1、. 20132013 年高考数学总复习年高考数学总复习 8 8- -5 5 双曲线但因为测试双曲线但因为测试 新人教新人教 B B 版版 1.(文)(2011烟台调研)与椭圆x 2 4y 21 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是 ( ) A.x 2 4y 21 B.x 2 2y 21 C.x 2 3 y 2 31 Dx 2y 2 21 答案 B 解析 椭圆的焦点 F1(3，0)，F2(3，0)， 由双曲线定义知 2a|PF1|PF2| 3 21 3 21 84384322， a2，b 2c2a21， 双曲线方程为x 2 2y 21. (理)(2011山东理，8)已知双曲线x 2 a 2y
2、 2 b 21(a0，b0)的两条渐近线均和圆 C：x 2 y 26x50 相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) A.x 2 5 y 2 41 B.x 2 4 y 2 51 C.x 2 3 y 2 61 D.x 2 6 y 2 31 答案 A 解析 依题意：C 方程为(x3) 2y24，圆心 C(3,0)，半径 r2，双曲线 的右焦点 F2为(3,0)，即 c3.又双曲线的渐近线方程为 yb ax，即 bxay0， |3b| a 2b22，即 b2，a 2945，故选 A. 2(文)(2011巢湖质检)设双曲线y 2 m x 2 21 的一个焦点为(0，2)，则双曲
3、线的离 心率为( ) A.2 B2 . C.6 D2 2 答案 A 解析 由条件知 m24，m2， 离心率 e 2 2 2. (理)(2011浙江金华十校模拟)若椭圆x 2 a 2y 2 b 21(ab0)的离心率为 3 2 ，则双曲线x 2 a 2 y 2 b 21 的离心率为( ) A.5 4 B. 5 2 C.3 2 D. 5 4 答案 B 解析 因为椭圆的离心率 e 3 2 ， 即c a 3 2 ， 也即a 2b2 a 23 4， 所以 b 2 a 21 4， 则 1 b 2 a 2 5 4，即 a 2b2 a 25 4，则双曲线离心率 e c a 5 2 ，故选 B. 3(文)(20
4、11南昌一模)设 F 为双曲线x 2 16 y 2 91 的左焦点，在 x 轴上 F 点的右侧有 一点 A， 以 FA 为直径的圆与双曲线左、 右两支在 x 轴上方的交点分别为 M、 N， 则|FN|FM| |FA| 的值为( ) A.2 5 B.5 2 C.5 4 D.4 5 答案 D 解析 对点 A 特殊化， 不妨设点 A 为双曲线的右焦点， 依题意得 F(5,0)， A(5,0)， |FN|NA|8，|FM|NA|，所以|FN|FM|8，|FN|FM| |FA| 8 10 4 5，选 D. (理)(2011新泰一中模拟)设 P 是双曲线x 2 a 2y 2 b 21(a0，b0)左支上的
5、一点，F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点，则以|PF2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置 关系是( ) . A内切 B外切 C内切或外切 D不相切 答案 A 解析 如下图，取 PF2的中点 M，则 2|OM|F1P|，且 O、M 为两圆圆心，OM 为圆心 距 由双曲线定义可知|PF2|PF1|2a， 即 2|MF2|2|OM|2a，|OM|MF2|a， 即圆心距等于两圆半径之差，则两圆内切 4(文)(2011青岛一检)设 F1，F2分别是双曲线 x 2y 2 91 的左、右焦点，若点 P 在 双曲线上，且PF1 PF2 0，则|PF1 PF2 |( ) A.10 B2 10 C.5
6、 D2 5 答案 B 解析 如下图F1、F2为双曲线的左右焦点，F1( 10，0)，F2(10，0)，由向 量加法的平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知，|PF1 PF2 |2PO |210， 故选 B. (理)(2011湖南湘西联考)已知双曲线x 2 m y 2 71，直线 l 过其左焦点 F 1，交双曲线左 支于 A、 B 两点， 且|AB|4， F2为双曲线的右焦点， ABF2的周长为 20， 则 m 的值为( ) . A8 B9 C16 D20 答案 B 解析 由已知，|AB|AF2|BF2|20，又|AB|4，则|AF2|BF2|16. 据双曲线定义，2a|AF2|AF1|B
7、F2|BF1|，所以 4a(|AF2|BF2|)(|AF1| |BF1|)16412，即 a3，所以 ma 29，故选 B. 5已知方程 x 2 1k y 2 1k1 表示双曲线，则 k 的取值范围是( ) A10 Ck0 Dk1 或 k0， 10)的一条渐近线方程为 3x2y0， 则 a 的值为_ 答案 2 解析 焦点在 x 轴上，渐近线方程为 y3 ax， 又一条渐近线方程为3 2x，a2. 8(文)(2011江西文，12)若双曲线y 2 16 x 2 m1 的离心率 e2，则 m_. 答案 48 解析 16m 4 2， m48. (理)(2011辽宁理，13)已知点(2,3)在双曲线 C
8、：x 2 a 2y 2 b 21(a0，b0)上，C 的焦距 为 4，则它的离心率为_ 答案 2 解析 ? ? ? ? ? 4 a 2 9 b 21 a 2b24 ，? ? a 21 b 23 ， a1，c2，ec a2. 9(文)(2011长沙二模)设椭圆 C1的离心率为 5 13，焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若 曲线 C2上的点到椭圆 C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2的标准方程为 _ 答案 x 2 16 y 2 91 解析 由已知得在椭圆中 a13，c5，曲线 C2为双曲线，由此知道在双曲线中 a 4，c5，故双曲线中 b3，双曲线方程为x 2 16 y 2 9
