? 32 (331)8xxx? 3 (1)8x? 33 (1)2x? 22 (1)2(1)(1) 22 xxx? ? 2 (3)(3)xx? 课堂练习： 一、填空题： 1、多项式xyzxyyx426 22 ?中各项的公因式是_。 2、? ?yxxynyxm_。 . 3、? 222 yxxynyxm_。 4、? ?zyxxzynzyxm_。 5、?zyxzyxzyxm_。 6、 52362 3913xbaxab?分解因式得_。 7计算99992?= 二、判
10、断题： （正确的打上“” ，错误的打上“” ） 1、?baababba?242 22 ? （ ） 2、?bammbmam? （ ） 3、?5231563 223 ?xxxxxx? （ ） 4、?1 11 ? ? xxxx nnn ? （ ） 3：公式法 例 3 分解因式： （1）16 4 ?a （2）?2 2 23yxyx? 解：(1)16 4 ?a=)2)(2)(4()4)(4()(4 222222 aaaaaa? (2) ?2 2 23yxyx?=)32)(4()23)(23(yxyxyxyxyxyx? 课堂练习 一、 22 2baba?， 22 ba ?， 33 ba ?的公因式是_。
11、二、判断题： （正确的打上“” ，错误的打上“” ） 1、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 . 0 3 2 1 . 0 3 2 1 . 0 3 2 01. 0 9 4 2 2 2 xxxx? （ ） 2、? ?babababa43 434389 22 22 ? ? （ ） 3、?bababa45 451625 2 ? （ ） 4、?yxyxyxyx? 2222 ? （ ） 5、?cbacbacba? 2 2 ? （ ） 五、把下列各式分解 1、?2 2 9nmnm? 2、 3 1 3 2 ?x 3、? 2 2 244?xx 4、12 24
12、 ? xx . 4分组分解法 例 4 （1）xyxyx33 2 ? （2） 22 2456xxyyxy? （2） 22 2456xxyyxy?= 22 2(4)56xyxyy? = 2 2(4)(2)(3)xyxyy?=(22)(3)xyxy? 或 22 2456xxyyxy?= 22 (2)(45 )6xxyyxy? =(2)()(45 )6xy xyxy? =(22)(3)xyxy? 课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）byaxbayx22 2222 ? （2）912644 22 ?bababa 5关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解 若关于若关于 x 的方程的方程
13、 2 0(0)axbxca?的两个实数根是的两个实数根是 1 x、 2 x，则二次三项式，则二次三项式 2 (0)axbxc a?就可分解为就可分解为 12 ()()a xxxx?. 例 5 把下列关于 x 的二次多项式分解因式： （1） 2 21xx?； （2） 22 44xxyy? 解： （1）令 2 21xx?=0，则解得 1 12x ? ?， 2 12x ? ?， 2 21xx?=( 12)( 12)xx ? ? ? ? ? ? ? =(12)(12)xx? ? ? （2）令 22 44xxyy?=0，则解得 1 ( 22 2)xy? ? ?， 1 ( 2 2 2)xy? ? ?， 2
14、2 44xxyy?=2(12) 2(12) xy xy? 练 习 1选择题： 多项式 22 215xxyy?的一个因式为 （ ） （A）25xy? （B）3xy? （C）3xy? （D）5xy? 2分解因式： （1）x26x8； （2）8a3b3； （3）x22x1； （4）4(1)(2 )xyy yx? 习题习题 12 . 1分解因式： （1） 3 1a ?； （2） 42 4139xx?； （3） 22 222bcabacbc?； （4） 22 35294xxyyxy? ? 2在实数范围内因式分解： （1） 2 53xx? ； （2） 2 2 23xx?； （3） 22 34xxyy?；
15、（4） 222 (2 )7(2 ) 12xxxx? 3ABC?三边a，b，c满足 222 abcabbcca?，试判定ABC?的形状 4分解因式：x2x(a2a) . 第二讲第二讲 函数与方程函数与方程 2.1 一元二次方程一元二次方程 2.1.1 根的判别式根的判别式 情境设置：情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法， 如求方程的根（如求方程的根（1）032 2 ? xx(2) 012 2 ? xx (3) 032 2 ? xx 我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，用配方法可以将其变 形为 2 2 2 4 () 24 bbac x aa ? ? 因为 a0，所以，4a20于是 （1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不 相等的实数根 x1，2 2 4 2 bbac a ?
