1、. 极值点偏移问题（极值点偏移问题（7） 练习题及解答 杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001) 一般化的极值点偏移问题： 如图， 曲线? ?yf x?上两点? ? ? 11 ,A x f x，? 22 ,B xf x， 记直线 AB 的斜率为k， 则存在? 102 ,xx x?使得? 0 fxk?（由拉格朗日中值定理保证） 若 1 0 2 2 x x x? ?，则称函数? ?f x的图象存在偏移现象特别地，取? ? 12 f xf x?，则 ? 0 0fxk?， 0 x为? ?f x的极值点，即为极值点偏移问题 B A y=f x ( ) x2x0 x1 x 练习题：
2、 1.设函数? ? 43 4 3 f xxx?与直线 1 3 ya a ? ? ? ? ? 交于? 1, A x a，? 2, B x a两点， 求证： 12 2xx? 2.已知函数? ? 2 1 1 x x fxe x ? ? ? ，证明：当? ? 1212 f xf xxx?时， 12 0xx? 3.设函数? ? x f xeaxa aR?，其图象与x轴交于? 1,0 A x，? 2,0 B x两点，求 证： 1 212 x xxx? 4.已知函数? ? x f xaex b? ?，e为自然对数的底数若? ?f x有两个不同的零点 12 ,x x，对任意的0,aRb?，求证： 12 0 2
3、 xx f ? ? ? ? . 5.已知函数? ? 2 2lnf xxxmx?的图象与 x 轴交于两点? 1,0 A x，? 2,0 B x，且 12 0xx?若正数,? ?满足1?，且?，求证：? 12 0fxx? 6.已知函数? ? x f xRex?， 设ab?， 比较 ? ? ? 2 f af b? 与 ? ? ?f bf a ba ? ? 的大小， 并说明理由 7.若曲线? ?0 x yf xmem?上存在两个不同的点? ? 11 ,A x f x，? 22 ,B xf x 关于 y 轴的对称点均在直线1yx?上，证明： 12 4xx? 8.已知函数? ? 2 2 ln x ea f
4、 xaxaR xx ? （1）当ae? ?时，讨论函数? ?f x的单调性； （2）若? ?f x存在三个不同的极值点 12 ,2x x，且 12 02xx?，求实数a的取值范 围，并证明： 1 2 1x x ? 9.若函数? ? 2 ln 2 a f xxxxx?有两个极值点 12 ,x x，求证： 12 11 2 lnln ae xx ? 10.已知函数? ?0 ax f xx ea? ?，若存在? 1212 ,x xxx?使? ? 12 0f xf x?，求 证： （1） 12 2 xx a ?； （2） 1 2 x ae x ? 11.已知函数? ?lnf xxx?，? ? x x g
5、 x e ? （1）记? ? ? ?F xf xg x?，证明：? ?F x在区间?1,2内有唯一零点； （2）记（1）中的? ?F x在?1,2内的零点为 0 x，? ? ? ?min,m xf xg x?，若 ? ?m xRn n? 在?1,?内有两个不等实根? 1212 ,x xxx?， 判断 12 xx?与 0 2x的大小关 系，并进行证明 12.设函数? ? 2 2lnf xxxx bRb?的两个零点分别为?,0m nmn?若 0 x满 足 0 2xmn?，问? ?f x的图象在点? 00 ,xf x处的切线能否平行于x轴？ 13.已知函数? ?lnf xx?的图象 1 C与函数?
