1、. 专题五专题五 数列数列 自查网络 核心背记 一，数列的概念 1.按一定_ 的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的_ 2根据数列的项的个数多少可以对数列进行分类：项数有限的数列称为 ；项数无限 的数列称为 按照项与项之间的大小关系，数列可以分为： 3一般地，对于数列.a 如果从第 2 项起，满足 ，那么这个数列叫做递增数 列；若满足 ，那么这个数列叫做递减数列 4.从函数的观点来看，数列可以看作以为定义域的函数 f（n） 5.如果数列（a）的 一之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列 的通项公式 6如果已知数列a的第一项（或前几项） ，且 可以用个公式来表示，秀么
2、这个公式就 叫做这个数列的递准公式递推公式也是表示数列的一种重要形式7对于数列a） ，它的 前 n 项和 S。与通项“。满足： 二、等差数列 1一般地，如果一个数列从 每一项与它的前一项的 等于 ，这个数列叫做等差 数列，等差数列的公差，通常用 d 表示，等差数列n。 ）的递推关系为 2.等差数列的通项公式为 一，ai 为首项，d 为公差 3.等差数列的通项公式的变形：如果已知等差数列an的项 an（m，nN） ，则_；求 d 的公式： ；求 n 的公式： 4.由如一幽+(n，-d)，所以等差数列可表示为项数，z 为点的横坐标，项 a“为点的纵坐标的 点（n，a。 ）在一条以上当 一时，数列为
3、常数列； 时，数列为递增数列； 一 时，数列为递减数列， . 9设 S 是等差数列aN的前 n 项的和，s，Sb, -S，S3。一SZR，构成公差为_的等差 数列 三，等比数列 1等比数列al的定义可简写为：若 或_，q 为常数，则数列aH）是等比数列 2等比数列的通项公式为 （n，为首项，g 为公比） 公式可变形为_ 3等比数列a） ，当 q0，且 gl 时，其图象是函数 图象上的一群孤立的点 4等比中项的变形式为_ 5根据等比中项可得等比数列的任意兰项的关系： 或 将上述公式推广可得： 若 m 十牡一夕+q（m,咒，p，qN） ，则 若 m+n=2p，(m，孢，声N*)， 则 6等比数列的
4、前 n 项和公式为_当已知等比数列的首项 at、公比 q、项数 n 时，用公 式 ，当已知等比数列的首项 m、公比 q、通项 a 时，用公式_ 7等比数列的前，n 项和公式可以写成形式， 五，数列求和 （一）错位相减法这种方法主要用于数列an的通项公式为满足： 如-：缸一且既）是等差数列，f“为等比数列的形式通 过错位相减便可得到等比数列， 从而可以利用等比数列的 前 n 项和公式求解当然还有其他的求解的办法，如倒序相加法 等请同 学们在遇到具体的数列问题时灵活处理 （二）分组求和法这种方法主要用来求数列口。的通项公式满足：a。= b 十厶，而b 是等差数列，岛）为等比数列的形式的数 列可考虑
5、分别求得6n，a的前 n 项和从 . 而得到an）的 前 n 项和 （三）裂项相消法 （四）倒序相加法如果将一个数列倒过来排列（反序） 当它与原数列相加时，若有公因式 可提，而剩余的部分和易求或者每两项的和为定值则可用此法 （五）相关公式 参考答案 一、 1顺序排列项 2有穷数列无穷数列递增数列、递减数列、常数列、摆动数列， . . 规律探究规律探究 1如果已知一个数列的通项公式，把项数 n 换成具体的值，就可以求出数列的相应项；反 过来，如果已知一个数是数列的一项，那么只需将这个数代入 a。 ，就可以求出该数是数列 的哪一项 2递推公式包含两部分：初始条件(ai 或者必需的前几项)，递推关系
6、（其中的任意两项或 者多项之间的关系） 有些数列的递推公式可转化为其通项公式 3 对于 S 与 a。 的关系， 若 at 适合 a,(n2)， 则用一个公式表示 an， 若 ai 不适合 n。 （n2） ， 则要用分段形式表示 an直接利用 an=Sm- Sn-l 求 a 就认为是数列的通项公式的做法是错 误的 4数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，我们可用函数的有关性质解决数列的最值、 取值范围等问题，但要注意数列这种函数的定义域为正整数集 5d=a2 -ai =aa -a2 =a4 -a3 一一%一口r1，即任意的连续两项的后项减去前项，为等 差数列的公差 6等差数列的定义是证明或判断一
7、个数列是不是等差数列的重要依据要证明一个数列是 不是等差数列，只 需证明当雄2 时，口。-a。一 i 为常数 d（或当雄N*时， %+l 一 为同-d）即可 7等差数列通顼公式中的首项 n与公差 d，称为等 差数列的基本量，数列的每一项都是 由一个 a 和 n-l 个 d 构成的两个项的不同之处在于 d 的个数的差异，很多 问题解决起 来感到没有思路的时候， 可以考虑将所有的条 件转化为关于基本量的式子，思路会豁然开 朗 8通过等差数列的通项公式的详细研究可知：可以 由首项和公差求出等差数列中的任 意项已知等差数列 的任两项，可以确定等差数列的任意项 9通过等差数列的蘧项公式的函数特性的分析可
8、知： 如果数列%的通项公式为 a。= pn+q(p，口为常数)，则 这个数列为等差数列 lO2一口。十 1+an-i（雄2）可以用来证明一个数歹 4 是 不是等差数列特别是在 利用等差数列的定义证明问题困 难比较大的时候应该想到这个公式也可利用其变形式 . 公式是否满足上述特点来判断某数列是不是非常数列的等比数列 21对于数列的求和问题，一般先要仔细地分析数列的通项公式特点，在分析通项的基础 上再来确定选用哪种求和方法 22.错位相减法运算较为复杂，有时还需讨论其中的字母是否适合应用等比数列的前 n 项和 公式，掌握起来比较难 . 实际应用 参考答案 1 【答案】B 【命题立意】本题考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用及等差中 项的概念，考查学生的运算能力和方程组的思想
