1、 理科数学答案 第 1 页(共 5 页) 达州市普通高中达州市普通高中 20212021 届第一次诊断性测试届第一次诊断性测试 理科数学参考答案理科数学参考答案 说明：说明： 本解答给出了一种或几种解法供参考，考生的解答可能与本解答不同。 一、选择题：一、选择题： 1. B 2. D 3.A 4.C 5.C 6.A 7.A 8. D 9. A 10. B 11.D 12.D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 1312 14 25 24 15 2 9 16(12， 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或
2、演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解：(1) 1 2 nn aa ， n a是公差为2的等差数列. 1 a， 4 a， 13 a成等比数列， 2 41 13 aa a， 2 111 (6)(24)aa a， 22 1111 123624aaaa， 1 3a ， 21 n an. (2) 1 1 n nn b a a ， 1111 () (21)(23)2 2123 n b nnnn . 1 1111111 114 ()() 2 355721232 32327 n T nnn . 118 32327n ， 11 2327n ， 12n . 18解：(1)证明：由BCAB ，D
3、ADC 知 BD为AC的中垂线，BDAC， 又MD 平面ABCD，MDAC，又DMDBD， AC 平面MBD. P为MB上任意一点，DP 平面MBD， DPAC. (2)以O为坐标原点，OA所在直线为x轴， OB所在直线为y轴，过O与DM的平行 线为z轴，如图建立空间直角坐标系. 由题意得，60CBO 4CB ，COBO ， 2OB ,32OC. 2 7CD ， 22 4ODCDCO. MD 平面ABCD，直线MB与平面ABCD所成角为MBD. 2 5 cos 5 MBD， 1 tan 2 MBD，6BD ，3MD . (2 30 0)A， ，,( 2 30 0)C ， ，(043)M， ，(
4、0 2 0)B ， ，. 理科数学答案 第 2 页(共 5 页) 由条件可设MPMB，设( , , )Pm n k，( ,4,3)(0,6, 3)m nk， 0 64 33 m n k ，(0,64,3 3 )P， (2 3,46 ,33)PA，( 2 3,46 ,33)PC ， 设平面PAC的法向量( , , )x y zm，则 0 0 PA PC m m ， 2 3(46 )(33)z0 2 3(46 )(33)z0 xy xy ，令1y ， 0 1 64 33 x y z ， 64 (0,1,) 3 3 m， 取平面ABCD的法向量(0,0,1)n， 二面角PACB为 3 4 ， 2 6
5、4 | 2 33 |cos,| 264 11 () 33 m n， 64 1 33 或 64 1 33 1 3 或 7 9 ，二面角PACB为钝角，由图知 1 3 点P是线段MB靠近点M的三等分点 19解：(1) 三个工程队的选择相互独立， 记3个工程队所选择的产业类别互不相同为事件D, 则 3 3 1111 ( ) 6326 P DA . 所以，3个投资公司选择的项目所属产业互不相同的概率为 1 6 (2)记3个工程队中选择产业A的工程队的个数为， 由已知， 1 (3) 6 B， 则 03 3 5125 (0)( ) 6216 PC， 12 3 1 525 (1)( ) 6 672 PC，
6、理科数学答案 第 3 页(共 5 页) 22 3 155 (2)( ) 6672 PC， 33 3 11 (3)( ) 6216 PC， 故的分布列为： 25511 ( )123 72722162 E （或 11 ( )3 62 E ）. 20. 解：(1)由题意得：曲线C上的点满足到点)0 , 3(，)0 , 3(的距离之和为4，42 3 曲线C为椭圆，设为 22 22 1(0) xy ab ab ， 23ac，1b ，曲线C的方程为：1 4 2 2 y x . (2)由题意知，线段AB与线段MN的中点重合, 设其方程为)(mxky，且0k. 直线l与圆相切，则圆心O到l的距离为1 1 2
7、k km d， 即 222 1k mk 设切点 00 ()N xy，则1 2 0 2 0 yx，又0ON MN， 0)( 2 000 ymxx， m x 1 0 ， 联立椭圆C与直线l得 )( 44 22 mxky yx ，化简得0) 1(48)41 ( 22222 ktxmkxk 设),(),( 2211 yxByxA，则 2 2 21 41 8 k mk xx ， 120 xxmx， 2 2 81 1 4 mk m km 由得： 2 1 2 k， 将其代入得 3m. 21. 解：(1) 2 ( )2lnf xxmx， 2 ( )2fxmx x ，(1)223fm， 1 2 m 又 1 (1
8、)0 2 fm，切线方程为) 1(3 2 1 xy， 所以，所求切线方程为0526 yx. 0 1 2 3 P 125 216 72 25 72 5 216 1 理科数学答案 第 4 页(共 5 页) (2)( )( )( )h xf xg x， 2 ( )2ln2h xxxnx， 2 21 ( )222(0) xnx h xxnx xx ， 由题意知( )0h x 在(0)，上有解，0 x ，设 2 ( )1k xxnx， 又 10 3 n， 2 40n ， 12 xxn， 12 1x x . 【方法一】 111 222222 11 21222 22 11 ln()()ln()() 22 x
9、x yxxn xxxxxx xx . 12 0 xx，设 2 1 x x t ，则1t， 令) 1 ( 2 1 ln)( t tttp，1t， 则 2 22 111(1) ( )(1)0 22 t p t ttt ， ( )p t在(1)，上单调递减， 10 3 n， 2 22 12 12 12 ()1100 ()2 9 xx nxxt x xt ， 2 9829(91)(9)0tttt，解得9t， 1140 ( )(9)ln9(9)2ln3 299 p tp， 故原式最大值为 9 40 3ln2. 【方法二】 2 2 12 12 ()xx n x x ， 12 0 xx， 10 3 n ，
10、2 1 2 4 2 xnn x 2 1 2 4 ( 2 xnn x 不合题意，舍) 又 22 121212 ()44xxxxx xn， 1 2222 1 212 2 11 ln()()2ln(4)42ln2 22 x yxxn xxnnn n x 2 2 4 0 4 n y n ， 22 1 2ln(4)42ln2 2 ynnn n在 10 ,) 3 递减 所以，当 10 3 n 时，y最大，且最大值为 9 40 3ln2 22. 解：(1)由题意得，曲线C的普通方程为4 22 yx， l的直角坐标方程为：015 yx. )( 2 1 ln 2 1 ln 1 2 2 1 2 1 21 2 2
11、2 1 2 1 x x x x x x xx xx x x 理科数学答案 第 5 页(共 5 页) (2)曲线C经过伸缩变换 1 2 xx yy 得到曲线为 2 2 1 4 y x ， 即曲线M为 2 2 1 4 y x 设点(cos2sin )P，则点P到l：5 10 xy 的距离为 cos2sin515sin()51 1 12 d ， 2 2 2 155 min d 23. 解：(1)1a 时，3|24|)(xxxf， 当 1 2 x时，( )0f x 可化为( )4230f xxx ， 解得 1 1 2 x ； 当 2 1 x时，( )0f x 可化为( )2430f xxx ， 解得 11 32 x 综上可得，原不等式的解集为 1 |1 3 xx (2) 1 (4)5() 2 ( ) 1 (4)1(). 2 a xx f x axx ， 若函数)(xf有最小值， 则当 2 1 x时，函数)(xf递减，当 1 2 x时，函数)(xf递增， 或者一边为常函数，一边为单调函数且存在最小值， 40a且40a或4a 或4a ， 所以，实数a取值范围是 4,4.
