1、. 专题专题 1.6 1.6 极值点偏移第四招极值点偏移第四招-含指数式的极值点偏移问题含指数式的极值点偏移问题 近几年全国各地的模拟试题、高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型：在给定区间内研究两函数之 间的不等关系. 要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离变量之后构造新的函数，通过研 究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系. 这一类问题多数与指数函数有关，解 题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转化为对数问题，再用对数平均不等式求解，本文对此类问 题做一探究.21 世纪教育网版权所有 （2016 年新课标 I 卷理数压轴 21 题）已知函数 2 ) 1
2、()2()(?xaexxf x 有两个零点 21,x x.证明： 12 2xx?. 法二： 参变分离 再构造差量函数 由已知得：? ? 12 0f xf x?，不难发现 1 1x ?， 2 1x ?， 故可整理得： ? ? ? ? 12 12 22 12 22 11 xx xexe a xx ? ? ? ? 设? ? ? ? 2 2 1 x xe g x x ? ? ? ，则? ? 12 g xg x? 那么? ? ? ? 2 3 21 1 x x gxe x ? ? ? ，当1x ?时，? ?0gx ?，? ?g x单调递减；当1x ?时，? ?0gx ?，? ?g x单 调递增 设0m ?
3、，构造代数式： ? 1112 222 1111 111 1 mmmm mmmm gmgmeeee mmmm ? ? ? ? ? ? . 设? ? 2 1 1 1 m m h me m ? ? ? ，0m ? 则? ? ? 2 2 2 2 0 1 m m h me m ? ? ，故? ?h m单调递增，有? ? ?00h mh? 因此，对于任意的0m ?，?11gmgm? 由? ? 12 g xg x?可知 1 x、 2 x不可能在? ?g x的同一个单调区间上， 不妨设 12 xx?，则必有 12 1xx? ? 令 1 10mx? ?，则有 ? ? 11112 11112gxgxgxg xg
4、x? ? 而 1 21x?， 2 1x ?，? ?g x在?1,?上单调递增，因此：? 1212 22gxg xxx? 整理得： 12 2xx? 法三：参变分离再构造对称函数 由法二，得? ? ? ? 2 2 1 x xe g x x ? ? ? ，构造( )( )(2),(,1)G xg xgxx? ?， 利用单调性可证，此处略. . 法五：利用“对数平均”不等式 参变分离得： 2 2 2 2 1 1 ) 1( )2( ) 1( )2( 21 ? ? ? ? ? ? x ex x ex a xx ，由0?a得，21 21 ?xx， 将上述等式两边取以e为底的对数，得 2 2 2 2 1 2
5、1 1 ) 1( )2( ln ) 1( )2( lnx x x x x x ? ? ? ? ? ? ， 化简得： 2121 2 2 2 1 )2ln()2ln() 1ln() 1ln(xxxxxx?， 故 21 21 21 2 2 2 1 )2ln()2ln() 1ln() 1ln( 1 xx xx xx xx ? ? ? ? ? ? )2()2( )2ln()2ln( ) 1() 1( ) 1ln() 1ln( )1() 1( 21 21 2 2 2 1 2 2 2 1 21 xx xx xx xx xx ? ? ? ? ? ? 由对数平均不等式得： 22 12 2222 1212 ln(
6、-1) -ln(-1) 2 (1)(1)(1)(1) xx xxxx ? ? ， 12 1212 ln(2-)-ln(2-)2 2222 xx xxxx ? ?（） （） （） （） ， 从而 12 22 1212 2(2)2 1 (1)(1)22 xx xxxx ? ? ?（） （） 121212 22 1212 2(2)4()2 (1)(1)4() xxxxxx xxxx ? ? ? 1212 22 1212 2(2)2 1 (1)(1)4() xxxx xxxx ? ? ? ? 等价于： 1212 22 1212 2(2)2 0 (1)(1)4() xxxx xxxx ? ? ? . 1
7、2 22 1212 21 (2) (1)(1)4() xx xxxx ? ? 由 22 1212 (1)(1)0,4 ()0xxxx?，故 12 2xx?，证毕. (2010 天津理)已知函数? ? x f xxe? ?xR?.如果 12 xx?，且? ? 12 f xf x?. 证明： 12 2xx?. 设 函 数 ? ? x f xeaxa? ?aR?， 其图象与x轴交于? ? 12 ,0,0A xB x两点， 且 12 xx?.证明： ? 12 0fx x? （? ?fx?为函数? ?f x的导函数）. 【解析】根据题意： 1 1 0 x eaxa?， 2 2 0 x eaxa?移项取对
