1、1.21.2 函数、方程与不等式组合练函数、方程与不等式组合练 第三部分第三部分 2021 内 容 索 引 01 02 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 考向训练考向训练 限时通关限时通关 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 1.对于不等式ab,c0acbc;ab,c0acb0,cd0acbd. 2.当a0,b0时, ,当且仅当a=b时取等号. 3.二次函数的一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0),其图象是以x=- 为对称轴的抛 物线;顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a0),(h,k)为顶点坐标;零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2) (a0),x1,x2为零点. + 2 2 4
2、.若ax2+bx+c=0(a0)的两个不相等实根为x1,x2,则 x1,2= - 2-4 2 (0),x1+x2=- ,x1x2= . 5.求二次不等式ax2+bx+c0(或f(x)恒成立af(x)max;af(x)恒成立af(x)min. 7.能成立问题的转化:af(x)能成立af(x)min;af(x)能成立af(x)max. 考向训练考向训练 限时通关限时通关 考向一考向一 不等式的性质与基本不等式不等式的性质与基本不等式 1.(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列 式子中正确的是( ) A.b-ac+a B.c2ab D.|b|c 答案 D 解析
3、 (方法一)根据数轴可得cba|b|a|, 对于A,因为cb,a0,所以c+ab,则c+acbb-a,即c+ab-a,故A错 误; 对于B,因为cba|b|a|, 所以c2b2a2,且b2ab, 所以c2b2ab,且c2ab,故B错误; 对于 C,因为 ba 1 ,则 |a|,且 c0,所以|b|c|a|c,故 D 正确. (方法二)不妨令c=-5,b=-4,a=-1,则c+a=-6ab=4,故B错误; = 5 4 0,b0,且a+b=1,则( ) A.a2+b21 2 B.2a-b1 2 C.log2a+log2b-2 D. + 2 答案 ABD 解析 a+b=1,(a+b)2=1=a2+b
4、2+2ab2(a2+b2),a2+b2 1 2,故 A正确; a+b=1,a0,b0,a+1=2a+bb,a-b-1,2a-b2 -1 =1 2,故 B正确; a+b=12 , ab 1 4,log2a+log2b=log2ablog2 1 4=-2,故 C错误; a+b=12 ,2 1,( + )2=a+b+2 2, + 2, 故 D正确. 3.(多选)(2020山东青岛5月模拟,9)设a,b,c为实数,且ab0,则下列不等式 中正确的是( ) A.log2(ab)log2b2 B.ac2bc2 C. 1 1 2 答案 AC 解析 由ab0,得abb2,所以log2(ab)log2b2,故A
5、正确; 因为c20,当c2=0时,选项B不成立,故B不正确; 由 ab0,两边同乘1 ,得 1,由 ab0,两边同乘1 ,得 b,函数 y= 1 2 为减函数,得 1 2 0,b0,且 ab=1,则 1 2 + 1 2 + 8 +的最小值 为 . 答案 4 解析 ab=1,b=1 . 1 2 + 1 2 + 8 + = 1 2 + 2 + 8 +1 = 1 2 1 + + 8 +1 . 令1 +a=t0,则原式= 2 + 8 2 2 8 =2 4=4, 当且仅当 t2=16,即 t=4时,等号成立,此时1 +a=4 考向二考向二 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 6.已知函数f(x)=
6、-x2+4x,xm,5的值域是-5,4,则实数m的取值范围是 ( ) A.(-,-1) B.(-1,2 C.-1,2 D.2,5 答案 C 解析 f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4.当x=2时,f(x)max=f(2)=4 由f(x)=-x2+4x=-5,得x=5或x=-1 所以要使f(x)在m,5上的值域是-5,4, 则-1m2 7.(2020江西名校大联考,理6)已知函数f(x)= 在R上为 增函数,则实数a的取值范围是( ) A.(-,1 B.1,+) C.(-,2 D.2,+) ln, 1, -2+ -2+ 1, 1 答案 D 解析 若函数 f(x)在 R 上为增函数,则在两段
7、上都应为增函数, 当 x1时,f(x)=-x2+ax-a2+1,对称轴为 x= 2,所以 2 1, 且在 x=1处,二次函数对应的值应小于等于对数函数的值,即 a-a20,所以得 到 2 1, -2 0, 解得 2, 0 或 1, 所以 a2. 故选 D. 8.(多选)(2020山东联考,9)已知函数f(x)=x2-2x+a有两个零点x1,x2,以下结论 正确的是( ) A.a0,解得 a1,故A正确; 对于B,根据韦达定理有x1+x2=2,x1x2=a,所以 ,故B正确; 对于C,因为f(-1)=3+a,f(3)=3+a,所以f(-1)=f(3)成立,故C正确; 对于D,当a=0时,y=f(
