1、. 极值点偏移问题（极值点偏移问题（5） 对数平均不等式（本质回归） 杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001) 我们熟知：ab为两正数a，b的几何平均数， 2 ab? 为a，b的算术平均数，并且有 2 ab ab ? ?，即为基本不等式本讲要给的对数平均不等式是对基本不等式的加细 对数平均不等式对数平均不等式：对于正数a，b，且ab?，定义 lnln ab ab - - 为a，b的对数平均数， 且有 lnln2 abab ab ab ? ? ? ， 即几何平均数对数平均数算术平均数，简记为?,G a bL a bA a b? 先给出对数平均不等式的多种证法 证法证法 1
2、（对称化构造） ：设0 lnln ab k ab - = - ，则 lnlnkakbab-=-，lnlnkaakbb-=- 构 造 函 数 ( ) lnf xkxx=-， 则 ( )( ) fafb= 由 ( )() 10 k fxx x =-， 得 ( ) 0fk =，且 ( ) f x在( ) 0,k上单增，在?, k ?上单减，xk=为 ( ) f x的极大值点对 数平均不等式即 2 ab abk + ，则 lnln2 abab ab ab -+ ，则 lnln lnln a bab abab abba - - ，同理可证 证法证法 4（积分形式的柯西不等式） ：不妨设ab?，则由 ?
3、? ? ? 2 lnlnln2 2 lnlnln dd1 d aaa xx bbb exexx? ? 得? 2 22 1 lnln 2 baabab?， lnln2 abab ab ? ? ? ； 由 ? 22 2 11 dd1 d aaa bbb xxx xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? 211 lnlnabab ba ? ? ? ? ， lnln ab ab ab ? ? ? 证法证法 5（几何图示法） ：如下左图，过? ? 1 f x x ?上一点 2 , 2 ab ab ? ? ? ? 作切线，由曲边 梯形面积大于直角梯形面积，可得 ? 11 lnln 2 a b abd
4、xab ab x ? ? ? ，即 lnln2 abab ab ? ? ? ； x y f x ( )= 1 x 2 a+b a+b 2 a bO x y 1 a 1 b ba f x ( )= 1 x O 如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得 ? 1111 lnln 2 a b dxabab xab ? ? ? ? ? ，即 lnln ab ab ab ? ? ? 由对数平均不等式的证法 1、2 即可看出它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面 就用对数平均不等式解前面举过的例题 . 再解例再解例 1：? ? 12 f xf x?即 12 12 xx xex e ? ?， 1122
5、 lnlnxxxx?， 则 12 12 1 lnln xx xx ? ? ? （正数 12 ,x x的对数平均数为 1） ，于是 12 12 1 2 xx x x ? ? ?，得 1 2 1x x ?，且 12 2xx? 再 解 例再 解 例2 ：? ? 2 210 x fxxea x?即? 2 210 x x ea x?； 由 ? ? 12 0f xf x?得 ? ? 1 2 2 11 2 22 21 21 x x x ea x xea x ? ? ? ? ? ? ? ，两式相减得 ? 12 121212 222 xx x ex ea xxxx? 下面用反证法证明 12 2xx?：若 12
6、2xx?，则? 12 12 220 xx x ex e?， ? 12 12 22 xx x ex e?，取对数得? 1122 lnln 22xxxx?，则 ? 21 12 l 1 ln 22n xx xx ? ? ? ? 由对数平均不等式得 ? ? ? ? ? ? 1212 2112 1212 2222 2 ln 22ln 2222 1 lnln xxxxxxxx xxxx ? ? ? ? ? ， 矛盾 再解例再解例 3：由 1122 lnlnxxxxm?得 1 1 ln m x x ?， 2 2 ln m x x ? 1212 121212 lnln lnlnlnlnlnln mm xxxx
