1、高 考 总 复 习高 考 总 复 习 第第2 2讲讲 函数与方程思想、数形结合思想函数与方程思想、数形结合思想 第二部分第二部分 2021 内 容 索 引 01 02 一、函数与方程思想一、函数与方程思想 二、数形结合思想二、数形结合思想 一、函数与方程思想一、函数与方程思想 函数与方程思想,渗透到中学数学的各个领域,是历年高考考查的重点和热 点.一般通过函数与导数、三角函数、数列及解析几何等知识运用的交汇 处,思想方法和相关能力的结合处进行考查. 思想方法诠释思想方法诠释 1.函数的思想函数的思想:是用运动和变化的观点是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系分析和研究数学中的数量关系
2、,是是 对函数概念的本质认识对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性运用函数的图象和性 质去分析问题、转化问题质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决从而使问题获得解决. 2.方程的思想方程的思想:就是分析数学问题中变量间的等量关系就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组建立方程或方程组, 或者构造方程或者构造方程,通过解方程或方程组通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化或者运用方程的性质去分析、转化 问题问题,使问题获得解决使问题获得解决.方程思想是动中求静方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系研究运动中的等量关系.
3、3.函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想的联系: 函数思想与方程思想密切相关函数思想与方程思想密切相关,对于函数对于函数y=f(x),当当y=0时时,转化为方程转化为方程f(x)=0, 也可以把函数也可以把函数y=f(x)看作二元方程看作二元方程y-f(x)=0. 函数与方程的问题可相互转化函数与方程的问题可相互转化.求方程求方程f(x)=0的解就是求函数的解就是求函数y=f(x)的零点的零点. 求方程求方程f(x)=g(x)的解的问题的解的问题,可以转化为求函数可以转化为求函数y=f(x)-g(x)与与x轴的交点问轴的交点问 题题. 思想分类应用思想分类应用 应用一应用一 函数思想与方
4、程思想的转换函数思想与方程思想的转换 【例例1】设函数设函数f(x)= ,g(x)=ax2+bx(a,bR,a0),若若y=f(x)的图象与的图象与y=g(x) 的图象有且仅有两个不同的公共点的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的则下列判断正确的 是是( ) A.当当a0时时,x1+x20 B.当当a0,y1+y20时时,x1+x20,y1+y20时时,x1+x20,y1+y20 1 答案 B 解析 在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当a0时,要想满足条件, 如图,作出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为(-x1,-y1).由图象知- x1y2,
5、即x1+x20,y1+y20时,则有x1+x20,故选B. 【对点训练1】已知函数f(x)的定义域为R,且有2f(x)+f(x2-1)=1,则 f(- )= . 2 答案 1 3 解析 取 x=- 2,则有 2f(- 2)+f(1)=1, 取 x=1,则有 2f(1)+f(0)=1, 取 x=0,则有 2f(0)+f(-1)=1, 取 x=-1,则有 2f(-1)+f(0)=1, 解由组成的方程组,得 f(0)=1 3,代入得 f(1)= 1 3,再将 f(1)= 1 3代入, 得 f(- 2)=1 3. 应用二应用二 函数与方程思想在解三角形中的应用函数与方程思想在解三角形中的应用 【例 2
6、】为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求ACB=60, BC的长度大于 1 m,且 AC比 AB长1 2 m,为了稳固广告牌,要求 AC越短越好, 则 AC最短为( ) A. 1 + 3 2 m B.2 m C.(1+ 3)m D.(2+ 3)m 答案 D 解析 设 BC的长度为 x m,AC的长度为 y m,则 AB的长度为 - 1 2 m. 在ABC中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC BCcosACB, 即 - 1 2 2 =y2+x2-2yx 1 2,化简得 y(x-1)=x 2-1 4 .x1,x-10,y= 2-1 4 -1 , 即 y=(x-1)+ 3 4(
7、-1)+2 3+2,当且仅当 x-1= 3 4(-1)时取等号, 因此当 x=1+ 3 2 时,y有最小值 2+ 3. 思维升华函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数 问题),构造函数解题是函数思想的一种主要体现.方程思想的本质是根据 已知得出方程(组),通过解方程(组)解决问题. 【对点训练2】已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边,S为ABC的 面积,sin(B+C)= . (1)证明:A=2C; (2)若b=2,且ABC为锐角三角形,求S的取值范围. 2 2-2 (1)证明 由 sin(B+C)= 2 2-2,即 sin A= 2 2-2,得 sin A= s
