1、章末整合 专题一 专题二 专题三 专题一 向量的数量积及应用 例1已知|a|=1,|b|=4,且向量a与b不共线. (1)若a与b的夹角为60,求(2a-b) (a+b); (2)若向量ka+b与ka-b互相垂直,求k的值. 解(1)(2a-b) (a+b)=2a a+a b-b b=2|a|2+|a|b|cos-|b|2 =21+14cos 60-42=-12. (2)由题意可得(ka+b) (ka-b)=0,即k2a2-b2=0,a2=1,b2=16, k2-16=0,故k=4. 方法技巧 求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角,0,; (2)分别求|a|和|b|; (3)求数量积,
2、即a b=|a|b|cos ,要特别注意书写时a与b之间用实心 圆点“ ”连接,而不能用“”连接,也不能省去. 专题一 专题二 专题三 变式训练 1 已知非零向量 a,b 满足|a|=1,且(a-b) (a+b)=1 2. (1)若 a b=1 2,求向量 a,b 的夹角; (2)在(1)的条件下,求|a-2b|的值. 解(1)(a-b) (a+b)=1 2, a2-b2=|a|2-|b|2=1 2. 又|a|=1,|b|= 2 2 ,cos= | = 2 2 , 0,故向量 a,b 的夹角为 4. (2)|a-2b|= (-2)2= 2-4 + 42=1. 专题一 专题二 专题三 例2(1)
3、已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与 ke1+e2的夹角为锐角,求k的取值范围. (2)已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相 垂直,求a与b的夹角. 解(1)e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角, 当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去. 综上,k的取值范围为k|k0,且k1. (e1+ke2)(ke1+e2)=k1 2+k22+(k2+1)e1e2=2k0,k0. 专题一 专题二 专题三 (2)由已知条件得 ( + 3) (7-5) = 0, (-4) (7-2) = 0, 即 7 2 + 1
4、6 -152= 0, 72-30 + 82= 0, -,得 23b2-46a b=0, 2a b=b2,代入得 a2=b2, |a|=|b|,cos= | = 1 2 2 |2 = 1 2. 0,= 3. 专题一 专题二 专题三 例3已知向量a=(3,2),b=(-2,-4),c=a+kb,kR. (1)若bc,求k的值; (2)求a与b夹角的余弦值. 解(1)由题意可知 c=(3-2k,2-4k); bc,b c=-2(3-2k)-4(2-4k)=0, 故 k= 7 10. (2)a b=-6-8=-14,|a|= 13,|b|=2 5; cos= | = -14 132 5=- 7 65
5、65 . 专题一 专题二 专题三 方法技巧 1.求向量夹角的方法: (1)求出 a b,|a|,|b|,代入公式 cos= |求解. (2)用同一个量表示 a b,|a|,|b|代入公式求解. (3)借助向量运算的几何意义,数形结合求夹角. 2.要注意的范围是0,当 cos0 时, 0, 2 ;当 cos0 时, 2 , ,当 cos=0 时,= 2. 专题一 专题二 专题三 变式训练2已知非零向量a,b满足|a|=4|b|,且b(a+2b),则 为 . 解析b(a+2b), b (a+2b)=a b+2b2=|a|b|cos+2|b|2=0,即 4|b|2cos+2|b|2=0, 得 cos
6、=-1 2,0,= 2 3 . 答案2 3 专题一 专题二 专题三 专题二 三角恒等变换中的“四变”策略 1.变角角的变换 例4已知tan(+)=4,tan(-)=2,则sin 4的值为 . 解析因为 tan 2=tan (+)+(-)= tan(+)+tan(-) 1-tan (+)tan(-)=- 6 7, 所以 sin 4= 2sin2 cos2 sin22+cos22 = 2tan2 1+tan22=- 84 85. 答案-84 85 专题一 专题二 专题三 方法技巧 若“条件角”与所求的“目标角”不同,则可以用“条件角” 表示出“目标角”,然后根据它们之间的关系,选用相关的三角恒等变
7、 换公式求解. 当题目中涉及三种不同的角:+,-,4时,选择哪一种角为目标最 合适?通过观察可以发现(+)+(-)=2,4=22,这样,2是必然 的选择,然后,恰当地选择三角公式进行恒等变形,目的就容易达到 了. 专题一 专题二 专题三 2.变名函数名称变换 例 5 当 0x 4时,函数 f(x)= cos2 cossin-sin2的最小值是 . 解析因为 0x 4,所以 0tan x1, 所以 f(x)= 1 tan -tan2 = 1 -(tan-1 2) 2 +1 4 4,当且仅当 tan x=1 2时取“=”. 答案4 方法技巧 对于含有多种三角函数的问题,要从题目中所给的各函 数间的
8、关系入手,寻求统一函数名称的变换途径.正确选用三角变 换公式,通过变换尽量减少三角函数的种类,从而提高解题效率. 注意到函数表达式的分子与分母是关于sin x与cos x的二次齐次式, 所以,分子与分母同时除以cos2x,便可将原函数转化为关于tan x的 函数进行求解. 专题一 专题二 专题三 3.变幂升幂与降幂变换 例 6 已知 为第二象限角,且 sin = 15 4 ,则 sin(+ 4) sin2+cos2 +1的值 为 . 解析原式= 2 2 (sin+cos) 2sincos+2cos2 = 2(sin+cos) 4cos (sin+cos) = 2 4cos ,又 为第二象 限角
9、,且 sin = 15 4 ,所以 cos =-1 4,所以 sin(+ 4) sin2+cos2+1 = 2 4cos =- 2. 答案- 2 方法技巧 由于已知条件中给出了sin 的值,而所求三角函数式中 所涉及的角都是与有关的角,因此可利用同角三角函数的基本关 系式、二倍角公式等求解. 专题一 专题二 专题三 4.变数常数变换 例 7 已知 tan 4+ =2,则 1 2sincos+cos2的值为 . 解析由 tan 4+ = 1+tan 1-tan =2,得 tan =1 3, 所以原式= sin2+cos2 2sincos+cos2 = tan2+1 2tan +1 = 2 3.