6、? 2 2 0 1 g xaxbx a?的图象 2 C交于P， . Q 两点，过 P，Q 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 12 ,C C于点 M，N，证明： 1 C在点 M 处的 切线与 2 C在点 N 处的切线不平行 14.已知函数? ? 2 1 ln0 2 f xaxbxx a?，? ?10 f? ? （1）试用含有 a 的式子表示 b；求? ?f x的单调区间； （2）对于函数图象上的不同两点? 1122 ,A x yB x y，如果在函数图象上存在点 ? 00102 ,P x yxxx?，使得点 P 处的切线lAB，则称 AB 存在“伴随切线” 当 12 0 2 xx x ? ?时
7、，又称 AB 存在“中值伴随切线” 试问：在函数? ?f x的图象上是否存在两 点 A，B，使得 AB 存在“中值伴随切线”？ 15.已知函数? ? x f xe?，其图象上有两点?, bb P b eQb e?，过点 P，Q 作图象的 切线，分别记为 12 ,l l，设 12 ,l l的交点为? 00 ,M x y，证明： 0 0x ? 16.设函数? ? 1 lnf xxax a x R? （1）讨论? ?f x的单调性； （2）若? ?f x的两个极值点为 1 x和 2 x，记过点? ? 11 ,A x f x，? 22 ,B xf x的直线 斜率为k，问是否存在实数a，使得2ka?？
8、17.设函数? ? ? 2 1 4ln40 2 f xxmxmx m?，对于曲线? ?yf x?上的不同两 点? ? 11 ,M x f x，? 22 ,N xf x，记直线 MN 的斜率为k，若? 0 kgx?，证明： 120 2xxx? 18. 已 知 函 数? ?0 x fxea x a?， 在 函 数? ?f x的 图 象 上 取 定 两 点 ? ? 1122 ,A x f xB xf x， 且 12 xx?， 记直线 AB 的斜率为k， 求证： 存在? 102 ,xx x?， 使? 0 kfx?成立 19. 已 知 函 数? ?0 ax f xex a?， 在 函 数? ?f x的
9、图 象 上 任 取 两 点 ? ? 1122 ,A x f xB xf x，记直线 AB 的斜率为k，问是否存在? 012 ,xx x?，使得 ? 0 fxk?成立？若存在，求出 0 x的取值范围；若不存在，请说明理由 . 20.已知函数? ? 1 lnf xax aR x ?，若? ?f x有两个零点? 1212 ,x xxx?，求证： 1 12 2 a xxe ? ? 提示与答案： 1. ? ? 32 44fxxx?，1x ?为? ?f x的极小值点， 要证 12 2xx?， 即极小值点右偏， 可 证 或 者 ：? 2222 1212121122 4 0 3 f xf xxxxxxx xx
10、?， 若 12 2xx?，则? 2222 112212 4 3 2xx xxxx?，得? 2 12 0xx?，矛盾 2. ? ? ? ? 2 2 2 23 1 x x xx fxe x ? ? ? ，得? ?f x在?,0?上单增，在?0,?上单减，有 12 01xx? ? ? 22 22 1212122 22 22 11 00 11 xx xx xxxxf xf xfxee xx ? ? ? ? ? ? 2 2 222 11 0 01 x x exx? ?，构造函数可证 3. ? ?0ln1lnf xxxa? ?，得? 1122 l n1l n1xxxx?， ? ? ? ? 12 12 12
11、12 11 1 ln1ln1ln1ln1 xxxx xxxx ? ? ? ， 由 対 数 平 均 不 等 式 得 ? 12 111xx?，? 12 111xx?，展开即得证 4. ? ?10 x fxaea?，lnxa? ?为? ?f x的极小值点， 1212 12 0ln2ln 22 xxxx faxxa ? ? ? ? ? ? ，极小值点右偏问题 5. ? ? 2 222 20 xmx fxxmx xx ? ?， ? ?f x 有极大值 点 ? ? 2 2 2fx x ? ?， ? ? 3 4 0fx x ?， 则 极 大 值 点 左 偏 又 1 0, 2 ? ? ? ? ? ， ? 12
12、 12122 1, 2 xx xxxxx? ? ? ? ? ，故? 12 0fxx? 6.记 a em?， b en?，则 ? ? ? 22 f af bmn? ?， ? ? ? lnln ba f bf aeenm babanm ? ? ? ， . 所证即为对数平均不等式 7. ? 1 1, x A x me， ? 2 2, x B x me关于 y 轴的对称点? ? 1 1, x x me?，? ? 2 2, x x me?均在直线 1yx?上，则 1 2 1 2 1 1 x x mex mex ? ? ? ? ? ? ， 12 12 11 xx xx m ee ? ?，构造函数? ? ?
