1、7.2.27.2.2 单位圆与三角函数线单位圆与三角函数线 课标阐释 1.理解单位圆的概念. 2.理解三角函数线的定义并能运用三角函数线解决相关的问题. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 江南水乡,水车在河流里悠悠转动,缓缓地把河流里的水引进水渠, 流向绿油油的大地.在水车转动的瞬间,同学们能想到些什么呢? 将图中的水车抽象出一个数学模型,建立平面直角坐标系(如图所 示),设水车的轮廓为单位圆.在平面直角坐标系中,任意角的终边 与单位圆交于点P,过点P作PMx轴,过点A(1,0)作单位圆的切线,交 的终边或其反向延长线于点T,结合三角函数的定义,你能得到sin ,cos ,tan 与MP,OM,A
2、T的关系吗? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:单位圆 一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称 为单位圆. 名师点析 (1)当角的终边与单位圆的交点为P(x,y)时,r=OP=1,此 时sin =y,cos =x,tan = (x0).因此我们也可以用单位圆上点的 坐标表示三角函数值. (2)单位圆的作用就是将r变为1. 微思考 角的终边与单位圆的交点是否可以表示为(cos ,sin )? 提示可以.因为 cos2=x 2 r2 ,sin2=y 2 r2 ,所以 cos2+sin2=x 2+y2 r2 = x2+y2 x2+y2=1. 激趣诱思 知识点拨 知识点二:三角
3、函数线 如果过角终边与单位圆的交点P作x轴的垂线,垂足为M,则OM 可 以直观地表示 cos :OM 的方向与 x 轴的正方向相同时,表示 cos 是 正数,且 cos =|OM |;OM 的方向与 x 轴的正方向相反时,表示 cos 是 负数,且cos =-|OM |.习惯上,称OM 为角的余弦线.类似地,右图中的 MP 可以直观地表示 sin ,因此称MP 为角 的正弦线. 激趣诱思 知识点拨 设角 的终边与直线 x=1 交于点 T,则AT 可以直观地表示 tan ,因此 AT 称为角 的正切线. 激趣诱思 知识点拨 微练习 作出 6的三角函数线. 解 作 6的终边与单位圆的交点 P,过点
4、 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M;延长 OP,交直线x=1于点T,则 6的正弦线为MP ,余弦线为OM ,正切线为AT . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 三角函数线的作法及应用三角函数线的作法及应用 例 1(1)角 7和角 8 7 有相同的( ) A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定 (2)作3 4 的正弦线、余弦线和正切线. 分析(1)在同一个平面直角坐标系中分别作出角 7和角 8 7 的三角函数 线,比较可得. (2)作出平面直角坐标系,作出角3 4 的终边,分别作出它的正弦线、余 弦线、正切线即可. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 (1)解析角 7和角 8 7 的
5、终边互为反向延长线,所以正切线相同. 答案 C (2) 解作角3 4 的终边(如图)与单位圆的交点为 P.作 PM 垂直于 x 轴,垂足 为 M,过 A(1,0)作单位圆的切线 AT,与3 4 的终边的反向延长线交于点 T,则3 4 的正弦线为 ,余弦线为 ,正切线为 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后 过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得出正弦线和余弦线. (2)作正切线时,应从A(1,0)点引x轴的垂线,交角的终边(为第一或 第四象限角)或角终边的反向延长线(为第二或第三角限角)于点 T,即可
6、得到正切线 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练(1)已知角的正弦线的长度为单位长度,那么角的终边 ( ) A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y=x上 D.在直线y=-x上 (2)作出-5 8 的正弦线、余弦线和正切线. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 (1)解析根据正弦线的定义知,|sin |=1, 所以sin =1,所以角的终边在y轴上. 答案B (2)解如图所示,作-5 8 的终边与单位圆的交点P,过点P作x轴的垂线, 垂足为 M,延长线段 PO,交直线 x=1 于点 T,则-5 8 的正弦线为 ,余 弦线为 ,正切线为 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 利用三
7、角函数线比较大小利用三角函数线比较大小 例2比较下列各组数的大小. (1)cos4 7 和 cos5 7 ; (2)sin 7和 tan 7. 分析在单位圆中正确画出各角需要比较大小的三角函数线. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解(1)如图,在单位圆中作出4 7 和 5 7 的余弦线2 和 1 . 因为|1 |2 |,且4 7 和 5 7 的余弦均为负数, 所以 cos4 7 cos5 7 . (2)如图,分别作出 7的正弦线和正切线. 由图知,角 7的正弦线和正切线分别为 , , 因为| |sin 7. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用三角函数线比较函数值大小的关键及
8、注意点 (1)关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线. (2)注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 延伸探究将本例中的条件改为“a=sin5 7 ,b=cos2 7 ,c=tan2 7 ”,则a,b,c的 大小顺序排列为 . 解析由如图的三角函数线知,|11 |=| | 2 8= 4,所以| | |, 所以 cos2 7 sin5 7 tan2 7 ,所以 bac. 答案bac 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 数形结合思想在三角不等式证明中的应用数形结合思想在三角不等式证明中的应用 三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重
9、要工具.作三角 函数线的前提是作单位圆.根据三角函数线可以判断sin ,cos ,tan 的符号及大小,因此利用三角函数线可以证明三角不等式. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 典例 已知 为锐角,求证:1sin +cos | |,sin +cos 1. SOPA=1 2 | | | |=1 2y= 1 2sin ,SPOB= 1 2 | | | |=1 2x= 1 2cos , S扇形OAB=1 4 1 2= 4,又四边形 OAPB 被扇形所覆盖, SOPA+SPOBS扇形OAB,1 2sin + 1 2cos 4,即 sin +cos 2. 1sin +cos 2. 探究一 探究二 素养
10、形成 当堂检测 方法点睛 要证明一个问题是正确的,我们必须把它所包含的所有 情况逐一说明.若漏掉一种情况,整个证明过程就是不严密的. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练利用三角函数线证明 0, 2 时,sin -cos 1. 证明当 =0 时,sin =0,cos =1,sin -cos =-11. 当 = 2时,sin =1,cos =0,sin -cos =11. 当 0, 2 时,sin -cos =| |-| | |=1(图略). 综上,当 0, 2 时,sin -cos 1. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 1.下列四个命题中: 一定时,单位圆中的正弦线一定; 单位圆中
11、,有相同正弦线的角相等; 和+有相同的正切线; 具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上. 不正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析由三角函数线的定义知正确,不正确. 答案C 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 2.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有( ) A.abc B.bac C.cab D.acb 解析如图,在单位圆中作出角 =-1 的正弦线、 余弦线及正切线,显然 b=cos(-1)=| |,c=tan(-1)=-| |,a=sin(-1)=-| |,由图可知 ca0,所以 cab. 答案C 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 3.
12、已知 sin = 5 13,cos =- 12 13,则角 的终边与单位圆的交点坐标是 ( ) A. 5 13 ,- 12 13 B. - 5 13 , 12 13 C. 12 13 ,- 5 13 D. - 12 13 , 5 13 答案D 4.(多选)下列不等式成立的是( ) A.sin 1sin 2 B.cos 1cos 2 C.tan 1sin 7 10 答案AD 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 5.作出-2 3 的正弦线、余弦线、正切线. 解作-2 3 的终边与单位圆的交点 P,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M; 延长线段PO,交直线x=1于点T,则-2 3的正弦线为 ,余弦线为 , 正切线为 .
