1、第七章随机变量及其分布 7.4 二项分布与超几何分布 课后篇巩固提升 基础达标练 1.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局比赛都结束,假定甲每局比 赛获胜的概率均为 ,则甲以 31的比分获胜的概率为( ) A. B. C. D. 解析当甲以 31的比分获胜时,说明甲乙两人在前三场比赛中,甲只赢了两局,乙赢了一局,第四局甲 赢,所以甲以 31的比分获胜的概率为 P= 2 1- =3 ,故选 A. 答案 A 2.已知 XB(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则 n与 p 的值分别为( ) A.100和 0.08 B.20 和 0.4 C.10 和 0.2 D.1
2、0 和 0.8 解析因为 XB(n,p),所以 - 解得 n=10,p=0.8. 答案 D 3.已知随机变量 XB(100,0.2),则 D(4X+3)的值为 ( ) A.64 B.256 C.259 D.320 解析XB(100,0.2), D(X)=1000.20.8=16. D(4X+3)=16D(X)=1616=256. 答案 B 4.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列 an,an=- 第 次摸取红球 第 次摸取白球 如果 Sn为数列an的前 n项和,那么 S7=3 的概率为 ( ) A. ( ) ( ) B. ( ) ( ) C. ( ) D.
3、( ) 解析由 S7=3知,在 7次摸球中有 2 次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为 ,摸取白球的 概率为 ,则 S7=3 的概率为 ( ) ( ) ,故选 B. 答案 B 5.(2020 河北高二月考)在 10 个排球中有 6 个正品,4个次品.从中抽取 4 个,则正品数比次品数少的概 率为( ) A. B. C. D. 解析正品数比次品数少,有两种情况:0个正品、4个次品或 1 个正品、3个次品, 由超几何分布的概率可知,当 0个正品、4 个次品时,概率为 . 当 1个正品、3 个次品时,概率为 . 所以正品数比次品数少的概率为 . 答案 A 6.(2019 江苏高二期末)1
4、0件产品中有 2件次品,从中随机抽取 3 件,则恰有 1 件次品的概率 是 . 解析设事件 A 为“从中随机抽取 3 件,则恰有 1 件次品”,则 P(A)= . 答案 7.在 4 次独立重复试验中,事件 A发生的概率相同,若事件 A至少发生 1 次的概率为 ,则在 1 次试验 中事件 A 发生的概率为 . 解析设在一次试验中,事件 A 发生的概率为 p, 由题意知,1-(1-p)4= , 所以(1-p)4= ,故 p= . 答案 8.某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任 一个片区的房源是等可能的.该市的 4 位申请人中恰有 2人申请
5、A片区房源的概率为 . 解析每位申请人申请房源为一次试验,这是 4次独立重复试验,设申请 A 片区房源为 A,则 P(A)= , 所以恰有 2 人申请 A片区的概率为 ( ) ( ) . 答案 9.网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍 4人积极参加网购,大家约定:每个人通过掷一枚质地 均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为 5或 6的人去 A 网购物,掷出点数小于 5 的人去 B网购 物,且参加者必须从 A网和 B网选择一家购物. (1)求这 4 个人中恰有 1人去 A 网购物的概率; (2)用 ,分别表示这 4 个人中去 A 网和 B网购物的人数,令 X=,求随机变量 X 的分布列.
6、解依题意,得这 4 个人中,每个人去 A 网购物的概率为 ,去 B 网购物的概率为 .设“这 4个人中恰有 i 人去 A网购物”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4), 则 P(Ai)= i 4-i(i=0,1,2,3,4). (1)这 4个人中恰有 1 人去 A网购物的概率为 3= . (2)X 的所有可能取值为 0,3,4, 则 P(X=0)=P(A0)+P(A4) = 0 4+ 4 0 = , P(X=3)=P(A1)+P(A3) = 1 3+ 3 1 = , P(X=4)=P(A2)= 2 2= . 所以随机变量 X的分布列为 X 0 3 4 P 能力提升练 1.种植某种树苗,成活率为
7、 0.9.若种植这种树苗 5棵,则恰好成活 4棵的概率约为( ) A.0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45 解析根据 n 次独立重复试验中,事件 A恰好发生 k 次的概率公式得到种植这种树苗 5 棵,则恰好成活 4 棵的概率为 0.94(1-0.9)0.33,故选 A. 答案 A 2.在 4 次独立重复试验中,随机事件 A恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是( ) A.0.4,1 B.(0,0.4 C.(0,0.6 D.0.6,1) 解析由题意得, p(1-p)3 p2(1-p)2, 4(1-p)6p. 0p1,0.
