1、7.3.57.3.5 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 课标阐释 1.理解符号arcsin x,arccos x,arctan x的意义. 2.已知一个三角函数值,能合理地表示出与它对应的角. 3.会用信息技术求角. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 特工人员发送情报时都用密码传送,接到密码的人员要把密码还原 到原来的文字才能有用.这种加密与还原的过程类似于数学上求函 数值与反函数值.如已知角求三角函数值是加密的过程,那么由三 角函数值求角就是还原的过程.对于某一种三角函数来说,由于每 一个三角函数值都有多个角对应,因此由三角函数值求角就变得比 较困难.究竟如何由三角函数值求角呢?下面我们来一
2、起学习吧! 激趣诱思 知识点拨 知识点一:利用三角函数线求角 如图所示,圆O为单位圆,分别写出sin 的正弦线、余弦线与正切线. (1)正弦线为MP ; (2)余弦线为OM ; (3)正切线为AT . 激趣诱思 知识点拨 微练习 利用单位圆求出 cos x-1 2的 x 的范围. 解析如图 可得 2k+2 3x2k+ 4 3,kZ. 答案 x 2k+2 3 x2k+4 3 ,kZ 激趣诱思 知识点拨 知识点二:用信息技术求角 1.任意给定一个 y-1,1,当 sin x=y且 x- 2 , 2 时,通常记作 x=arcsin y. 2.在区间0,内,满足 cos x=y(y-1,1)的 x 只
3、有一个,这个 x 记作 arccos y,即 x=arccos y. 3.在区间(- 2 , 2)内,满足 tan x=y(yR)的 x 只有一个,这个 x记作 arctan y,即 x=arctan y. 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1)arcsin(-1)= ; (2)arccos 3 2 = ; (3)arctan 3= . 答案(1)- 2 (2) 6 (3) 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 已知正弦值求角已知正弦值求角 例 1 求下列范围内适合 sin x= 3 2 的 x 的集合. (1)x - 2 , 2 ;(2)x0,2;(3)xR. 分析借助正弦函数的图像及
4、所给角的范围求解. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(1)由y=sin x在 - 2 , 2 上单调递增及反正弦函数的概念,知适合sin x= 3 2 的角 x 只有一个,即 x= 3.这时,适合 sin x= 3 2 的 x 的集合为 3 . (2)当 x0,2时,由诱导公式 sin(-x)=sin x= 3 2 及 sin 3=sin 2 3 = 3 2 , 可知 x1= 3,x2= 2 3 .这时,适合 sin x= 3 2 的 x 的集合为 3 , 2 3 . (3)当 xR 时,据正弦函数的周期性可知 x=2k+ 3(kZ)或 x=2k+2 3 (kZ)时,sin x=
5、 3 2 , 则所求的 x 的集合是 = 2 + 3 ,Z 或 = 2 + 2 3 ,Z = = (-1) 3 + ,Z . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 已知正弦值求角的解题策略 给值求角,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围条件 的约束作用.对于sin x=a(xR),-1a1,这个方程的解可表示成 x=2k+arcsin a(kZ)或x=2k+-arcsin a(kZ).从而方程的解集为 x|x=k+(-1)karcsin a,kZ. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究已知 sin x=1 4. (1)当 x 0, 2 时,求 x 的取
6、值集合; (2)当 x0,时,求 x 的取值集合; (3)当 xR 时,求 x 的取值集合. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(1)y=sin x 在 0, 2 上单调递增,sin x= 1 4, 满足条件的角只有 x=arcsin1 4,因此 x 的取值集合为 = arcsin 1 4 . (2)sin x=1 40,x0,x 为第一或第二象限角,且 sin x=sin(-x)=1 4.在0,上符合条件的角有 x=arcsin 1 4或 x=-arcsin 1 4, 因此 x 的取值集合为 = arcsin 1 4或 x=-arcsin 1 4 . (3)当 xR 时,x 的取
7、值集合为 x x=2k+arcsin1 4,kZ 或 x=2k+-arcsin1 4,kZ ,即 x x=k+(-1) karcsin1 4,kZ . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 已知余弦值求角已知余弦值求角 例2已知cos x=- . (1)若x0,求x;(2)若x0,2,求x. 分析借助余弦函数的图像及所给角的范围求解即可. 1 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(1)适合 cos x=1 2的锐角为 3, 因为 cos x=-1 20,x0,所以角 x 为钝角.又 cos - 3 =-cos 3=- 1 2,所 以 x=- 3 = 2 3 . (2)适合