8、in 2-2 . 又sin A0,bc=a2-c2, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 则bc=b2-2bccos A. 又b0,c=b-2c cos A,由正弦定理得sin C=sin B-2sin C cos A,即sin C=sin(A+C)-2sin C cos A=sin(A-C). 又0A,0C,A=2C. (2)解 A=2C,B=-3C, sin B=sin 3C. sin = sin且 b=2,a= 2sin2 sin3 , S=1 2ab sin C= 2sin2 sin sin(2+) = 2sin2 sin sin2 cos+cos2 sin =2tan2
9、 tan tan2+tan = 4tan 3-tan2= 4 3 tan-tan . ABC为锐角三角形, 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 2 , 0 -3 2 , 0 2 , 即 0 4 , 6 3 , 0 2 , 6C2b B.ab2 D.ab2 答案 B 解析 由指数与对数运算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b. 因为22b+log2b22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a22b+log22b. 令f(x)=2x+log2x,由指数函数与对数函数单调性可得f(x)在区间(0,+)上单 调递增. 由f(a)f(2b)可得a
10、0),当 a0 时,令 g(x)=ln x+ 1 ,则 g(x)=1 1 2 = -1 2 , 所以 g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增,且 g(1)=1, 所以 ln x+1 1,显然有 axe 1-x ln x+1 ; 当 a0 时,令 f(x)=axe 1-x -ln x-1 ,则 f(x)= 1- e-1 + e-1 2 , 所以f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减, 所以f(x)max=f(1)0即可, 因为f(1)=a-1,所以00或f(x)0或f(x)max0.已知恒 成立求参数取值范围可先分离参数,再利用函数最值求解. 【对点训练3】(1)
11、(2020全国,文10)设a=log32,b=log53,c= ,则( ) A.acb B.abc C.bca D.cab 2 3 答案 A 解析 3 2a= 3 2log32=log32 23=log981,a1,b2 3.又 c= 2 3,acb.故选 A. (2)若x(0,+), x-ln x+a恒成立,则a的最大值为( ) A.1 B. C.0 D.-e e-1 1 e 答案 C 解析 设 t=x-ln x,则e -1 =e t-1 ,原不等式等价于 e t-1 -ta 恒成立. 设 g(x)=x-ln x,则 g(x)=1-1 是单调递增的,零点为 x=1, 所以g(x)在(0,1)
12、内单调递减,在(1,+)内单调递增,所以函数g(x)的最小值为 1,故t1.令f(t)=et-1-t,f(t)=et-1-1,零点是t=1,f(t)在1,+)内单调递增,故 f(t)min=0,故a0.故选C. 应用四应用四 函数与方程思想在数列中的应用函数与方程思想在数列中的应用 【例例4】(2020湖南长郡中学四模湖南长郡中学四模,文文4)设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn, 若 S13=13 4 ,则 cos2a5+cos2a7+cos2a9=( ) A.1 B.3 2 C.5 2 D.2 答案 B 解析 S13=13(1+13) 2 =13a7=13 4 ,则 2a7=
13、 2.设 f(x)=cos x, cos2a5+cos2a7+cos2a9=1+cos25 2 + 1+cos27 2 + 1+cos29 2 = 3 2 + cos25+cos27+ cos29 2 . 因为 f(x)=cos x图象的对称中心为 2 + ,0 ,kZ,且 2a7= 2, 2a5+2a9=22a7,所以cos25+cos27+cos29 2 =0,即原式=3 2.故选 B. 思维升华在解决数列问题时,应充分利用函数的有关知识,解题往往以函数 的概念、图象、性质为纽带,建立起函数与数列间的桥梁,揭示它们内在的 联系,从而有效快速解决数列问题. 【对点训练 4】已知在数列an中,
14、前 n 项和为 Sn,且 Sn=+2 3 an,则 -1的最 大值为( ) A.-3 B.-1 C.3 D.1 答案 C 解析 Sn=+2 3 an,当 n2 时,an=Sn-Sn-1=+2 3 an-+1 3 an-1,可化为 -1 = +1 -1 =1+ 2 -1(n2).由函数 y= 2 -1在(1,+)内单调递减,可得 -1在 n=2 处, 2 -1取 得最大值 2. -1的最大值为 3. 应用五应用五 函数与方程思想在概率中的应用函数与方程思想在概率中的应用 【例例5】(2020河北沧州一模河北沧州一模,理理12)2019年末年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎武汉出现新型冠状病毒肺炎 (
