1、2.32.3 热点小专题二、导数的应用热点小专题二、导数的应用 第三部分第三部分 2021 内 容 索 引 01 02 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 关键能力关键能力 学案突破学案突破 03 核心素养微专题核心素养微专题( (二二) ) 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 1.导数的几何意义导数的几何意义 函数函数y=f(x)在点在点x0处的导数是曲线处的导数是曲线y=f(x)在在P(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率 f(x0). 2.常用的导数及求导法则常用的导数及求导法则 (1)(xm)=m- 1 ,(sin x)=cos x,(cos x)=-sin x,(ex)=ex
2、,(ln x)=1 ,(a x)=axln a,(logax)= 1 ln. (2)f(x)+g(x)=f(x)+g(x);f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x); () () = ()()-()() 2() g(x)0. 3.函数的极值、最值函数的极值、最值 (1)若在若在x0附近左侧附近左侧f(x)0,右侧右侧f(x)0,则则f(x0)为函数为函数f(x)的极大值的极大值;若在若在x0 附近左侧附近左侧f(x)0,则则f(x0)为函数为函数f(x)的极小值的极小值. (2)设函数设函数y=f(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,则则f(x)在在a,b上必有
3、最大值上必有最大值 和最小值且在极值点或端点处取得和最小值且在极值点或端点处取得. 关键能力关键能力 学案突破学案突破 热点一热点一 利用导数求曲线的切线利用导数求曲线的切线 【例1】(1)(2020福建福州模拟,理7)已知函数f(x)为偶函数,当x0时,-x0,f(-x)=x2-ln x,又函数f(x)为偶函数,所以f(x)=x2-ln x, f(1)=1,所以f(x)=2x- ,f(1)=1,故切线方程为y-1=x-1,即y=x.故选A. 1 (2)(2020 全国,理 10)若直线 l 与曲线 y= 和圆 x2+y2=1 5都相切,则 l 的方程 为( ) A.y=2x+1 B.y=2x
4、+1 2 C.y=1 2x+1 D.y=1 2x+ 1 2 答案 D 解析 由 y= 得 y= 1 2 ,设直线 l 与曲线 y= 的切点为(x0, 0),则直线 l 的 方程为 y- 0= 1 2 0(x-x0), 即 1 2 0 x-y+ 1 2 0=0, 由直线 l 与圆 x2+y2=1 5相切,得圆心(0,0)到直线 l 的距离等于圆的半径 r= 5 5 , 即 |1 2 0| 1 40+1 = 5 5 ,解得 x0=1(负值舍去),所以直线 l 的方程为 y=1 2x+ 1 2. 解题心得求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0,y0)求切线方程,利用k=
5、f(x0),再由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为k求切线方程,设切点P(x0,y0),通过方程k=f(x0),解得 x0,再由点斜式写出方程. (3)已知切线上非切点的一点(a,b)求切线方程,设切点P(x0,y0),则 k=f(x0)=0 - 0-,y0=f(x0)解得 x0,再由点斜式写出方程. 【对点训练1】(1)(2020全国,理6)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1)处 的切线方程为( ) A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 (2)(2020山东德州二模,14)已知f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=ex3+2e-x,则
6、曲 线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程是 . 答案 (1)B (2)y=ex-2e 解析 (1)对函数f(x)求导可得f(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点 (1,f(1)处的切线的斜率为k=f(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(- 1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1. (2)因为奇函数在关于原点对称的两点处的切线平行,且f(x)=3ex2-2e- x(x0),故f(1)=f(-1)=e,f(1)=-f(-1)=-e,故切线为y+e=e(x-1),即y=ex-2e. 热点二热点二 已知曲线的切线方程求参数的值已知曲线的切线方程求参数的值 【例2】(
7、2020天津河北区线上测试,17)已知函数f(x)=axln x-bx(a,bR) 在点(e,f(e)处的切线方程为y=3x-e,则a= ,b= . 答案 1 -1 解析 将点(e,f(e)代入y=3x-e得f(e)=3e-e=2e, f(x)=axln x-bx,则f(x)=aln x+a-b, 由题意得 (e) = (-)e = 2e, (e) = 2- = 3, 解得 = 1, = -1. 解题心得解决已知曲线的切线方程求参数问题的一般思路是:利用方程的 思想求解,即设出切点坐标,求出函数在切点的导数得切线的斜率,由斜率 相等得一方程,由切点坐标代入函数解析式,又得一方程,联立求解即可.
