1、8.1.3 向量数量积的坐标运算向量数量积的坐标运算 课后篇巩固提升 基础达标练 1.(多选)设向量 a=(1,0),b=( ),则下列结论中不正确的是( ) A.|a|=|b| B.a b= C.ab D.a-b 与 b 垂直 解析因为|a|=1,|b|= , 所以|a|b|. 又 a b=1 +0 ; 易知 a 与 b 不共线,所以 A,B,C 均不正确. 因为 a-b=( - ),且(a-b) b= (- )=0,所以(a-b)b. 答案 ABC 2.已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= ,若(a+b) c= ,则=( ) A.30 B.60 C.120 D.150 解
2、析设 c=(x,y), 则由(a+b) c= ,得 x+2y=- . 又 cos= =- , 因为 0180,则=120. 答案 C 3.已知向量 a,b 的夹角为 ,且 a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=( ) A.2 B.3 C. D. 解析|a|= - , a b=|a|b|cos =0, |a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a b+4b2=( )2+4 22=21,|a+2b|= . 答案 C 4.已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)c,则实数 k等于( ) A.- B.0 C.3 D. 解析因为 a=(k,3),b=(1,4),
3、所以 2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6). 因为(2a-3b)c, 所以(2a-3b) c=(2k-3,-6) (2,1)=2(2k-3)-6=0,解得 k=3. 答案 C 5.已知向量 a=(1,0),b=(x,1),若 a b=2,则 x= ;|a+b|= . 解析a b=2,x=2. a+b=(3,1),|a+b|= . 答案 2 6.已知 a=(-3,2),b=(-1,0),向量 a+b 与 a-2b 垂直,则实数 的值为 . 解析由题得 a+b=(-3,2)+(-1,0)=(-3-1,2),a-2b=(-1,2),则(a+b) (a-2b)=3+1+4=7+1
4、=0,=- . 答案- 7.已知向量 a,b 同向,b=(1,2),a b=20. (1)求向量 a 的坐标; (2)若 c=(2,1),求(b c)a. 解(1)因为向量 a,b 同向,又 b=(1,2), 所以设 a=b=(1,2)=(,2),0. 由 a b=20,得 1 +2 2=20, 所以 =4,所以 a=(4,8). (2)因为 b c=(1,2) (2,1)=1 2+2 1=4, 所以(b c)a=4(4,8)=(16,32). 8.已知平面向量 a=(2,2),b=(x,-1), (1)若 ab,求 x; (2)若 a(a-2b),求 a 与 b 所成夹角的余弦值. 解(1)
5、ab,x1y2-x2y1=0, 即-2-2x=0,可得 x=-1. (2)依题意得 a-2b=(2-2x,4), a(a-2b),a (a-2b)=0, 即 4-4x+8=0, 解得 x=3,b=(3,-1). 设向量 a 与 b 的夹角为 , 则 cos = . 能力提升练 1.已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则ABC的形状是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 解析 =(1,1), =(-3,3), =1 (-3)+1 3=0. ,A=90,故选 A. 答案 A 2.已知向量 =(2,2), =(4,1),在 x 轴上有一点 P,使 有
6、最小值,则点 P 的坐标是( ) A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 解析设点 P的坐标为(x,0), 则 =(x-2,-2), =(x-4,-1). =(x-2)(x-4)+(-2) (-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1. 当 x=3时, 有最小值 1,此时点 P 的坐标为(3,0).故选 C. 答案 C 3.已知向量 a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若 ab,(a+b)(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量 的模 为 . 解析ab,2 (-2)-(-1)x=0,解得 x=4, b=(4,-2),a+b=(6,-3),b-c=
7、(1,-2-y). (a+b)(b-c),(a+b) (b-c)=0, 即 6-3(-2-y)=0,解得 y=-4, =(y-x,x-y)=(-8,8),| |=8 . 答案 8 4.已知向量 m=(+2,1),n=(+1,2),若(m+n)(m-n),则向量 m,n 的夹角的余弦值为 ,m+n 在 n 方向上的投影的数量为 . 解析由题意知向量 m+n=(2+3,3),m-n=(1,-1),(m+n)(m-n), (m+n) (m-n)=(2+3) 1+(-1) 3=2=0,即 =0. 则 m=(2,1),n=(1,2),cos= . m+n=(3,3). m+n 在 n 方向上的投影的数量
8、为|m+n|cos= . 答案 5.在ABC 中,已知 =(1,2), =(4,m),m0. (1)若ABC=90,求 m的值; (2)若| |=3 ,且 =2 ,求 cosADC的值. 解(1)若ABC=90,则 =0, 因为 =(3,m-2), 所以 =3+2m-4=0,所以 m= . (2)因为| |=3 ,所以 - =3 , 因为 m0,所以 m=5,所以 =(3,3), 因为 =2 , 所以 =(1,1), =(2,2), 而 =(3,4),所以 =(-3,-4), 所以 cosADC= - - =- . 素养培优练 1.已知向量 a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin
9、),且|ka+b|= |a-kb|(k0). (1)用 k表示数量积 a b; (2)求 a b 的最小值,并求此时 a,b 的夹角 . 解(1)由|ka+b|= |a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2,所以 k2a2+2ka b+b2=3a2-6ka b+3k2b2. 所以(k2-3)a2+8ka b+(1-3k2)b2=0. 因为|a|=1,|b|=1, 所以 k2-3+8ka b+1-3k2=0, 所以 a b= . (2)由(1)得 a b= ( ),由函数的单调性的定义,易知 f(k)= ( )在(0,1上单调递减,在 (1,+)上单调递增,所以当 k=1 时,a b 的最
10、小值为 f(1)= (1+1)= . 此时 a,b 的夹角为 ,则 cos = , 又 0180,所以 =60. 2.已知向量 a=(1, ),b=(-2,0). (1)求 a-b 的坐标以及 a-b 与 a 的夹角; (2)当 t-1,1时,求|a-tb|的取值范围. 解(1)因为 a-b=(1, )-(-2,0)=(3, ), 所以 a-b 的坐标为(3, ). 设 a-b 与 a 之间的夹角为 , 则 cos = - - , 而 0,故 = . (2)因为 a-tb=(1, )-t(-2,0)=(1+2t, ), 所以|a-tb|= ( ) , 在*- - +上单调递减,在(- +上单调递增,所以 t=- 时,|a-tb|的最小值为 ,t=1 时,|a-tb|的最大值为 2 ,故|a-tb|的取值范围为 ,2 .
