1、 椭圆的定义与几何性质椭圆的定义与几何性质 1已知 a=4, b=1，焦点在 x 轴上的椭圆方程是 （A） 2 2 1 4 x y （B） 2 2 1 4 y x （C） 2 2 1 16 x y （D） 2 2 1 16 y x 2已知焦点坐标为(0, 4), (0, 4)，且 a=6 的椭圆方程是 （A） 22 1 3620 xy （B） 22 1 2036 xy （C） 22 1 3616 xy （D） 22 1 1636 xy 3若椭圆 22 1 10036 xy 上一点 P 到焦点 F1的距离等于 6，则点 P 到另一个焦点 F2的距离是 （A）4 （B）194 （C）94 （D）1
2、4 4已知 F1, F2是定点，| F1 F2|=8, 动点 M 满足|M F1|+|M F2|=8，则点 M 的轨迹是 秒杀秘籍：秒杀秘籍：椭圆的轨迹形成方案 定义：到两定点（定点之间距离为 2c）的距离和等于 2a（ac）的点的集合。 方案一：方案一：已知三角形周长，求一个顶点的轨迹； 例例 1：已知ABC的周长是 18，)0 , 4(),0 , 4(BA ，求点C的轨迹方程。 由定义可得4 04 0(, ), ( , )AB，点C满足10CACB为定值,所以 C 点的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆, 所以焦距 2c=|AB|=8;故椭圆方程为： 22 1 259 xy 方案二：方案二：两
3、个内切圆，已知大圆方程，且圆心过一焦点，小圆过另一焦点，求小圆的圆心轨迹； 例例 2：已知圆 22 1:( 1)16Fxy，定点 2(1,0) F动圆 M 过点 F2，且与圆 F1相内切求点 M 的轨迹 C 的方程. 已知 1 F（-1， 0） 、 2 F（1， 0） ， 在圆 22 116()xy上任取一点 P 连接 P 2 F， 作线段 P 2 F的垂直平分线 L 交 P 1 F于点 M，求点 M 的轨迹 C 的方程。 因为圆 M 与圆 F1相内切，所以 MF14r因为圆 M 过点 F2，所以 MF2r 所以 MF14MF2，即 MF1MF24所以点 M 的轨迹 C 是以 F1，F2为焦
4、点的椭圆且此椭圆的方程形式为x 2 a2 y2 b21(ab0)其中 2a4，c1，所 以 a2，b 3所以曲线 C 的方程x 2 4 y2 31 方案三：方案三：三圆相切，未知圆与两已知圆分别相切（两已知圆分别过两个焦点），求未知圆的圆心轨迹； 例例 3：已知动圆 M 和圆 C1：(x+1)2+y2=36 内切，并和圆 C2：(x-1)2+y2=4 外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。 因为圆 M 与圆 C1相内切，所以 MC16r因为圆 M 和圆 C2外切，所以 MC24+r 所以 MC1MC210所以点 M 的轨迹 C 是以 C1，C2为焦点的椭圆且此椭圆的方程形式为x 2 a2 y2 b
5、21(a b0)其中 2a10，c1，所以 a5所以曲线 C 的方程 22 1 2524 xy 方案四：方案四：过两定点（长轴或者短轴顶点）的直线斜率乘积为定值（ 2 2 b a ） 例例 4： 已知点,A B的坐标分别是(0, 1),(0,1),直线,AM BM相交于点 M,且它们的斜率之积为 1 2 .求点 M 轨迹C的方程; 设点M的坐标为( , )x y, 1 2 AMBM kk , 111 2 yy xx 整理,得 2 2 1 2 x y(0 x ),这就是动点 M 的轨迹方程。 O x y F2 F1 M （A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段 5.设椭圆的标准方程为 22
6、1 35 xy kk ，若其焦点在 x 轴上，则 k 的取值范围是 （A）k3 （B）3k5 （C）4k5 （D）3k4 6.设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C，A(1, 0)是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，AQ 的垂直平分线与 CQ 的连 线的交点为 M，则点 M 的轨迹方程为 . 7.已知ABC的三边长|,|,|CBABCA成等差数列,若点,A B的坐标分别为( 1,0),(1,0) .求顶点C的轨 迹W的方程; 8求过点 P(3, 0)且与圆 x2+6x+y291=0 相内切的动圆圆心的轨迹方程。 9.已知两圆 C1：169)4( 22 yx，C2：9)4( 22 yx，动圆
7、在圆 C1内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程 10.椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程 11.已知方程1 35 22 k y k x 表示椭圆，求k的取值范围 12.已知点,A B的坐标分别是(2,0),( 2,0),动点P与两定点连线,AP BP的斜率积是定值 1 2 ， .求点P 轨迹C的方程; 13.已知 M（4，0）、N（1，0），若动点 P 满足|6 PNMPMN。求动点 P 的轨迹方程； 14.在圆4 22 yx上任取一点 P，过 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足，当点 P 在圆上运动时，在线段 PD 上取一
8、点 N，使得 NPDN 2 3 ，求 N 的轨迹方程，并说明轨迹的形状。 例例 5：过椭圆 4x2+2y2=1 的一个焦点 F1的弦 AB 与另一个焦点 F2围成的三角形ABF2的周长是 解：解：椭圆 4x2+2y2=1 整理得 22 11 42 1 xy ；三角形ABF2的周长是 1 442 2 2 a 。 例例 6：过椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的一个焦点 F 作弦 AB，若 1 |dAF ， 2 |dBF ，则 21 11 dd 的数 值为（ ） A 2 2 a b B 2 2 b a C 2 a ba D与 a、b 斜率有关 解：解： 2 11 cos | b