15、COVID-19)疫情疫情,并快速席卷我国其他地区并快速席卷我国其他地区,传播速度很快传播速度很快.因这种病毒是因这种病毒是 以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治疗方法所以目前没有特异治疗方法, 防控难度很大防控难度很大.武汉市出现疫情最早武汉市出现疫情最早,感染人员最多感染人员最多,防控压力最大防控压力最大,武汉市武汉市 从从2月月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠 肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎
16、的发热患者和与确诊患者的密切接触 者等“四类”人员者等“四类”人员,强化网格化管理强化网格化管理,不落一户、不漏一人不落一户、不漏一人.在排查期间在排查期间,一一 户户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员这种情况下医护人员 要对其家庭要对其家庭 A.1- 6 3 B. 6 3 C.1 2 D.1- 3 3 成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高 危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0p0,则g(x)=(1-x)(1+x)x4=(1-x2)x4, g(x)=(1-x2)x4=1 2 (2-2
17、x2)x2x2 1 2 (2-2 2)+2+2 3 3 = 4 27, 当且仅当 2-2x2=x2,即 x= 6 3 时取等号,即 p=p0=1- 6 3 .故选 A. 思维升华关于概率的应用题,首先应用概率的相关知识得到两个量的等量 关系,然后利用函数模型研究函数的最值、极值问题,重在考查考生的“数 学建模”的核心素养和知识的迁移能力等. 【对点训练5】(2018全国1,理20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件, 每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为 合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是 否对余下的所有产品作检验.设每件产品
18、为不合格品的概率都为p(0p0; 当p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验. 应用方法归纳应用方法归纳 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面: (1)借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨 论参数的取值范围等问题; (2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为 讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的. 二、数形结合思想二、数形结合思想 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,在高考试题中, 数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、快捷等特点;而 在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形
19、只是辅助手段,最终要用“数” 写出完整的解答过程. 思想方法诠释思想方法诠释 以形助数(数题形解) 以数辅形(形题数解) 借助形的生动性和直观性来阐述 数形之间的联系,即以形作为手 段,数作为目的 借助于数的精确性和规范性及严 密性来阐明形的某些属性,即以 数作为手段,形作为目的 数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽象 问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本 质 思想分类应用思想分类应用 应用一应用一 利用数形结合求函数的零点利用数形结合求函数的零点 【例 1】(2020天津,9)已知函数 f(x)= 3, 0, -, 0. 若函数 g(x)=f(
20、x)-|kx2-2x|(k R)恰有 4个零点,则 k的取值范围是( ) A. -,- 1 2 (2 2,+) B. -,- 1 2 (0,2 2) C.(-,0)(0,2 2) D.(-,0)(2 2,+) 答案 D 解析 f(x)= 3, 0, -, 0,则如图. 1 1 3,k 3k,k21,k1, 左侧无交点. x3=kx2-2x 要有三个根,即 x2-kx+2=0 有两根, =k2-80,k2 2. 综上,k2 2. (2)若k0,如图. 点 1 ,- 1 恰在 y=-x 上,且过二次函数图象的顶点,k0 恒成立. 综上,k(-,0)(2 2,+).故选 D. 思维升华讨论方程的解(
21、或函数的零点)的个数一般可构造两个函数,转化 为讨论两曲线(或曲线与直线等)的交点个数,其基本步骤是先把方程两边 的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为 两个熟悉的函数),再在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,图象 的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数. 【对点训练1】(2020安徽安庆二模,理12)函数f(x)=|ln x|-ax恰有两个零点 x1,x2,且x10时,考查函数g(x)=|ln x|与h(x)=ax的图象 的交点. 易知,g(x)与h(x)图象在区间(0,1)内必 有一个交点,则在区间(1,+)内有且仅 有一个公共点, 当 x(1,+)时,