8、4p1. 答案 A 3.一次测量中出现正误差和负误差的概率都是 ,在 5次测量中恰好 2 次出现正误差的概率是( ) A. B. C. D. 解析由独立重复试验的定义知,在 5次测量中恰好 2次出现正误差的概率 P= ( ) ( ) . 答案 A 4.设随机变量 XB(2,p),随机变量 YB(3,p),若 P(X1)= ,则 P(Y1)= . 解析XB(2,p),P(X1)=1-P(X=0)=1- (1-p)2= , 解得 p= .又 YB(3,p),P(Y1)=1-P(Y=0)=1- (1-p)3= . 答案 5.(2020 潍坊高三月考)有 8件产品,其中 3件是次品,从中任取 3件,若
9、 X 表示取得次品的件数,则 P(X1)= . 解析根据题意,P(X1)=P(X=0)+P(X=1) = . 答案 6.位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并 且向上、向右移动的概率都是 .质点 P移动五次后位于点(2,3)的概率是 . 解析由于质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点 P 必须 向右移动两次,向上移动三次,故其概率为 3 2= 5= 5= . 答案 7.(2020 广西高三模拟)甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的 10道题中,甲答对其中每道题的概率 都是 ,乙能答对其中的 8道题
10、,规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 4 道题进行测试,只有选 中的 4 个题目均答对才能入选. (1)求甲恰有 2 个题目答对的概率; (2)求乙答对的题目数 X 的分布列; (3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小,并说明理由. 解(1)甲在备选的 10道题中,答对其中每道题的概率都是 , 选中的 4 个题目甲恰有 2 个题目答对的概率 P= ( ) ( ) . (2)由题意知乙答对的题目数 X 的可能取值为 2,3,4,则 P(X=2)= , P(X=3)= , P(X=4)= , 故 X 的分布列为 X 2 3 4 P (3)乙平均答对的题目数 E(X)=2 +3 +4
11、. 甲答对题目数 YB 4, , 甲平均答对的题目数 E(Y)=4 . E(X)=E(Y), 甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数. 8.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 .假设两人射击是否击中目标相互之间没有影 响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲射击 4 次,至少有 1次未击中目标的概率. (2)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2次且乙恰好击中目标 3 次的概率. (3)假设每人连续 2 次未击中目标,则终止其射击.问:乙恰好射击 5次后,被终止射击的概率是多少? 解(1)记“甲连续射击 4次,至少有 1次未击中目标”为事件 A1,则事件 A
12、1的对立事件 为“甲连续射击 4 次,全部击中目标”.由题意知,射击 4次相当于做 4 次独立重复试验.故 P( )= 4= . 所以 P(A1)=1-P( )=1- . 所以甲连续射击 4次,至少有 1次未击中目标的概率为 . (2)记“甲射击 4次,恰好有 2 次击中目标”为事件 A2,“乙射击 4 次,恰好有 3次击中目标”为事件 B2, 则 P(A2)= 2 1- 2= , P(B2)= 3 1- 1= . 由于甲、乙射击相互独立, 故 P(A2B2)=P(A2)P(B2)= . 所以两人各射击 4次,甲恰有 2次击中目标且乙恰有 3 次击中目标的概率为 . (3)记“乙恰好射击 5
13、次后,被终止射击”为事件 A3,“乙第 i次射击未击中”为事件 Di(i=1,2,3,4,5), 则 A3=D5D4 D1D2 ), 且 P(Di)= . 由于各事件相互独立,故 P(A3)=P(D5)P(D4) P( )P( D1D2 ) = 1- = . 所以乙恰好射击 5次后,被终止射击的概率为 . 素养培优练 (2020福建高三模拟)一款小游戏的规则如下:每轮游戏要进行三次,每次游戏都需要从装有大小相同 的 2个红球、3 个白球的袋中随机摸出 2个球,若摸出的“两个都是红球”出现 3次获得 200 分,若摸出 “两个都是红球”出现 1次或 2次获得 20 分,若摸出“两个都是红球”出现
14、 0 次则扣除 10分(即获得-10 分). (1)设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为 X,求 X 的分布列; (2)玩过这款游戏的许多人发现,若干轮游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了,请运用 概率统计的相关知识分析解释上述现象. 解(1)每次游戏,出现“两个都是红球”的概率为 P= . X 可能的取值为 0,1,2,3, 则 P(X=0)= ( - ) ,P(X=1)= ( - ) , P(X=2)= ( ) ( - ) ,P(X=3)= ( ) , 所以 X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)设每轮游戏得分为 Y. 由(1)知,Y 的分布列为 X -10 20 200 P E(Y)=-10 +20 +200 =-1.69. 这表明,获得分数 Y 的均值为负.因此,多次游戏之后大多数人的分数减少了.