8、|x|)=|x|2-2|x|=|x|(|x|-2)=0有三根,x=0,2,故D错误.故 选ABC. 1 1 + 1 2 = 1+ 2 12 = 2 考向三考向三 二次函数与二次不等式二次函数与二次不等式 9.已知函数f(x)=x2+6x+1,若关于x的不等式f(x)m在-5,-2上恒成立,则实 数m的取值范围是 . 答案 (-4,+) 解析 关于x的不等式f(x)f(x)max,由函数 f(x)=x2+6x+1图象的对称轴为x=-3,知当x=-5时,f(x)max=f(-5)=-4. 则实数m的取值范围是(-4,+). 10.(多选)(2020江苏期末,3)已知函数f(x)=x2-4x+3,则
9、f(x)0的充分不必要 条件是( ) A.1,3 B.1,3 C.(-,13,+) D.(3,4) 答案 BD 解析 因为f(x)0即x2-4x+30的解集为x|x3,或x1, 所以f(x)0的充分不必要条件应是x|x3,或x1的真子集, 所以1,3,(3,4)满足条件.故选BD. 11.设对任意实数x-1,1,不等式x2+ax-3a0恒成立,则实数a的取值范围 是( ) A.(0,+) B. 1 2 , + C.(-,-12)(0,+) D. 1 4 , + 答案 B 解析 设f(x)=x2+ax-3a,对任意实数x-1,1,不等式x2+ax-3a0恒成立, (-1) = 1-3 0, (1
10、) = 1 + -3 0, 即 1-4 0, 1-2 1 4 , 1 2 , 故 a1 2.故选 B. 12.(2020四川高考模拟,理16)已知f(x)是R上的偶函数,且当x0时, f(x)=|x2-3x|,则不等式f(x-2)2的解集为 . 答案 1- 17 2 ,0 1,3 4, 7+ 17 2 解析 当x0时,f(x)=|x2-3x|,当0 x3时,f(x)=-x2+3x, 解f(x)2,即-x2+3x2,得x1或x2,0 x1或2x3. 当 x3 时,f(x)=x2-3x,解 f(x)2,即 x2-3x2,得3- 17 2 x 3+ 17 2 ,3x 3+ 17 2 . 当 x0 时
11、,f(x)2 解集为 0 x1 或 2x 3+ 17 2 . f(x)是 R 上的偶函数, 当 x0时,f(x)2解集为-3+ 17 2 x-2或-1x0. f(x)2解集为-3+ 17 2 x-2或-1x1或 2x 3+ 17 2 . f(x-2)2的解集为 1- 17 2 ,0 1,3 4,7+ 17 2 . 考向四考向四 二次函数、方程、不等式的综合二次函数、方程、不等式的综合 13.已知在(-,1上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x20,t+1,总有 |f(x1)-f(x2)|2,则实数t的取值范围是( ) A.- 2, 2 B.1, 2 C.2,3 D.1,2
12、答案 B 解析 由于f(x)=x2-2tx+1的图象的对称轴为x=t,又因为y=f(x)在(-,1上是减 函数,所以t1. 则在区间0,t+1上,f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(t)=t2-2t2+1=-t2+1,要使对任意的 x1,x20,t+1,都有|f(x1)-f(x2)|2,只需 1-(-t2+1)2,解得- 2 t 2. 又因为 t1,所以 1t 2. 14.已知二次函数f(x)=2ax2-ax+1(a0),若x1f(x2) C.f(x1)f(x2) D.与a值有关 答案 C 解析 由题意知该二次函数的图象开口向下,对称轴为直线 x=1 4. 因为 x1x2,x1+
13、x2=0,所以 x10,且|x1|=|x2|. 当 x1,x2在对称轴的两侧时,1 4-x1x2- 1 4,即 x2 离对称轴近, 故 f(x1)f(x2). 当 x1,x2都在对称轴的左侧时,由单调性知 f(x1)f(x2).综上,f(x1)f(x2). 15.(多选)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,下列结论正确的是( ) A.方程x2+(m-3)x+m=0有实数根的充要条件是mm|m9 B.方程x2+(m-3)x+m=0有一正一负根的充要条件是mm|m0 C.方程x2+(m-3)x+m=0有两正实数根的充要条件是mm01 答案 BCD 解析 在A中,由=(m-3)2-4m0得,
14、m1或m9,故A错误; 在B中,当x=0时,函数y=x2+(m-3)x+m的值为m,由二次函数的图象知,方程 有一正一负根的充要条件是mm|m 0, 0, 解得 0m1,故 C 正确; 在D中,由=(m-3)2-4m0得,1m9,m|1m1,故D正确.故选 BCD. 16.(2020安徽临泉一中月考,16)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a0)在区间 2,3上有最大值4和最小值1,设f(x)= .若不等式f(2x)-k 2x0在区间- 1,1上恒成立,则实数k的取值范围是 . () 解析 g(x)=a(x-1)2+1+b-a,由 a0,得 g(x)在区间2,3上是增函数,故 (2) = 1, (3) = 4,解得 = 1, = 0. 由题意得 f(x)=() =x+1 -2, 所以 f(2x)-k 2x0,即 2x+ 1 2 -2k 2x,所以 1 2 2 -2 1 2 +1k. 令 t= 1 2 ,因为 x-1,1,所以 t 1 2 ,2 . 即 kt2-2t+1=(t-1)2,所以(t-1)20,则 k 的取值范围是(-,0. 答案 (-,0
