1、7.1.17.1.1 角的推广角的推广 课标阐释 1.掌握用“旋转”定义角,理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相 同的角”的定义. 2.掌握所有与角终边相同的角(包括角)的表示方法. 3.体会运动变化的观点,深刻理解推广后的角的概念. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 在跳水、体操、花样滑冰比赛中,常常听到“转体三周”的说法,那么 转体三周运动员要转体多少度呢?显然转过的角是大于360的角, 我们如何认识这样的角呢? 这样的角不再局限于0360的范围内,可以是任意的大小,还可 以有正负,这就是本节要学习的角的概念的推广. 激趣诱思 知识点拨 知识点一:任意角 1.角的概念:一条射线绕其端点
2、旋转到另一条射线所形成的图形. 2.角的分类:按旋转方向可将角分为三类 类型 定 义 图 示 正角 按照逆时针方向旋转而成的角 负角 按照顺时针方向旋转而成的角 零角 当射线没有旋转时,也把它看成 一个角,称为零角 激趣诱思 知识点拨 微思考 始边与终边重合的角一定是零角吗? 提示不一定.只有始边没有旋转时才是零角. 微练习 经过1个小时,时针转过的角度是 . 答案-30 激趣诱思 知识点拨 知识点二:象限角 1.象限角 将角放在平面直角坐标系中,约定:角的顶点与坐标原点重合,角的 始边落在x轴的正半轴上.这时,角的终边在第几象限,就把这个角称 为第几象限角. 如果终边在坐标轴上,就认为这个角
3、不属于任何象限. 2.终边相同的角 一般地,角+k 360(kZ)与角的终边相同,这只需把k 360看 成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可.任意两个终边相同的角, 它们的差一定是360的整数倍.因此,所有与终边相同的角组成 一个集合,这个集合可记为S=|=+k 360,kZ. 即集合S的每一个元素的终边都与的终边相同,k=0时对应元素为. 激趣诱思 知识点拨 名师点析 对于集合S=|=+k 360,kZ的理解应注意三点 (1)是任意角. (2)“kZ”有三层含义: 特殊性:每取一个整数值就对应一个具体的角. 一般性:表示所有与角终边相同的角(包括自身). 从几何意义上看,k表示角的终边按一定
4、的方向旋转的圈数,当k取 正整数时,逆时针旋转;当k取负整数时,顺时针旋转;当k=0时,没有旋 转. (3)集合中“k 360”与“”之间用“+”连接,如k 360-30应看成 k 360+(-30),表示与-30角终边相同的角. 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)钝角是第二象限角.( ) (2)第二象限角是钝角.( ) (3)第二象限角大于第一象限角.( ) 答案(1) (2) (3) 微练习 与-40角终边相同的角的集合是( ) A.|=k 360-40,kZ B.|=k 360+40,kZ C.|=k 36040,kZ D.|=k 360+80,kZ 答案A 探究一 探究二 探究三 素养
5、形成 当堂检测 有关角的概念问题有关角的概念问题 例1下列说法正确的是( ) A.终边相同的角一定相等 B.第一象限的角一定是锐角 C.终边相同的角之间相差360的整数倍 D.大于90的角都是钝角 分析根据角的概念、终边相同角的集合等概念解题,特别注意锐角、 直角、钝角等特殊的角. 解析终边相同的角不一定相等,可能相差k 360(kZ),故A错;因 为锐角的集合是|090,而第一象限的角的集合是 |k 360k 360+90,故B错;终边相同的角之间相差 360的整数倍,故C正确;钝角的集合是|90180时,均大于90,所以大于90的角不一定都是钝角,故D错. 探究一 探究二 探究三 素养形成
6、 当堂检测 答案C 反思感悟 判断角的概念问题的关键与技巧 (1)解决此类问题的关键在于正确理解象限角、锐角、小于90的 角、090的角等概念. (2)本题也可采用排除法,这时需掌握判断说法是否正确的技巧.判 断说法正确需要证明,而判断说法错误只需举一反例即可. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练1判断下列说法是否正确: (1)第一象限的角小于第二象限的角; (2)若90180,则为第二象限的角. 解(1)不正确.如390角是第一象限的角,120角是第二象限的角, 显然390120,所以该说法是错误的. (2)不正确.其中90,180角都不是象限角,显然该说法是错误的. 探究
7、一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 终边相同的角的问题终边相同的角的问题 例2在角的集合S=|=k 90+45,kZ中: (1)有几种终边不相同的角? (2)在集合S中有几个在-360360内的角? 分析从代数角度看,取k=,-2,-1,0,1,2, ,可以得为,-135,-45,45, 135,225,;从图形角度看,是以 45角为基础,依次加上(或减去)90 的整数倍,即依次按逆时针(或顺时针) 方向旋转90所得的各角,如图所示,结 合图形求解. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(1)在给定的角的集合中,终边不相同的角共有4种,分别是与 45,135,225,315角终边
8、相同的角. (2)令-360k 90+45360, 又因为kZ,所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3. 所以在-360360内的角共有8个. 得-9 2k 7 2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 运用终边相同的角的注意事项 所有与角终边相同的角,连同角在内可以用式子k 360+(kZ) 表示,在运用时需注意以下四点: (1)k是整数,这个条件不能漏掉. (2)是任意角. (3)k 360与之间用“+”连接. (4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同 的角有无数个,它们相差周角的整数倍. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练