8、cos x=1 2的锐角为 3, 因为 cos x=-1 20,x0,2, 所以角 x 为第二象限的角或第三象限的角. 又 cos - 3 =cos + 3 =-cos 3=- 1 2. 所以 x=- 3 = 2 3 或 x=+ 3 = 4 3 . 故适合 cos x=-1 2,x0,2的角 x 为 2 3 或 4 3 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 已知余弦值求角的解题策略 cos x=a(-1a1),当x0,时,则x=arccos a,当xR时,可先求得 0,2内的所有解,再利用周期性可求得x|x=2karccos a,kZ. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当
9、堂检测 变式训练1已知cos x=-0.345. (1)当x0,时,求x; (2)当xR时,求x的取值集合. 解(1)cos x=-0.345,且x0, x=arccos(-0.345)=-arccos 0.345. (2)当xR时,先求出0,2上的解. cos x=-0.345,x是第二或第三象限的角, 由(1)知x1=-arccos 0.345为第二象限的角, cos(+arccos 0.345)=-0.345,且+arccos 0.345 , x2=+arccos 0.345,因此当x=2k+x1或2k+x2,kZ时, cos x=-0.345,即所求x的集合为 x|x=2karccos
10、(-0.345),kZ. , 3 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 已知正切值求角已知正切值求角 例 3 已知 tan x=- 3. (1)当 x - 2 , 2 时,求角 x 的值; (2)当 x 为三角形的一个内角时,求角 x 的值; (3)当 xR 时,求角 x 的值. 分析先求出满足 tan = 3的锐角 ,再由诱导公式转换得出. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解令 tan = 3,得锐角 =arctan 3 = 3. (1)因为 tan x=- 30,x - 2 , 2 , 所以 x - 2 ,0 ,可得 x=-=- 3. (2)因为 tan x=- 30
11、,且 x 为三角形内角, 所以 x 2 , ,可得 x=- 3 = 2 3 . (3)因为 tan x=- 30,xR. 所以 x 在第二象限或第四象限,所以 x=-+2k=- 3+2k(kZ)或 x=-+2k=- 3+2k(kZ).所以 x=2k- 3(kZ)或 x=2k+ 2 3 (kZ), 因此 x=k- 3(kZ). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 对于已知正切值求角有如下规律: tan x=a (aR) x - 2 , 2 x0,2 x=arctan a 0a a0 x1=arctan a, x2=+arctan a x1=+arctan a, x2=2+arc
12、tan a 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练2已知tan x=2,且x3,4,求x.(用符号表示) 解3x4, x-3=arctan 2,得x=3+arctan 2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 已知三角函数值求角的方法已知三角函数值求角的方法 三角函数中求角的问题是一个综合性问题.如果已知一个角的三角函 数值,求这个角,我们可以按照“已知三角函数值求角”的步骤来求. 已知三角函数值求角的步骤如下: (1)由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限(或终边在哪条 坐标轴上); (2)若函数值为正数,先求出对应锐角,若函数值为负数,先求出与其绝 对值对应的锐
13、角; (3)根据角所在象限,由诱导公式得出02间的角.如果适合已知条件 的角在第一象限,则它是;如果适合已知条件的角在第二象限,则它是 -;如果适合已知条件的角在第三、第四象限,则它分别是+和2-; (4)如果要求适合条件的所有角,则利用终边相同的角的表达式来写出. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 典例 已知 A,B 为ABC 的两个内角,且满足 sin A= 2cos B, tan A= 3cos sin ,求ABC 三个内角的度数. 解tan A=sin cos = 3cos sin ,将sin A= 2cos B代入,有 2cos cos = 3cos sin . 若 cos
14、 B=0,则 sin A=0,而 A,B(0,),此时无解.cos B0,可得 cos A= 2 3sin B.由 sin A= 2cos B 及 cos A= 2 3sin B,平方后相加得 2cos2B+2 3sin 2B=1,即 sin2B=3 4,sin B= 3 2 .0B,sinB= 3 2 ,可得 B= 3或 B= 2 3 .当 B= 3时,sin A= 2cos 3 = 2 2 ,A= 4或 A= 3 4 (舍去). C=5 12.当 B= 2 3 时,sin A= 2cos2 3 =- 2 2 ,与 0A0,且最小,则 2x+45=60+x,所以x=15. 答案15 A.k,kZ B.k+ 2,kZ C.2k+ 2,kZ D.2k- 2,kZ 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.已知 2, ,且 1+tan 0,则角 的取值范围是 . 解析因为 1+tan 0,所以 tan -1,解得- 4+k 2+k,kZ; 又 2, ,所以 3 4 ,即 的取值范围是 3 4 , . 答案 3 4 ,
