1、. 6 6 含对数式的极值点偏移问题含对数式的极值点偏移问题 1. 若? ?f x的极值点为 0 x，则根据对称性构造一元差函数? ? 00 F xf xxf xx?，巧借 ? ?F x 的 单 调 性 以 及? ?00F?， 借 助 于? 12002 fxfxfxxx? ? 与? 002 fxxx? ? ? 02 2fxx?，比较 2 x与 01 2xx?的大小，即比较 0 x与 21 2 xx? 的大小 2. 又一解题策略：根据? ? 12 f xf x?建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造 函数，利用对数平均不等式链求解 对数平均不等式的介绍与证明对数平均不等式的介绍与证
2、明 两个正数a和b的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： ( , ) 2 ab abL a b ? ?（此式记为对数平均不等式对数平均不等式） 取等条件：当且仅当ab?时，等号成立. 只证：当ab?时，( , ) 2 ab abL a b ? ?.不失一般性，可设ab?. 证明如下： （I）先证：( , )abL a b? 不等式 1 lnlnln2ln(1) abaaba abxxx bbaxbab ? ?其中 构造函数 1 ( )2ln(),(1)f xxxx x ?，则 2 2 211 ( )1(1)fx xxx ? ? ?. 因为1x ?时，( )0fx?，所以函数
3、( )f x在(1,)?上单调递减， 故( )(1)0f xf?，从而不等式成立； （II）再证：( , ) 2 ab L a b ? ? 不等式 构造函数 2(1) ( )ln,(1) (1) x g xxx x ? ? ? ，则 2 22 14(1) ( ) (1)(1) x g x xxx x ? ? ? . . 因为1x ?时，( )0g x?，所以函数( )g x在(1,)?上单调递增， 故( )(1)0g xg?，从而不等式成立； 综合（I）（II）知，对, a bR?，都有对数平均不等式( , ) 2 ab abL a b ? ?成立， 当且仅当ab?时，等号成立. 例 1. 已
4、知函数 2 ( )ln(2) .f xxaxa x? （1）讨论( )f x的单调性； （2）设0a ?，证明：当 1 0x a ?时， 11 ()()fxfx aa ?； （3）若函数( )yf x?的图象与x轴交于,A B两点，线段AB中点的横坐标为 0 x，证明： 0 ()0fx?. 法二：构造以a为主元的函数，设函数) 1 () 1 ()(x a fx a fah?， 则( )ln(1)ln(1)2h aaxaxax?， 32 22 2 ( )2 111 xxx a h ax axaxa x ? ? ， 由 1 0x a ?，解得 1 0a x ?， 当 1 0a x ?时，( )0h
5、 a?，)(ah在), 0( ?上单调递增， 而(0)0h?， 所以( )0h a ?，故当 1 0x a ?时， 11 ()()fxfx aa ?. . （3 3）问另解：）问另解：由 12 ( )()0f xf x? 22 111222 ln(2)ln(2)0xaxa xxaxa x? 22 12121212 lnln2()()xxxxa xxxx? 1212 22 1212 lnln2()xxxx a xxxx ? ? ? 故要证 12 00 1 ()0 2 xx fxx a ? ? 12 1212 lnln2xx xxxx ? ? ? . 根据对数平均不等式，此不等式显然成立，故原不等
6、式得证. . 例 2：已知函数( )lnf xxx?与直线ym?交于 1122 ( ,), (,)A x yB x y两点. 求证： 12 2 1 0x x e ? 由题于ym?与lnyxx?交于不同两点，易得出则0m ? 上式简化为: 2 12 ln()2lnx xe? ? 12 2 1 0?x x e . 例 3：已知函数? ? lnx f x xa ? ? （aR?），曲线? ?yf x?在点? ?1,1f处的切线与直线10xy? ?垂直. （1）试比较 2017 2016与 2016 2017的大小，并说明理由； （2）若函数? ? ?g xf xk?有两个不同的零点 12 ,x x，
7、证明： 2 12 ?xxe?. 【答案】（1） 20172016 20162017?（2）见解析 试题解析： （1）依题意得， 所以? ? ? 2 11 1 1 a fx a a ? ? ? ? ?，又由切线方程可得? ?11 f? ?，即 1 1 1a ? ? ，解得0a ? 此时? ? lnx f x x ?， ? ? 2 1 lnx fx x ? ?， 令? ?0fx?，即1 ln0x?，解得0xe?； 令? ?0fx?，即1 ln0x?，解得xe? 所以? ?f x的增区间为?0,e，减区间为?, e ? 所以?20162017ff?，即 ln2016ln2017 20162017 ?
