1、5.3.15.3.1 空间中的平行、垂直与空间角空间中的平行、垂直与空间角 第三部分第三部分 2021 内 容 索 引 01 02 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 关键能力关键能力 学案突破学案突破 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 1.证明线线平行和线线垂直的常用方法 (1)证明线线平行:利用平行公理;利用平行四边形进行平行转换;利 用三角形的中位线定理;利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行 转换. (2)证明线线垂直:利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质;利用 勾股定理;利用线面垂直的性质定理. 2.证明线面平行和线面垂直的常用方法 (1)证明线面平行:利用线面平行的判定定理;
2、利用面面平行的性质定 理. (2)证明线面垂直:利用线面垂直的判定定理;利用面面垂直的性质定 理. 3.证明面面平行和面面垂直的常用方法是判定定理. 4.利用空间向量证明平行与垂直 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面,的法向量分别为 =(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),则: (1)线面平行:laa =0a1a2+b1b2+c1c2=0. (2)线面垂直:laa=ka1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(k0). (3)面面平行:v=va2=a3,b2=b3,c2=c3(0). (4)面面垂直:v v=0a2a3+b2b3+c2c3=0. 5.利用空间向量求空间角
3、 (1)线线夹角的计算:设直线l,m的方向向量分别为a,b,且它们的夹角为 0 2 ,则 cos = | | |. (2)线面夹角的计算:设平面的法向量为n,直线AB与平面所成的角为,如 下图, 则 sin =|cos|=| | | |. (3)面面夹角的计算:设平面,的法向量分别为n1,n2,与的夹角为,如下 图, 则|cos |=|cos|=| 1 2| |1|2|. (4)易错点提醒 求线面角时,得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦,容易误 以为是线面角的余弦. 求二面角时,两法向量的夹角有可能是二面角的补角,要注意从图中分析. 关键能力关键能力 学案突破学案突破 热点一热点一
4、空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系的证明 1.几何法证明空间平行、垂直关系几何法证明空间平行、垂直关系 【例1】(2020江苏南通高三模拟,16)在多面体ABCDEF中,BCEF, BF= ,ABC是边长为2的等边三角形,四边形ACDF是菱形,FAC=60, M,N分别是AB,DF的中点. (1)求证:MN平面AEF; (2)求证:平面ABC平面ACDF. 6 证明 (1)取AC的中点O,连接OM,ON.因为M,N分别 是AB,DF的中点,所以在菱形ACDF中,ONAF.在 ABC中,OMBC.又因为BCEF,所以 OMEF,OMON=O,所以平面OMN平面 AEF.MN平面OMN,所
5、以MN平面AEF. (2)连接 OF,OB.因为ABC 是边长为 2 的等边三角形,所以 BOAC,BO= 3. 因为四边形 ACDF 是菱形,所以 AF=2.因为FAC=60,所以ACF 为等边 三角形,所以 OFAC,OF= 3.因为 BF= 6,所以 BO2+OF2=BF2.所以 BO OF.因为 FOAC=O,所以 BO平面 ACDF.又因为 BO平面 ABC,所以平面 ABC平面 ACDF. 解题心得用几何法证明空间中的平行与垂直关系,关键是灵活运用各种平 行(垂直)关系的转化: 【对点训练1】(2020吉林长春三模,19)在四棱锥P-ABCD中,ABCD, ABBC,AB=BC=1
6、,PA=CD=2,PA平面ABCD,E在棱PB上. (1)求证:ACPD; (2)若 VP-ACE=2 9,求证:PD平面 AEC. 证明 (1)过点A作AFDC于点F. ABCD,ABBC,AB=BC=1. 四边形ABCF为正方形,则CF=DF=AF=1,DAC=90,得ACDA.又 PA底面ABCD,AC平面ABCD, ACPA.又PA,AD平面PAD,PAAD=A, AC平面PAD. 又PD平面PAD,ACPD. (2)设点 E 到平面 ABCD 的距离为 h,则 VP-ACE=VP-ABC-VE-ABC=1 3 1 2 11(2-h)=2 9,得 h= 2 3. 又PA=2,则PBEB
7、=PAh=31.连接DB交AC于点O,连接OE, AOBCOD,DOOB=21,得DBOB=31, PBEB=DBOB,则PDOE.又OE平面AEC,PD平面AEC, PD平面AEC. 2.向量法证明空间平行、垂直关系向量法证明空间平行、垂直关系 【例2】如图,在直三棱柱ADE-BCF中,平面ABFE和平面ABCD都是正方形 且互相垂直,M为AB的中点,O为DF的中点. 证明:(1)OM平面BCF; (2)平面MDF平面EFCD. 证明 (1)由题意,得AB,AD,AE两两垂直,以A为原点建立如图所示的空间直 角坐标系A-xyz. 设正方形边长为1, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C
8、(1,1,0),D(0,1,0),F(1,0,1), M 1 2,0,0 ,O 1 2 , 1 2 , 1 2 . = 0,-1 2,- 1 2 , =(-1,0,0), =0, . 三棱柱 ADE-BCF是直三棱柱,AB平面 BCF, 是平面 BCF的一个 法向量,且 OM平面 BCF, OM平面 BCF. (2)设平面 MDF 与平面 EFCD 的法向量分别为 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2). =(1,-1,1), = 1 2 ,-1,0 , =(1,0,0), =(0,-1,1), 由 1 = 0, 1 = 0, 得 1-1 + 1= 0, 1 2 1-1= 0.