22、f(x)=ln x-ax,f(x)=1- ,则 f(x)在 0, 1 内单调递增,在 1 , + 内单调递减, 所以f(x)max=f 1 =ln 1 -1, 则只需 ln1 -1=0,故 a= 1 e. 当 x(0,1)时,f(x)=-ln x-1 ex, 易知 f 1 e =1- 1 e20,f(1)=- 1 e0,可知 x1 1 e ,1 .故选 D. 应用二应用二 利用数形结合思想求参数的范围或解不等式利用数形结合思想求参数的范围或解不等式 【例例2】(2020湖南永州二模湖南永州二模,理理9)已知函数已知函数f(x)是定义在是定义在R上的奇函数上的奇函数,当当 xf(x)成立成立,则
23、实数则实数a的取值范的取值范 围是围是( ) A.(0,2) B.(0,2)(-,-6) C.(-2,0) D.(-2,0)(6,+) 答案 D 解析 f(x)是定义在R上的奇函数, 当x0)或向右(a0时,y=f(x)的图象至少向左平移6个单位长度(不含6个单位长度)才能 满足对任意的x-1,2,f(x+a)f(x)成立,当af(x) 成立,故a(-2,0)(6,+).故选D. 思维升华在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,往往需要讨论,导致演 算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法, 问题将会简练地得到解决. 【对点训练2】(2020北京,6)已知函数f(x)=2
24、x-x-1,则不等式f(x)0的解集 是( ) A.(-1,1) B.(-,-1)(1,+) C.(0,1) D.(-,0)(1,+) 答案 D 解析 因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)0等价于2xx+1, 在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象如图. 两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),由图象可知, 不等式2xx+1的解集为(-,0)(1,+). 所以不等式f(x)0的解集为(-,0)(1,+).故选D. 应用三应用三 数形结合思想在解析几何中的应用数形结合思想在解析几何中的应用 【例3】(2020山东枣庄二模,8)已知点P(m,n)是函数y= 图象上的 动点,则|
25、4m+3n-21|的最小值是( ) A.25 B.21 C.20 D.4 - 2-2 答案 C 解析 函数 y= -2-2图象是半圆,圆心为 C(-1,0),半径为 r=1,如图,作直线 4x+3y-21=0,C到直线 4x+3y-21=0的距离为 d=|-4+0-21| 42+32 =5, P(m,n)到直线 4x+3y-21=0的距离为 d=|4+3-21| 5 ,其最小值为 5-1=4, |4m+3n-21|的最小值为 54=20.故选 C. (1) - - 表示两点(a,b),(m,n)连线的斜率; (2) (-)2+ (-)2表示两点(a,b),(m,n)或(b,a),(n,m)之间
26、的距离. 2.解析几何中的一些范围及最值问题解析几何中的一些范围及最值问题,常结合几何图形的性质常结合几何图形的性质,使问题得到使问题得到 简便快捷地解决简便快捷地解决. 思维升华1.如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,那么就要考 虑用数形结合的思想方法来解题,即用几何法求解,比较常见的有: 【对点训练3】已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与 抛物线C交于A,B两点,若在以线段AB为直径的圆上存在两点M,N,在直线 l:x+y+a=0上存在一点Q,使得MQN=90,则实数a的取值范围为( ) A.-13,3 B.-3,1 C.-3,13 D.-13,13 答案
27、A 解析 过点F(1,0)且斜率为1的直线方程为y=x-1. 联立 = -1, 2= 4,整理得 x 2-6x+1=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=6,y1+y2=x1+x2-2=4. AB的中点坐标为(3,2),|AB|=x1+x2+p=8,所以以线段AB为直径的圆D: (x-3)2+(y-2)2=16,圆心D为(3,2),半径r=4, 因为在圆C上存在两点M,N,在直线l上存在一点Q,使得MQN=90, 所以在直线l上存在一点Q,使得Q到D(3,2)的距离等于 2r=4 2,只需D(3,2) 到直线 l 的距离小于或等于 4 2, |3+2+| 2 4 2,解得-13a3,故选 A. 应用方法归纳应用方法归纳 方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面: (1)解方程或解不等式; (2)含参数的方程或不等式的讨论,常涉及一元二次方程的判别式、根与系 数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用; (3)需要转化为方程的讨论,如曲线的位置关系等; (4)构造方程或不等式求解问题.