8、 【对点训练2】若函数f(x)=x-aln x在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,则实 数a= . 答案 -1 解析 f(x)=1- ,f(1)=1- =1-a, 由题意得 1-a=2,解得 a=-1. 热点三热点三 求参数的取值范围求参数的取值范围(多维探究多维探究) 类型一 已知函数单调性求参数范围 【例3】(1)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)上单调递增,则k的取值范围是 ( ) A.(-,-2 B.(-,-1 C.2,+) D.1,+) (2)若函数f(x)=x2-4ex-ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围 为 . 答案 (1)D (2)(-,-2-2l
9、n 2) 解析 (1)由 f(x)=k-1 ,又 f(x)在(1,+)上单调递增,则 f(x)0 在 x(1,+)上 恒成立, 即 k 1 在 x(1,+)上恒成立.又当 x(1,+)时,0 1 0,即a2x-4ex 有解.令 g(x)=2x-4ex,则 g(x)=2-4ex.令 g(x)=0,解得 x=-ln 2.当 x(-,-ln 2)时, 函数 g(x)=2x-4ex单调递增;当 x(-ln 2,+)时,函数 g(x)=2x-4ex单调递减.所 以当 x=-ln 2 时,g(x)=2x-4ex取得最大值-2-2ln 2,所以 a0或f(x)0恒成立; 当 00, 所以h(t)在(0,1上
10、单调递增. 所以 h(t)max=h(1)=-1 3. 所以 a-1 3. 当-1t0, 所以g(t)在-1,0)上单调递增. 所以 g(t)min=g(-1)=1 3, 所以 a 1 3.综上,- 1 3 a 1 3. (2)设f(x)=ex(ln x-a),若函数 f(x)在区间 1 e,e 上单调递减,则实数 a 的取值范围 为 . 答案 e-1,+) 解析 由题意可得 f(x)=exln x+1 -a 0在 1 e,e 上恒成立.因为 e x0,所以只 需 ln x+1 -a0, 即 aln x+1 在 1 e,e 上恒成立.令 g(x)=ln x+ 1 . 因为 g(x)=1 1 2
11、 = -1 2 .由 g(x)=0,得 x=1.则 g(x)在 1 e,1 内单调递减,在(1,e) 内单调递增, g 1 e =ln1 e+e=e-1,g(e)=1+ 1 e,因为 e-11+ 1 e, 所以 g(x)max=g 1 e =e-1. 故 a 的取值范围为e-1,+). 类型二 已知极值、最值或恒成立求参数范围 【例 4】 (1)(2020 山东青岛 5 月模拟,8)已知函数 f(x)=ln 2 ,若 f(x)e B.me 2 C.m1 D.m e 答案 B 解析 若 f(x)m- 1 2在(0,+)上恒成立,即 f(x)+ 1 2m 在(0,+)上恒成立, 令 g(x)=f(
12、x)+ 1 2 = ln+1 2 ,故只需 g(x)maxm 即可, g(x)= 1 2-(ln+1) 2 4 = -2ln-1 3 ,令 g(x)=0,得 x=e- 1 2, 当 0x0;当 xe- 1 2时,g(x)e 2.故选 B. (2)函数 f(x)=ln x+1 2x 2-ax(x0)在区间 1 2,3 上有且仅有一个极值点,则实数 a 的取值范围是( ) A. 5 2,3 B. 5 2 , 10 3 C. 5 2 , 10 3 D. 2,10 3 答案 B 解析 f(x)=ln x+1 2x 2-ax(x0), f(x)=1 +x-a(x0). 函数 f(x)=ln x+1 2x
13、 2-ax(x0)在区间 1 2,3 上有且仅有一个极值点, y=f(x)在区间 1 2,3 上只有一个变号零点.令 f(x)= 1 +x-a=0,得 a= 1 +x. 令 g(x)=1 +x,x 1 2,3 ,则 g(x)在区间 1 2,1 上单调递减,在区间(1,3)上单调递 增, g(x)min=g(1)=2,又 g 1 2 =5 2,g(3)= 10 3 . 结合函数 g(x)=1 +x,x 1 2,3 的图象可得,当 5 2 a10 3 时,y=f(x)在区间 1 2,3 上只有一个变号零点.实数 a 的取值范围为 5 2 , 10 3 .故选 B. 解题心得在有关函数不等式恒成立的
14、情况下求参数的范围问题,通过对问 题的转化,一般都变成通过研究函数的极值、最值得到参数的范围;能分离 出参数更是直接求最值问题.已知函数的极值点求参数的问题,最终还是通 过求最值得到解决. 【对点训练 4】设函数 f(x)= 3sin .若存在 f(x)的极值点 x0满足 02+f(x0)2m2,则 m 的取值范围是( ) A.(-,-6)(6,+) B.(-,-4)(4,+) C.(-,-2)(2,+) D.(-,-1)(1,+) 答案 C 解析 x0是 f(x)的极值点,f(x0)=0,即 3 cos 0 =0, 得 x0=k+ 2,kZ,即 x0=mk+ 1 2m,kZ. 0 2+f(x