10、答案2 3 方法技巧 根据需要,常常将“1”进行转化,如1=sin2x+cos2x =(sin xcos x)22sin xcos x等. 专题一 专题二 专题三 专题三 三角恒等变换与三角函数的图像与性质的综合 例8已知a=( ,-1),b=(sin x,cos x),xR,f(x)=a b,求函数f(x)的周期、 值域、单调递增区间. 3 解f(x)= 3sin x-cos x=2 3 2 sin x-1 2cos x =2 sin xcos 6-cos xsin 6 =2sin x- 6 ,T=2 =2,值域为-2,2. 由- 2+2kx- 6 2+2k,kZ,得单调递增区间为 - 3
11、+ 2, 2 3 + 2 ,kZ. 专题一 专题二 专题三 方法技巧 辅助角公式及其运用 (2)形式选择:化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形 后角的系数为正,这样更有利于研究函数的性质. (1)公式形式:公式 asin +bcos = 2+ 2sin(+)或 asin -bcos = 2+ 2cos(-)将形如asin +bcos (a,b不同时为零)的三角函 数式收缩为同一个角的一种三角函数式. 专题一 专题二 专题三 变式训练 3 已知函数 f(x)=cos 2x+sin 2x- 6 . (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 0, 2 ,f()=1 3,求 cos
12、2. 专题一 专题二 专题三 解(1)f(x)=cos 2x+ 3 2 sin 2x-1 2cos 2x= 3 2 sin 2x+1 2cos 2x=sin 2x+ 6 , 函数 f(x)的最小正周期为 T=. (2)由 f()=1 3,可得 sin 2+ 6 =1 3. 0, 2 ,2+ 6 6 , 7 6 . 又0sin 2x+ 6 =1 3 1 2, 2+ 6 2, ,cos 2+ 6 =-2 2 3 , cos 2=cos2+ 6 - 6 =cos 2+ 6 cos 6+sin 2+ 6 sin 6= 1-2 6 6 . 专题一 专题二 专题三 例 9 已知向量 a=(2 3sin x
13、-cos x,sin x),b=(cos x,sin x),f(x)=a b+1. (1)求 f(x)的单调减区间; (2)当 x - 12 , 6 时,求 f(x)的值域. 专题一 专题二 专题三 解(1)f(x)=a b+1=(2 3sin x-cos x) cos x+sin2x+1 =2 3sin xcos x-cos2x+sin2x+1 = 3sin 2x-(cos2x-sin2x)+1 = 3 sin 2x-cos 2x+1=2sin 2x- 6 +1, 则函数 f(x)的单调递减区间为 2+2k2x- 6 3 2 +2k(kZ),得 3+kx 5 6 +k(kZ),因此,函数 y
14、=f(x)的单调递减区间为 3+k, 5 6 +k ,kZ. (2)x - 12 , 6 ,- 32x- 6 6, - 3 2 sin 2x- 6 1 2,1- 32sin 2x- 6 +12, 因此,函数 y=f(x)的值域为1- 3,2. 专题一 专题二 专题三 方法技巧 三角恒等变换与三角函数图像性质的综合问题的解题 策略 运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin x+bcos x+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(x+)+k或 y=Acos(x+)+k的形式,将x+看作一个整体研究函数的性质. 专题一 专题二 专题三 变式训练 4 已知 m=(2cos x+2
15、 3sin x,1),n=(cos x,-y),且 mn.将 y 表示为 x 的函数,若记此函数为 f(x), (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)将 f(x)的图像向右平移 6个单位,再将所得图像上各点的横坐标变 为原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 g(x)的图像,求函数 g(x)在 x 0, 上的最大值与最小值. 专题一 专题二 专题三 解(1)由 mn,得 m n=2cos2x+2 3 sin xcos x-y=0,所以 y=2cos2x+2 3 sin xcos x=1+cos 2x+ 3 sin 2x=2sin 2x+ 6 +1. 由- 2+2k2x+ 6 2+2k,kZ 得- 3+kx 6+k,kZ, 即函数 y=2sin 2x+ 6 +1 的单调递增区间为 - 3 + , 6 + ,kZ. (2)由题意知 g(x)=2sin x- 6 +1, 因为 x0,所以 x- 6 - 6, 5 6 , 当 x- 6 = 2时,g(x)有最大值为 3; 当 x- 6=- 6时,g(x)有最小值为 0. 故函数 g(x)在 x0,上的最大值为 3,最小值为 0.