9、 AFd ac ； 2 12 cos | b BFd ac ；故 222 12 11coscos2acaca ddbbb 例例 7：设直线1: xyl与椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 相交于 A、B 两个不同的点， 与 x 轴相交于点 F. （1）证明：; 1 22 ba（2）若 F 是椭圆的一个焦点，且FBAF2，求椭圆的方程. 解：解：（1） 22 2222222 22 1 20 1 xy abxa xaa b ab yx ，因为直线与椭圆有两个交点，故0 ，带入 数据得 222222 4101a babab ；（2） 22 22 coscos bb AFFB aca
10、c ，又 F 是椭圆 的一个焦点，故 2 1 cos 2 ,c；代入可得： 3 214 22 ,ab ；故椭圆的方程 22 22 1 97 xy 。 例例 8：设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点0 , 2，离心率为 2 3 .（1）求椭圆的方程；（2） 若椭圆左焦点为 1 F，右焦点 2 F，过 1 F且斜率为 1 的直线交椭圆于B，求 2 ABF的面积. 解：解：（1）根据题意 3 31 2 ,ecb，故椭圆方程为： 2 2 1 4 x y； （2） 2 222 2 222222 1 2 2 2 13122sin4 6 2 sin 22435coscos ABF AB h abab
11、 c Sc acac 秒杀秘籍：秒杀秘籍：过焦点的三角形周长和面积 定理定理 1：过椭圆 22 22 1 xy ab 的一个焦点 F1的弦 AB 与另一个焦点 F2围成的三角形ABF2的周长是4a; 定定理理 2：A 是椭圆 x a y b a b 2 2 2 2 10 ()上一点， 21,F F是左、右焦点， 12 AFF为， 21 AF F为，c 是椭圆半焦距，则（1） 2 1 cos | b AF ac ；（2） 2 2 cos | b AF ac （3） 222 2 cos 2 | ca ab AB 定理定理 3： 2 22 222222 122sin 2 sin 22coscos A
12、BF AB h abab c Sc acac ; 2 2 222 sin 2cos AOB AB h ab c S ac 证明：（1）如图所示， 1212 | 2 ;| 2AFAFa BFBFa,故 22 | 4ABAFBFa； (2)设 1122 |;|;| 2;| 2AFm BFn AFam BFan，由余弦定理得 22 2 2222cosmcammc；整理得 2 1 cos | b AF ac 22 2 2222cos 180ncannc；整理得 2 1 cos | b BF ac 则过焦点的弦长 2 222 2 cos | ab ABmn ac 。（焦长公式） y O F2 A B x
13、 F1 15.椭圆C的中心为原点,焦点 12 ,F F在x轴上,且 2 2 c a .过 1 F的直线l交C于,A B两点,且 2 ABF的周长 为 16,那么C的方程为_. 16.已知ABC的顶点 B、C 在椭圆1 3 2 2 y x 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则ABC的周长是（ ）. A.32 B.6 C. 34 D. 12 17. 21,F F分别是椭圆1 79 22 yx 的左右两个焦点，A 为椭圆上一点，且45 21F AF，则 21F AF的面 积为（ ） A. 7 B. 4 7 C. 2 7 D. 2 57 18.过椭圆 22 1 54
14、xy 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于A B，两点,O为坐标原点,则OAB的 面积为_. 19. 已 知 1 F为 椭 圆 2 2 :1 2 x Cy的 左 焦 点 , 直 线1: xyl与 椭 圆C交 于BA、两 点 , 那 么 11 |F AFB的值为_. 20.过椭圆 22 :1 43 xy C的左焦点F作倾斜角为60的直线l与椭圆交于AB、两点，则 11 |AFBF A 4 3 B 3 4 C 3 5 D 5 3 21.已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 2 .设 L 为过椭圆右焦点 F 的直线，交椭圆于 M、N 两点， 且 L 的倾斜角
15、为 0 60.则 |MF| |NF| . 22.已知 12 ( 1,0),(1,0)FF是椭圆 C 的两个焦点,A、B为过 1 F的直线与椭圆的交点,且 2 F AB的周长为 34.()求椭圆 C 的方程;()判断 11 11 F AFB 是否为定值,若是求出这个值,若不是说明理由. 23.已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆,左焦点)0 , 1( 1 F,一个顶点坐标为(0,1)(1)求椭圆方程;(2)直线l过 椭圆的右焦点 2 F交椭圆于 A、B 两点,当 AOB 面积最大时,求直线l方程 24.已知椭圆1 23 22 yx 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过 1 F的直线交椭圆于 B、 D 两点，过 2 F的直线交椭圆于 A、C 两点，且BDAC ，垂足为 P.（1）设 P 点 的坐标为），（ 00 yx，证明： 23 2 0 2 0 yx 1.（2）求四边形 ABCD 的面积的最小值. 2 F A B C D O x y 1 F P