15、0)2m2 可转化为 + 1 2 2 + 3 sin mk+1 2m 2m2,kZ, 即 + 1 2 2 m2+3 + 1 2 2 成立即可. 又 + 1 2 2 的最小值为1 4, 1- 3 2 1 4,解得 m2.故选 C. 类型三 已知函数零点情况求参数值或范围 【例5】已知函数f(x)=x2+|x-a|,g(x)=(2a-1)x+aln x,若函数y=f(x)与函数 y=g(x)的图象恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围为 . 答案 (1,+) 解析 函数g(x)的定义域为(0,+),所以只研究这两个函数在x(0,+)内 的图象, 当a0时,f(x)单调递增,又g(x)单调递减,两
16、者的图象最多只有一个交点,不 符合题意. 当a0时,设(x)=f(x)-g(x), 即 (x)= 2-2-ln + ,0 , 2+ (2-2)-ln-, , 因为 (x)= 2(-)- 0,0 0, , 所以(x)在(0,a)上单调递减,(a,+)上单调递增, 所以(x)min=-a2-aln a+a, 因为x0,x+时,(x)+, 所以(x)有两个零点当且仅当(x)min=-a2-aln a+a1,即a的取值 范围为(1,+). 解题心得1.利用导数研究函数零点问题的思路 (1)讨论函数f(x)=g(x)-h(x)的零点个数,转化为讨论函数y=g(x)与y=h(x)的交 点个数,通过函数的单
17、调性、极值与最值,画出函数图象的变化趋势,数形 结合求解. (2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,再利用 导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在 该区间上零点的个数. 2.已知函数零点情况求参数值或范围问题,一般思路是通过求函数的导数 及对参数分类讨论确定函数的极值,参照函数图象的变化趋势,看参数在什 么范围满足零点情况的要求.有时根据题意转化为两个函数图象交点个数, 因此解决此类问题要注重数形结合. 【对点训练 5】已知函数 f(x)= 2 2-2eln 与 g(x)=2eln x+mx 的图象有 4 个不同 的交点,则实数 m 的取值范围
18、是( ) A.(-4,0) B. 1 2,2 C. 0,1 2 D.(0,2) 答案 C 解析 函数 f(x)= 2 2-2eln 与 g(x)=2eln x+mx 的图象有 4 个不同的交点, 即为 mx= 2 2-2eln -2eln x,即 m= 2-2eln 2eln (x0 且 xe)有 4 个不相等的实 根. 设 h(x)= 2-2eln 2eln ,则 h(x)= 2e-2eln (2-2eln )2 2e-2eln 2 . 由h(x)=0,可得x=2eln x或3x=2eln x或x=e(舍去). 由 y=ln 的导数为 y=1-ln 2 ,当 xe 时,函数单调递减;当 0x
19、e 时,函数单调递 增, 可得函数 y=ln 在 x=e 处取得极大值,且为最大值1 e,则 x=2eln x 有两 解,3x=2eln x 无解. 当 x=2eln x,可得 m=0,即为 h(x)的最小值,由 x+,ln 0, 可得 2-2eln 2eln = 1 2-2e ln 2eln 1 2,可得当 0m0 且 xe)有 4 个不等实根,故选 C. 热点四热点四 利用导数求实际问题中的最值利用导数求实际问题中的最值 【例6】(2020江苏,17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截 面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO为铅垂线(O在 AB上).经测量,左
20、侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO的距 离a(米)之间满足关系式h1= a2;右侧曲线BO上任一 点F到MN的距离h2(米)与F到OO的距离b(米)之间 满足关系式h2=- b3+6b.已知点B到OO的距离 为40米. 1 40 1 800 (1)求桥AB的长度; (2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在 AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价 k(万 元)(k0),问OE为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低? 3 2 解 (1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足