8、数得： 11 ln(1)lnxxa? 22 ln(1)lnxxa? -得： 1212 ln(1)ln(1)xxxx?，即： . 招式演练：招式演练： 已知函数? ? 2x f xaxeaR?在?0,?上有两个零点为 1212 ,()x x xx?. （1）求实数a的取值范围； （2）求证： 12 4xx?. 【答案】（1） 2 , 4 e? ? ? ? ;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）? ? 2x f xaxe?在?0,?上有两个零点等价于方程 2 x e a x ?有两个根，即ya? 与 2 x e y x ?有两个交点，研究函数 2 x e y x ?单调性，结合数形结合可得结果
9、；（2） 1 2 1 x axe?， 2 2 2 x axe?， 两式相除可得 21 2 2 1 xx x e x ? ? ? ? ? ，设 2 1 (1) x t t x ?，只需证明? ?lnln220h ttt tt?即可.21 教育网 试题解析：（1）? ? 2x f xaxe?在?0,?上有两个零点，方程 2 x e a x ?，则? ? ? 3 2 x ex hx x ? ?，于 是?0,2x?时， ? ?0h x ?，即? ?h x在?0,2上单调递减；当?2,x?时， ? ?0h x ?，即? ?h x在 . ?2,? 【方法 点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性进而求最值
10、、不等式恒成立问题以及不等式证明问题，属于 难题.对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数 的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式， 便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质 很难研究, 就不要使用分离参数法 已知函数? ? 2 1 1 x x f xe x ? ? ? . (1)求? ?f x的单调区间； (2)证明:当? ? 1212 f xf xxx?时， 12 0xx?. 【解析】 (1) ? ?f x在?,0?上单调递增，在
11、?0,?上单调递减； (2)由(1)知当1x ?时，? ?0f x ? 不妨设 12 xx?，因为? ? 12 f xf x?，即 12 12 22 12 11 11 xx xx ee xx ? ? ? ，则 12 01xx?， 要证明 12 0xx?，即 12 0xx?，只需证明? ? 12 f xfx?，即? 22 f xfx? 而 22 ()()f xfx?等价于 2 2 22 (1)10 x x ex? ?， . 令? 2 ( )(1)10 x g xx ex x? ?，则 2 ( )(1 2 )1 x g xx e?， 令 2 ( )(1 2 )1 x h xx e?，则 2 ( )
12、40 x h xxe?， 所以( )h x单调递减，? ?( )00h xh?，即? ?0g x?，所以? ?g x单调递减， 所以? ? ?00g xg?，得证 已知函数), 0()(Rbabeaxxf x ?，若任意不同的实数 21,x x满足)()( 21 xfxf?，求证： axxln2 21 ?. 方案一（差为自变量）：方案一（差为自变量）： . 法三：法三：令 221121 ln,ln, 21 uxuxeueu xx ?， 原式 1 2 21 12 2 1 2 21 2 12 2 21 21 21 ln)(ln )( ) lnln ( u u uu uu u u uu uu uu
13、uu uu? ? ? ? ? ? ? ? 0ln 2 1 1 2 1 2 ? u u u u u u ，则令 1 2 u u t ?， 设0 2 ) 1( 2 12 2 1 2 11 )( 1 ln)( 2 ? ? ? ? ? tt t tt tt tttt tg t tttg， 则)(tg在), 1 ( ?为减函数， 则1?t时)(tg有最大值0) 1 (?g， 故0 1 ln0)(? t tttg，证毕. 已知函数? ? x f xeaxa aR?，其中e为自然对数的底数. （1）讨论函数? ?yf x?的单调性； （2）若函数? ?f x有两个零点 12 ,x x，证明： 12 2lnxxa?. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（）? ? x fxea? 当a0?时， ? ?fx0?，则函数? ?f x为 R 上的单调递增函数 当a0?时，令? ?fx0?，则xlna? . 若xlna?，则? ?fx0?， ? ?f x在?,lna?上是单调减函数； 若xlna?，则? ?fx0?， ? ?f x在?lna,?上是单调增函数.