13、1 x g xx e?可证 8. ? ? ? 3 2 x xeax fx x ? ?， 则 ? ? x h xeax?在?0,2上 有 两 个 不同 的 零 点 2 2 e ae? ? ? ?0lnlnh xxxa? ?， 选取函数lnyxx?来证 1 2 1x x ? 或 者：? 121 2 2lnlnxxax x?， 要证 1 2 1x x ?， 可证? 12 2lnxxa?， 选取函数? ?h x 来证 9.易得 1 0a e ? 2 1212 1111 22 lnln aea e xxxx ?，可加强为 12 112 xxe ?，用 换元法或比值代换法来证 10.（1）? ?0ln0f
14、 xxax?，选取函数lnyxax?来做； （2）法 1：由（1）知 12 1 0xx a ?；? ? ln 0 x f xa x ?，可得 1 0a e ?，且 12 0xex?，则 11 2 1 1 22 xxe aeae x xe aa ? ? ，成立； 法 2：? ?f x的极值点为 lna a ?，则 12 lna xx a ? ? ? 1 121212 2 1ln lnlnln1ln1 xa aexxaa xxaxx xaa ? ? ?， 这 由 1 1 x a ?， 2 lna x a ? ?知成立； 法 3： 12 12 22 ln ln xx aeexex xx ?，这由 1
15、2 0xex?显然 11. （1） 略；（2）? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 ln ,1 ,1 ,2,2 x xxx f xx m x x g xxx e x xx x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 当0n ?时， 2 x ?， 有 120 2xxx?，可用对称化构造的方法来证 12.仿第 5 题，极大值点左偏，则? 0 0 2 mn fxf ? ? ? ? . 13.做差函数? ? ? ? 2 1 ln 2 h xf xg xxaxbx?，则同上 14.（1）略； （2）? ? 2 211 2 0 2 112 1 21 2 ln 1 AB x xxxx kfx x
16、xxx x ? ? ? ? ? ? ? ? ，比值代换后易知 该式不成立若对照一般化的极值点偏移问题图示，则非常直观 15.若? ? x f xe?的图象在点?0,1的两侧不发生偏移， 则 12 ,l l的交点 M 应在 y 轴上， 即 0 0x ?，故此题提供了表达偏移的另一种方式 16. ? 21 12 1 22112 lnln1 121 lnln axxxx ka x xxxxx ? ? ? ? ，又 1 2 1x x ?，由对数平 均不等式得矛盾 17. 法1 ：? 12 0120 120 lnln1 42 2 xxm kfxxxx xxx ? ? ? ? ? ，0m ? 若 120
17、2xxx?，则 12 120 lnln1 0 xx xxx ? ? ? ?， 12 12012 2lnln1xx xxxxx ? ? ? ， ? ? 12 1 12 212 2 ln xxx xx xxx ? ? ? ，矛盾 法 2：作差比较? 0 kfx?与 12 2 xx f ? ? ? ? 的大小，用? ?fx?的单调性来证， 18.其实是拉格朗日中值定理的证明 21 21 xx ee ka xx ? ? ? ，? ? 1 1 x fxea?， 12 12 2 2 xx xx fea ? ? ? ? ? ，? 2 2 x fxea?，可证 12 21 122 21 xxxx xx ee
18、eee xx ? ? ? ? ，由连续函数的介值定理得证 19. ? ?1 ax fxae?，? ? 2 0 ax fxa e?，得? ?fx?在? 12 ,x x上单调递增由上题知 ? ?fxk ?在? ? 12 ,x x内有解， 令 12 12 11 axax ax ee ae xx ? ? ? ? ， 得 ? ? 12 1 12 2 1 ln, axax x x ee x aa xx ? ? ? ， 则? ? 12 020 12 1 ln axax ee xx aa xx fxk? ? ? ? 20. ? ?0ln10f xaxxx? ?，记? ?ln1g xaxxx?，? ?1 lng
19、 xax? ?， . 得 1a xe ? ?为? ?g x的极大值点；? ? 2 1 0gx x ?，则极大值点左偏，有 1 12 2 a xxe ? ? 后记：极值点偏移问题系列短文写到这里就结束了笔者最早是在微信公众号“数海拾 贝”里看到极值点偏移问题的，并由此入门，感谢兰琦大神 入门后，在教学过程中曾多次与同事谭全圣老师（师傅） 、刘红昌老师（挚友）进行讨 论，是他们及这些讨论促使笔者深入钻研，仔细研究，系统整理，才会有这些短文与大家会 面，感谢谭老师，刘老师 文章写成后，承蒙东北师范大学附属中学刘彦永老师的厚爱，曾在微信公众号“高中数 学解题研究会”上发布，发布后得到了群友和来自四面八方的朋友的热情鼓励与肯定