7、m xxxxxx ? ? ? ? ? ， ? 12 12 1212 lnln lnlnlnln mxxmm xx xxxx ? ?， 由对数平均不等式得 ? ? 12 12 1212 lnln 0,ln0,ln0 lnln2lnln mxxm mxx xxxx ? ?， 则? 121 2 2lnlnlnxxx x? ?，得 12 2 1 x x e ? 再解练习再解练习 1：由 1122 lnlnxaxxax?得 12 12 11 0 lnln xx a xxae ? ? ? ? ? ，由对数平均不 等式得 12 1 2 xx a ? ?， 12 22 xx ae ?； 2 12121212
8、2 lnln22x xexxaxaxxx a ?，已证 再解例再解例 4：同本节例 1 . 再解例再解例 5：同本节例 1，得到 1 2 1x x ?，则 1212 111 22 xxx x ? 再解例再解例 7（2） ：易得? 1 ln1 lnlnln 0,1 abab abab ? ? ? ，则1 lnln ab ab ? ? ? ，由对数 平均不等式得1 2 ab? ?，2ab? 再 解 例再 解 例8 ： 1122 2ln2lnxaxxax?，? 1212 2 lnlnxxa xx?， 得 12 12 2 lnln xx xxa ? ? ? ， 由 对 数 平 均 不 等 式 得 12
9、 2 2 xx a ? ?， 12 4 xx a ?， ? 12122 426 2xxxxx aaa ? 再解练习再解练习 3：? ?0f x ?即? 2 1 x ea xae?，?lnln1xax?，则 ? ? 11 22 lnln1 lnln1 xax xax ? ? ? ? ? 得? ? 121212 11ln1ln1xxxxxx?，则 ? ? ? 12 12 11 1 ln1ln1 xx xx ? ? ? （正数 1 1x ?， 2 1x ?的对数平均数为 1） ， 于是? ? ? 12 12 11 111 2 xx xx ? ? ?，得? 12 111xx?，且 12 4xx? 得?
10、 1212 2lnln112lnxxaxxa?，所以 12 12 ln 2 xx x xa ? ?，由 此可得 ? 12 0fx x? 解练习解练习 4 选项选项 D：? ? 12 f xf x?即 12 12 22 lnlnxx xx ?，则 ? 12 12 2112 222 lnln xx xx xxx x ? ?， 1212 12 lnln2 xxx x xx ? ? ? ， 所以 12 12121212 424 2 x x x xx xxxx x? 顺带地，也有? 1212 121212 12 11 1111 22 x xxx x xxxxx xx ? ? ? 极值点偏移问题， 多与指
11、数函数或对数函数有关， 用对数平均不等式解题的关键有以下 几步： . （1）根据? ? 12 0f xf x?建立等量关系； （2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数； （3）通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用 1 x， 2 x表示） ，代入对数平均不等 式求解 细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有一定局限性， 也不是万能的（再解过程中漏掉了例 6，读者可尝试） ，其中能否简洁地表示出对数平均数 是关键中的关键最后再举一例 例例 10 设 函 数? ? 2 ln2fxxaxa x?的 两 个零 点 是 1 x， 2 x， 求
12、证 ： 12 0 2 xx f ? ? ? ? 证法证法 1：首先易知0a ?，且? ?f x在 1 0, a ? ? ? 上递增，在 1 , a ? ? ? ? 上递减，不妨设 12 1 0xx a ?， 1212 12 2 010 22 xxxx faxx a ? ? ? ? ? 构 造 函 数 ? ? ? 2 F xf xfx a ? ? ? ? 可证 证法证法 2：由题意得 ? ? 2 111 2 222 ln20 ln20 xaxa x xaxa x ? ? ? ? ? ，两式相减得 ? ? 12121212 lnln20xxa xxxxaxx?， 即? 121212 lnln2xxxxa xxa? ?， ? 12 1212 1 0 lnln2 xx xxa xxa ? ? ? ，所 以 ? ? 2 12 1212 12 1 220 22 xx a xxaxx a xxa ? ? ? ? 12 121212 2 2100 2 xx a xxxxxxf a ? ? ? ?