9、 令 x1=1,则平面 MDF 的一个法向量 n1= 1, 1 2 ,- 1 2 . 同理可得平面EFCD的一个法向量n2=(0,1,1). n1 n2=0, 平面MDF平面EFCD. 解题心得向量法证明空间平行与垂直关系时,是以计算为手段,寻求直线上 的线段对应的向量和平面的基向量、法向量的关系,关键是建立空间直角 坐标系(或找空间一组基底)及寻找平面的法向量. 【对点训练2】(2019福建厦门二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面 ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1,E为棱PC的中点.证明: (1)BEDC; (2)BE平面PAD; (3)平面PCD平面PA
10、D. 证明 依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得 B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E为棱PC的中点,得E(1,1,1). (1)向量 =(0,1,1), =(2,0,0),故 =0,所以 BEDC. (2)因为PA平面ABCD,AB平面ABCD,所以ABPA.又因为 ABAD,PAAD=A,所以AB平面PAD. 所以向量 =(1,0,0)为平面 PAD 的一个法向量, 而 =(0,1,1) (1,0,0)=0,所以 . 又BE平面PAD,所以BE平面PAD. (3)由(2)知平面 PAD 的一个法向量 =(1,0,0),向量 =(0,2
11、,-2), =(2,0,0), 设平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z), 则 = 0, = 0, 即 2-2 = 0, 2 = 0, 不妨令 y=1,可得 n=(0,1,1)为平面 PCD 的一个法向量.则 n =(0,1,1) (1,0,0)=0,所以 n . 所以平面 PAD平面 PCD. 热点二热点二 空间位置关系的证明与求线面角空间位置关系的证明与求线面角 【例3】(2020北京海淀二模,17)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯 形,BCAD,ADC= ,BC=CD= AD=1,E为线段AD的中点,PE底面 ABCD,F是棱PC的中点,平面BEF与棱PD相交于点G.
12、(1)求证:BEFG; (2)若PC与AB所成的角为 ,求直线PB与 平面BEF所成角的正弦值. 1 2 2 4 (1)证明 因为E为AD中点,且BC= AD,所以DE=BC.又因为ADBC,所以 DEBC.所以四边形BCDE为平行四边形,所以BECD.因为BE平面 PDC,CD平面PDC,所以BE平面PDC.因为BE平面BEGF,平面BEGF 平面PDC=FG,所以BEFG. 1 2 (2)解 由(1)可得 BECD,因为ADC= 2,所以 AEB= 2,且 PE平面 ABCD,所以以 E为原 点,EA为 x轴,EB为 y轴,EP为 z轴建立空间直 角坐标系(如图), 设 P(0,0,p),
13、可得 A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,1,0), =(-1,1,-p), =(-1,1,0).因为 PC 与 AB所成角为 4,所以|cos|= | | | = 2 2 (p0),解得 p= 2.所以 P(0,0, 2 ),F -1 2 , 1 2 , 2 2 ,E(0,0,0),PB =(0,1,- 2 ),EB =(0,1,0),EF = - 1 2, 1 2, 2 2 . 设平面 BEF的法向量为 n=(x,y,z), = 0, = 0,可得 = 0, - 1 2 + 1 2 + 2 2 = 0.不 妨令 x= 2,可得 n=( 2,0,1)为平面 BEF的一个法向量.设直
14、线 PB与平面 BEF所成的角为 ,则 sin =|cos|= | | | | | = 2 3 . 解题心得利用向量法求直线与平面所成角时,易混淆直线与平面所成角和 直线的方向向量与平面的法向量夹角的关系,一定要注意线面角与直线 的方向向量和平面的法向量的夹角的关系为sin =|cos |. 【对点训练3】(2020山东,20)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD 底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明:l平面PDC; (2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. (1)证明 因为PD底面ABCD,所以PDAD. 又因为底面
