1、. 一、极值点偏移的判定定理一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数)(xfy ?， 在区间),(ba上只有一个极大（小） 值点 0 x， 方程0)(?xf的解分别为 21,x x， 且bxxa? 21 ， （1）若)2()( 201 xxfxf?，则 0 21 )( 2 x xx ? ? ，即函数)(xfy ?在区间),( 21 xx上极（小）大值点 0 x右（左）偏； （2）若)2()( 201 xxfxf?，则 0 21 )( 2 x xx ? ? ，即函数)(xfy ?在区间),( 21 xx上极（小）大值点 0 x右（左）偏. 证明： （1）因为对于可导函数)(xfy ?，在区间),(
2、ba上只有一个极大（小）值点 0 x，则函数)(xf的 单调递增（减）区间为),( 0 xa，单调递减（增）区间为),( 0 bx，由于bxxa? 21 ，有 01 xx ?，且 020 2xxx?，又)2()( 201 xxfxf?，故 201 2)(xxx?，所以 0 21 )( 2 x xx ? ? ，即函数极（小）大值 点 0 x右（左）偏； （2）证明略. 左左快右慢（极值点左偏快右慢（极值点左偏 2 21 xx m ? ?） 左慢右快（极值点右偏左慢右快（极值点右偏 2 21 xx m ? ?） . 左快右慢（极值点左偏左快右慢（极值点左偏 2 21 xx m ? ?） 左慢右快（
3、极值点右偏左慢右快（极值点右偏 2 21 xx m ? ?） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数)(xf的极值点 0 x； （2）构造一元差函数)()()( 00 xxfxxfxF?； （3）确定函数)(xF的单调性； （4）结合0)0(?F，判断)(xF的符号，从而确定)( 0 xxf?、)( 0 xxf?的大小关系. 口诀：极值口诀：极值偏离对称轴偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型 答题模板：若已知函数)(xf满足)()( 21 xf
4、xf?， 0 x为函数)(xf的极值点，求证： 021 2xxx?. （1）讨论函数)(xf的单调性并求出)(xf的极值点 0 x； 假设此处)(xf在),( 0 x?上单调递减，在),( 0 ?x上单调递增.来源:Z,xx,k.Com （2）构造)()()( 00 xxfxxfxF?； 注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()( 0 xxfxfxF?的形式.来源:163文库 （3） 通过求导)( xF讨论)(xF的单调性， 判断出)(xF在某段区间上的正负， 并得出)( 0 xxf?与)( 0 xxf? 的大小关系； 假设此处)(xF在), 0( ?上单调递增，那么我们便可得出0)()(
5、)()( 000 ?xfxfxFxF，从而得 到： 0 xx ?时，)()( 00 xxfxxf?. （4）不妨设 201 xxx?，通过)(xf的单调性，)()( 21 xfxf?，)( 0 xxf?与)( 0 xxf?的大小关系得出 结论； 接 上 述 情 况 ， 由 于 0 xx ?时 ，)()( 00 xxfxxf?且 201 xxx?，)()( 21 xfxf?， 故 )2()()()()( 2002002021 xxfxxxfxxxfxfxf?，又因为 01 xx ?， 020 2xxx?且 )(xf在),( 0 x?上单调递减，从而得到 201 2xxx?，从而 021 2xxx
6、?得证. . （5）若要证明0) 2 ( 21 ? ? xx f，还需进一步讨论 2 21 xx ? 与 0 x的大小，得出 2 21 xx ? 所在的单调区间，从 而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证. 此处只需继续证明：因为 021 2xxx?，故 0 21 2 x xx ? ? ，由于)(xf在),( 0 x?上单调递减，故 0) 2 ( 21 ? ? xx f. 【说明】 （1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心； （2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(xf的单调性、极值点，证明)( 0 xxf?与 )( 0 xxf?（或)(xf与
7、)2( 0 xxf?）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如 021 2xxx?或 0) 2 ( 21 ? ? xx f的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.来源:Z。xx。k.Com 三、对三、对点详析，利器显锋芒点详析，利器显锋芒 已知函数)()(Rxxexf x ? ? . (1)求函数)(xf的单调区间和极值； (2)若 21 xx ?，且)()( 21 xfxf?，证明：2 21 ? xx. 1 2 ?x，12 2 ? x，)(xf在) 1 ,(?上单调递增， 21 2xx?，2 21 ? xx.学科 当0a ?时, ? ?f x有极小值?lnlnfaa
8、aa? ? ?;(2)详见 解析. 学科（2）见解析. 学科&网 （1）当0a ?时， ? ?0fx?函数? ?f x在?0,?上单调递增，不可能有两个零点 （2）当0a ?时， ? ? 1 0, 2 fxx a ? x 1 0, 2a ? ? ? ? 1 2a 1 , 2a ? ? ? ? ? ? ?fx ? ? 0 - ? ?f x 极大值 ? ?f x的极大值为 111 ln 222 f aa ? ? ? ? ? ，由 11 ln0 22a ? ? ? ? ? 得 1 0 2 a e ?； 因为 ? 22 ln0 aaaa f eeaeaae ? ? ? ?， 所以? ?f x在 1 , 2 a e a ? ? ? ? ? 必存在一个零点； 显然当x?时， ? ?0f x ?， 所以? ?f x在 1 , 2a ? ? ? ? ? 上必存在一个零点； . 来源:163文库 来源:163文库