21、. 由条件知,当OB=40时, BB1=- 1 800 403+640=160,则 AA1=160. 由 1 40OA 2=160,得 OA=80.所以 AB=OA+OB=80+40=120(米). (2)以O为原点,OO为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示). 设 F(x,y2),x(0,40),则 y2=- 1 800 x 3+6x, EF=160-y2=160+ 1 800 x 3-6x. 因为 CE=80,所以 OC=80-x. 设 D(x-80,y1),则 y1= 1 40(80-x) 2, 所以 CD=160-y1=160- 1 40(80-x) 2=- 1 40 x 2+4x
22、. 记桥墩 CD和 EF的总造价为 f(x), 则 f(x)=k 160 + 1 800 3-6 + 3 2 - 1 40 2+ 4 =k( 1 800 x 3- 3 80 x 2+160)(0x0,当x(6,8)时,g(x)0, 所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减,所以x=6时,利润最大, 故选B. (2)(2020四川三台中学期中,理12)如图所示,四边形ABCD是边长为30 cm的 正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线 折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方形的 长方体包装盒,若要包装盒容积最大,则
23、EF的长为 cm. 答案 10 解析 设 EF=x cm,则 AE=BF=30- 2 cm,包装盒的高为 GE= 2 2 x cm, 因为 AE=AH=30- 2 cm,A= 2, 所以包装盒的底面边长为 HE= 2 2 (30-x)cm,所以包装盒的体积为 V(x)= 2 2 (30-) 2 2 2 x= 2 4 (x3-60 x2+900 x),0x0,函数V(x)单调递增;当x(10,30)时,V(x)0,函数V(x) 单调递减,所以 V(x)max=V(10)= 2 4 (1 000-6 000+9 000)=1 000 2(cm3), 即当 EF=10 cm 时,包装盒容积取得最大值
24、 1 000 2 cm3. 核心素养微专题核心素养微专题( (二二) ) 例析“数学建模”在导数研究函数中的应用 【例1】已知f(x)=x+1,g(x)=ln x,若f(x1)=g(x2),则x2-x1的最小值为 ( ) A.1 B.2+ln 2 C.2-ln 2 D.2 答案 D 解析 设f(x1)=g(x2)=t,所以x1=t-1,x2=et,所以x2-x1=et-t+1, 令h(t)=et-t+1,则h(t)=et-1, 所以h(t)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增, 所以h(t)min=h(0)=2. 核心素养分析要求x2-x1的最小值,需要建立关于x2-x1的函数模型,
25、即用某 一个量表示出x2-x1,依据已知条件,可设f(x1)=g(x2)=t,从而用t表示出x2和 x1,从而得到关于x2-x1的函数模型,研究函数模型得出最值. 【例 2】 (2020 安徽马鞍山二模,12)已知函数 f(x)的定义域为 - 2 , 2 ,f(x)是 f(x) 的导函数,f(x)cos x+f(x)sin x0,则关于 x 的不等式 f(x) 2 4 cos x 的解集 为( ) A. - 2 , 4 B. - 4 , 4 C. 4 , 2 D. - 2 ,- 4 4 , 2 答案 C 解析 函数 f(x)的定义域为(- 2 , 2),不等式 f(x) 2 4 cos x,即
26、 () cos 4 cos 4 , 令 g(x)= () cos,x - 2 , 2 . f(x)cos x+f(x)sin x0, g(x)=()cos+()sin cos2 0,函数 g(x)在 x(- 2 , 2)上单调递减. () cos ( 4 ) cos 4 ,g(x)g 4 ,解得 4x 2. 关于 x 的不等式 f(x) 2 f 4 cos x 的解集为 4 , 2 . 核心素养分析要求不等式f(x) 2 4 cos x的解集,因题目条件中并没有f(x) 的解析式,所以必须要构建一个函数模型,通过该函数模型的单调性解不等式 构建函数模型的依据是条件 f(x)cos x+f(x)sin x0,由“直观想象”得 g(x)=f(x)cos x,但 g(x)=f(x)cos x-f(x)sin x 不合题意,能改变符号的是相除求导, 所以构建的函数模型是 g(x)= () cos.