9、2如图所示,写出终边落在直线y= x上的角的集合. 解终边落在y= x(x0)上的角的集合为 S1=|=60+k 360,kZ, 终边落在y= x(x0)上的角的集合为 S2=|=240+k 360,kZ. 于是,终边落在直线y= x上的角的集合为 S=S1S2=|=60+2k 180,kZ|=60+(2k+1) 180, kZ.因为n|n=2k,kZn|n=2k+1,kZ=Z,所以 S=S1S2=|=60+n 180,nZ. 3 3 3 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 终边相同的角的集合之间的关系终边相同的角的集合之间的关系 例3已知集合A=|30+k 18080+k 180
10、,kZ,集合 B=|-45+k 36045+k 360,kZ,求AB. 解因为30+k 18080+k 180,kZ, 所以当k为偶数,即k=2n(nZ) 时,30+n 36080+n 360,nZ; 当k为奇数,即k=2n+1(nZ) 时,210+n 360260+n 360,nZ, 所以集合A中角的终边在如图阴影()区域内, 集合B中角的终边在如图阴影()区域内. 所以集合AB中角的终边在阴影()和()的公共部分内. 所以AB=|30+n 36045+n 360,nZ. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 区域角表示的步骤 (1)借助图形,在直角坐标平面内找出角的范围所对
11、应的区域. (2)确定-360360范围内的基本角,即区域起始及终止边界 所对应的角. (3)写出终边相同的角的集合.解决终边相同的角的集合问题,一般 都是利用数形结合解题. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究若本例中集合 A=|30+k 12080+k 120,kZ,求AB. 解对于集合A,当k=3n,nZ时,30+n 36080+n 360. 当k=3n+1,nZ时,150+n 360200+n 360. 当k=3n+2,nZ时,270+n 360320+n 360. 故AB=|-45+n 360-40+n 360或 30+n 36045+n 360,nZ. 探究一 探究
12、二 探究三 素养形成 当堂检测 由角由角 所在的象限判断所在的象限判断 所在象限的方法 所在象限的方法 1.分类讨论法 先由角所在的象限写出角的范围,进而求出角 的范围,从而得到 角 所在象限.用此种方法判断角 所在象限时,需对 n 的取值(如 n 为 奇数、偶数等)分类讨论. 2.等分象限法 已知角所在象限,判断 所在象限时,先把各象限n等分,再从第一象 限离 x 轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数字 1,2,3,4,直 到将所有区域标完为止,则角 原来是第几象限角,对应的标号所在 区域即 的终边所在的区域. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 典例 已知 是第二象限角,判断角
13、 3的终边位置. 解(方法一)由 90+k 360180+k 360,kZ,得 30+k 120 360+k 120,kZ. 令k=3n,nZ,则30+n 360 360+n 360,可知 3为第一象限 角. 令 k=3n+1,nZ,则 150+n 360 3180+n 360,可知 3为第 二象限角. 令 k=3n+2,nZ,则 270+n 360 3300+n 360,可知 3为第 四象限角. 综上知,角 3的终边落在第一、第二或第四象限. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (方法二)如图,先将各象限3等分,然后从x轴正向上方第一个区域起, 按逆时针方向在各区域内依次标上 1,2
14、,3,4;1,2,3,4;依次循环,直到 标完所有区域,其中出现数字 2 的区域即为角 3的终边所在的区域, 因此角 3的终边落在第一、第二或第四象限. 方法点睛 先写出角 的范围,然后利用解不等式得到角 3的范围,最 后分类讨论角 3所在的象限,也可以借助图形判断. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.下列叙述正确的是( ) A.三角形的内角必是第一或第二象限角 B.始边相同而终边不同的角一定不相等 C.第四象限角一定是负角 D.钝角比第三象限角小 解析90的角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A 错;280的角是第四象限角,它是正角,故C错;-100角是第三象限 角,它
15、比钝角小,故D错. 答案B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.把-1 485化成+k 360(0360,kZ)的形式是( ) A.315-5360 B.45-4360 C.-315-4360 D.-45-10180 解析0360,排除C,D选项,经计算可知选项A正确. 答案A 3.已知是第四象限的角,则 是 象限的角. 答案第二或第四 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.终边在120角终边所在直线上的所有角的集合是 , 上述集合在-180,180)内的角是 . 解析所求角的集合依次为 S1=|=120+k 360,kZ=|=120+2k 180,kZ, S2=|=300+k 360,kZ=|=120+(2k+1) 180,kZ, 因为n|n=2k,kZn|n=2k+1,kZ=Z,所以 S=S1S2=|=120+n 180,nZ.当n=-1或n=0时,取得在 -180,180)内的角为-60,120. 答案|=120+n 180,nZ -60,120 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.若角的终边落在如图所示的阴影部分中,试写出其集合. 解以OA为终边的角为75+k 360(kZ),以OB为终边的角为 -30+k 360(kZ),因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表 示为|-30+k 36075+k 360,kZ.