9、1. . (理)(2011宁波二模)设双曲线 C：x 2 a 2y 2 b 21(a0，b0)的右焦点为 F，O 为坐标原 点若以 F 为圆心，FO 为半径的圆与双曲线 C 的渐近线 yb ax 交于点 A(不同于 O 点)，则 OAF 的面积为_ 答案 ab 解析 因为右焦点 F(c,0)到渐近线 yb ax，即 bxay0 的距离为 |bc| a 2b2b，所 以|OA|2a，故OAF 的面积为1 22abab. 10(文)设双曲线 C：x 2 a 2y 21(a0)与直线 l：xy1 相交于两个不同的点 A，B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围； (2)设直线 l 与 y
10、轴的交点为 P，若PA 5 12PB ，求 a 的值 解析 (1)将 yx1 代入双曲线x 2 a 2y 21 中得(1a2)x22a2x2a20 由题设条件知，? ? 1a 20 4a 48a2 a 2 ， 解得 0 6 2 且 e2. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1) PA 5 12PB ， (x1，y11) 5 12(x 2，y21)x1 5 12x 2， x1、x2是方程的两根，且 1a 20， 17 12x 2 2a 2 1a 2， 5 12x 2 2 2a 2 1a 2， 消去 x2得， 2a 2 1a 2289 60 ， . a0，a17 13. (理)
11、(2011江西理， 20)P(x0， y0)(x0a)是双曲线 E： x 2 a 2y 2 b 21(a0， b0)上一点， M、N 分别是双曲线 E 的左、右顶点，直线 PM，PN 的斜率之积为1 5. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB ，求 的值 解析 (1)点 P(x0，y0)(x0a)在双曲线x 2 a 2y 2 b 21 上，有x 2 0 a 2y 2 0 b 21 由题意又有 y0 x0a y0 x0a 1 5，可得 a 25b2，c2a2b26b2，则 ec
12、 a 30 5 . (2)联立? ? x 25y25b2 yxc ，得 4x 210cx35b20，设 A(x 1，y1)，B(x2，y2) 则 ? ? ? ? ? x1x25c 2 ， x1x235b 2 4 ， 设OC (x3，y3)，OC OA OB ，即? ? x3x1x2 y3y1y2 又 C 为双曲线上一点，即 x 2 35y 2 35b 2，有(x 1x2) 25(y 1y2) 25b2， 化简得： 2(x2 15y 2 1)(x 2 25y 2 2)2(x1x25y1y2)5b 2， 又 A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以 x 2 15y 2 15b 2，x2
13、25y 2 25b 2， 由式又有 x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c 210b2 得： 240，解出 0，或 4. 11.(文)(2011皖南八校联考)已知抛物线 x 24 3y 的准线过双曲线x 2 m 2y 21 的 一个焦点，则双曲线的离心率为( ) A.3 2 4 B.3 10 4 . C.3 D. 3 3 答案 C 解析 易知抛物线的焦点坐标为(0， 3)，其准线方程为 y 3，双曲线x 2 m 2 y 21 的焦点坐标为(0， m 21)， m 213c2，c 3， 双曲线的离心率为 ec a 3. (理)(2011山东潍坊一中期末)已
14、知抛物线 y 22px(p0)与双曲线x 2 a 2y 2 b 21 有相同 的焦点 F，点 A 是两曲线的交点，且 AFx 轴，则双曲线的离心率为( ) A. 51 2 B.31 C.21 D.2 21 2 答案 C 解析 由 AFx 轴知点 A 坐标为? ? ? ? ? p 2，p ，代入双曲线方程中得， p 2 4a 2p 2 b 21，双 曲线与抛物线焦点相同，cp 2，即 p2c， 又 b 2c2a2，4c 2 4a 2 4c 2 c 2a21， 由 ec a代入整数得，e 46e210， e1，e 232 2，e21. 12(文)(2011浙江文，9)已知椭圆 C1：x 2 a 2
15、y 2 b 21(ab0)与双曲线 C2：x 2y 2 41 有公共的焦点，C2的一条渐近线与以 C1的长轴为直径的圆相交于 A、B 两点，若 C1恰好将 线段 AB 三等分，则( ) Aa 213 2 Ba 213 Cb 21 2 Db 22 答案 C 解析 . 由已知双曲线渐近线为 y2x.圆方程为 x 2y2a2，则|AB|2a.不妨取 y2x 与 椭圆交于 P、Q 两点，且 P 在 x 轴上方，则由已知|PQ|1 3|AB| 2a 3 ， |OP|a 3.则点 P 坐标为( 5a 15 ，2 5a 15 )， 又点 P 在椭圆上， 5a 2 225 a 2 20a 2 225 b 21
16、. 又a 2b25，b2a25.，解得 ? ? ? ? ? a 211 2 b 21 2 . 故选 C. (理)(2011江西南昌调研)设圆 C 的圆心在双曲线x 2 a 2y 2 21(a0)的右焦点上，且与 此双曲线的渐近线相切，若圆 C 被直线 l：x 3y0 截得的弦长等于 2，则 a( ) A.14 B.6 C.2 D2 答案 C 解析 由条件知， 圆心 C(a 22， 0)， C 到渐近线 y 2 a x 的距离为 d 2 2a 2 2为C 的半径，又截得弦长为 2，圆心 C 到直线 l：x 3y0 的距离 a 22 2 1， a 22，a0，a 2. . 13已知中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线为 mxy0，若 m 为集 合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任意一个值， 则使得双曲线的离心率大于 3 的概率是_ 答案 7 9 解析 由题意