8、， 2017ln20162016ln2017?， 20172016 20162017?. （2）证明：不妨设 12 0xx?因为? ? 12 0g xg x? 所以化简得 11 ln0xkx?， 22 ln0xkx? . 可得? 1212 lnlnxxk xx?， ? 1212 lnlnxxk xx?. 要证明 2 1 2 x xe?，即证明 12 lnln2xx?，也就是? 12 2k xx? 因为 12 12 lnlnxx k xx ? ? ? ，所以即证 12 1212 lnln2xx xxxx ? ? ? 即 112 212 ln xxx xxx ? ? ? ，令 1 2 x t x
9、?，则1t ?，即证 ?21 ln 1 t t t ? ? ? . 令? ? ?21 ln 1 t h tt t ? ? ? （1t ?），由 故函数? ?h t在?1,?是增函数，所以? ? ?10h th?，即 ?21 ln 1 t t t ? ? ? 得证. 所以 2 1 2 x xe?. 点睛：本题主要考查函数导数与切线的关系，考查利用导数来证明不等式，考查利用分析法和导数来证明 不等式的方法.有关导数与切线的问题，关键的突破口在与切点和斜率，本题中已知切线和某条直线垂直， 也即是给出斜率，利用斜率可求得函数的参数值.利用导数证明不等式通常先利用分析法分析，通过转化后 再利用导数来证明
10、.21 教育网 . 例 4：已知函数? ?ln,. b f xxa a bR x ? （）讨论函数? ?f x的单调区间与极值； （）若0b ?且? ?0f x ?恒成立，求 1 1 a eb ? ? ?的最大值； （）在（）的条件下，且 1 1 a eb ? ? ?取得最大值时，设? ? 1a F bm mR b ? ?，且函数? ?F x有两 个零点 12 ,x x，求实数m的取值范围，并证明： 2 1 2 .x xe? 【答案】（）答案见解析；（）当ln1ba?时， 1 1 a eb ? ? ?最大为 1；（）证明过程见解析 （）由（） 知 ， 当 1 1 a eb ? ? ?取 最 大
11、 值1时 ， ? ? 1 ln 1ln,0 a b ebabF bm b b ? ? ?， 记 ? ? ln 0 x F xm x x ?， ? ?0ln0F xxmx?， 不 妨 设 12 xx?， 由 题 意 11 22 lnxmx lnxmx ? ? ， 则? 1212 lnx xm xx?， ，欲证明 2 1 2 x xe?，只需证明? 1 2 ln2x x?，只需证明? 12 2m xx?， 即证明 122 211 ln2 xxx xxx ? ? ? ，即证，设 2 1 1 x t x ?，则只需证明 1 ln2 1 t t t ? ? ? ，也就是证明 . 1 ln20 1 t t
12、 t ? ? ? ? ，记? ? 1 ln2,1 1 t u ttt t ? ? ? ，所以，所以? ?u t在 ?1,?单调递增，所以? ? ?10u tu? ，所以原不等式成立.21 世纪教育网版权所有 例 5：已知函数，其中 （1）若，讨论的单调区间； （2）已知函数的曲线与函数的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为，证明： . 【答案】（）见解析（）见解析. 【解析】（）由已知得， 当时，； 当时， 故若，在上单调递增，在上单调递减； 故若，在上单调递减，在上单调递增 . 取，即只需证明成立即只需证成立 ，在区间上单调递增， 成立 故原命题得证 例 6:已知函数? ? ln ax
13、f x x ?. （1）若? ?f x在点 ? ? 22 ,ef e处的切线与直线40xy?垂直，求函数? ?f x的单调递增区间； （2）若方程? ?1f x ?有两个不相等的实数解 12 ,x x，证明： 12 2xxe?. 【答案】（）?0,1和?1,e；（）见解析 （ ） 由 ? ? 121222 121211 lnx lnxa xxlnxax lnxlnxa xxlnxax ? ? ? 12 12 lnlnxx a xx ? ? ? ? 1212 2.xxx x?，只要证 2 1 212 lnln2x xexx? 只需证? 12 121212 12 lnln lnln2 xx xxa xxxx xx ? ? ? ，不妨设 12 xx? 即证 ? 12 11 2122 2 ln,1 xxxx t xxxx ? ? ? ? 令， . 只需证 ? ? ? ?21214 ln,lnln2 111 tt tg ttt ttt ? ? ? ， 则? ?g t在?1 ?，上单调递增， ? ? ?10(1)g tgt?，即证