15、ABCD为正方形,所以ADDC.所以AD平面PDC. 因为ADBC,AD不在平面PBC中,所以AD平面PBC,又因为AD平面 PAD,平面PAD平面PBC=l,所以lAD.所以l平面PDC. (2)解 以 D 为坐标原点,分别以 , , 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz. 由 PD=AD=1,得 D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1), 则 =(0,1,0), =(1,1,-1).由(1)可设 Q(a,0,1),则 =(a,0,1). 设 n=(x,y,z)是平面 QCD 的法向量,则 = 0, = 0, 即
16、+ = 0, = 0. 可取 n=(-1,0,a).所以 cos= | | = -1-a 3 1+a2 . 设 PB 与平面 QCD 所成角为 ,则 sin = 3 3 |a+1| 1+a2 = 3 3 1 + 2a a2+1. 因为 3 3 1 + 2a a2+1 6 3 ,当且仅当a=1时,等号成立,所以PB与平面QCD所成 角的正弦值的最大值为 6 3 . 热点三热点三 空间位置关系的证明与求二面角空间位置关系的证明与求二面角 【例4】(2020全国,理18)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE 为底面直径,AE=AD.ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点, PO= DO
17、. (1)证明:PA平面PBC; (2)求二面角B-PC-E的余弦值. 6 6 (1)证明 设DO=a,由题设可得 PO= 6 6 a,AO= 3 3 a,AB=a,PA=PB=PC= 2 2 a.因此 PA2+PB2=AB2, 从而PAPB.又PA2+PC2=AC2,故PAPC. 所以PA平面PBC. (2)解 以 O为坐标原点, 的方向为 y轴正方向,| |为单位长,建立如图所 示的空间直角坐标系 O - xyz. 由题设可得 E(0,1,0),A(0,-1,0),C - 3 2 , 1 2 ,0 ,P 0,0, 2 2 . 所以 = - 3 2 ,- 1 2 ,0 , = 0,-1, 2
18、 2 . 设 m=(x,y,z)是平面 PCE的法向量, 则 = 0, = 0, 即 - + 2 2 = 0, - 3 2 - 1 2 = 0. 可取 m= - 3 3 ,1, 2 .由(1)知 = 0,1, 2 2 是平面 PCB 的一个法向量,记 n= ,则 cos= | | = 2 5 5 .所以二面角 B -PC-E 的余弦值为2 5 5 . 解题心得利用空间向量求二面角的解题模型 【对点训练4】(2020山东泰安三模,19)在四棱锥P-ABCD中,PAB为等边 三角形,四边形ABCD为矩形,E为PB的中点,DEPB. (1)证明:平面ABCD平面PAB; (2)设二面角A-PC-B的
19、大小为,求的取值范围. (1)证明 连接AE,因为PAB为等边三角形,E为PB的中点, 所以AEPB.又因为DEPB,AEDE=E,所以PB平面ADE,PBAD.因为 四边形ABCD为矩形,所以ADAB,ABBP=B,所以AD平面PAB.因为 AD平面ABCD,所以平面ABCD平面PAB. (2)解 以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 设 PB=AB=PA=1,C(0,1,n),则 A(0,0,0),P 3 2 , 1 2,0 ,B(0,1,0),由空间向量的坐 标运算可得 = - 3 2 , 1 2,n , = 3 2 , 1 2,0 , = 3 2 ,- 1 2 , 0
20、. 设平面 BPC的法向量为 m=(x1,y1,z1), 则 = 0, = 0,代入可得 - 3 2 1+ 1 2 1+ 1= 0, 3 2 1- 1 2 1= 0, 令 x1=1,y1= 3,z1=0,所以平面 BPC 的一个法向量为 m=(1, 3,0). 设平面 PAC 的法向量为 n=(x2,y2,z2),则 = 0, = 0,代入可得 - 3 2 2+ 1 2 2+ 2= 0, 3 2 2+ 1 2 2= 0, 令 x2=1,y2=- 3,z2= 3 ,所以平面 PAC 的一个法向量为 n= 1,- 3, 3 . 由图可知,二面角 A-PC-B的平面角为锐角, 所以 cos = | = 1-3 1+3 1+3+ 3 n2 = 1 4+ 3 n2, 当 n趋近于+时, 1 4+ 3 n2 趋近于1 2,则 cos 0, 1 2 , 所以 的取值范围为 3 , 2 .
