1、 第 1 页（共 24 页） 2019-2020 学年广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷学年广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）实数2sin45、4cos60、2、 4 四个数中，最大的数是( ) A2sin45 B4cos60 C2 D 4 2 （3 分）如图是一个零件的示意图，它的俯视图是( ) A B C D 3 （3 分）若23ba，则( b a ) A6 B2 C 2 3 D 3 2 4 （3 分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A对角线互相垂直 B对角线相等 C对角线互相平分
2、D对角互补 5 （3 分）关于x的一元二次方程 2 320axx有两个不相等的实数根，则a的值可以是( ) A3 B2 C1 D0 6 （3 分）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和 15 个黄球，这些球除颜色 不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很 多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在 0.75，则袋中白球有( ) A5 个 B15 个 C20 个 D35 个 7 （3 分）河堤横断面如图所示，堤高3BCm，迎水坡AB的坡比为1:3，则斜坡AB的 长为( ) 第 2 页（共 24 页） A3m B3 3m C6m D12m 8（3 分） 如图，EF过平行四边形A
3、BCD的对角线的交点O， 交AD于点E， 交BC于点F， 已知4AB ，6BC ，3OE ，那么四边形EFCD的周长是( ) A16 B13 C11 D10 9 （3 分）关于二次函数 2 611yxx的图象与性质，下列结论错误的是( ) A抛物线开口方向向下 B当3x 时，函数有最大值2 C当3x 时，y随x的增大而减小 D抛物线可由 2 yx经过平移得到 10 （3 分）如图，Rt ABC，90BAC，2AB ，3AC ，斜边BC绕点B逆时针方向 旋转90至BD的位置，连接AD，则AD的长是( ) A2 13 B29 C5 2 D26 11 （3 分）如图，在ABC中，/ /BCx轴，点A
4、在x轴上，5ABAC，点M、N分别 是线段BC与BA上两点（与三角形顶点不重合） ，当BMNACO ， 3 sin 5 BMN时，反 第 3 页（共 24 页） 比例函数(0,0) k ykx x 的图象经过点M，则k的值是( ) A2 B3 C4 D6 12（3 分） 如图， 已知二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象如图所示， 对称轴为直线1x 分析下列 5 个结论：23cb；若03x，则 2 0axbxc； 22 ()acb； 222222 (1)(1)(2)(2)(a kb ka kb kk为实数） ； 222 (a mabm aab m为实数） 其 中正确的结论个数有( ) A1
5、 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 12 分）分） 13（3 分） 方程240 x 的解也是关于x的方程 2 20 xmx的一个解， 则m的值为 14 （3 分）若抛物线 22 (2)(4)1ymxmxm的顶点在y轴上，则m 15（3 分） 如图， 在边长为 4 的正方形ABCD中，E，F分别为BC、CD的中点， 连接AE， BF交于点G，将BCF沿BF对折，得到BPF，延长FP交BA延长线于点Q，分析下列 四个结论： QBQF； 2 5 5 BG ； 4 tan 3 BQP；2 BGEECFG SS 四边形 ， 其中正确的是 第 4 页（共
6、 24 页） 16 （3 分）如图，矩形ABCD中，20AB ，30AD ，点E，F分别是AB，BC边上的 两个动点，且10EF ，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则 GHCH的最小值为 三、解答题（共三、解答题（共 52 分）分） 17 （5 分）计算： 20 23tan60| 3| (2sin603) 18 （6 分）在一个不透明的布袋里装有 4 个标有1，2，3，4 的小球，它们的形状、大小、 质地完全相同，小李从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小张在剩下的 3 个小球中 随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点Q的坐标( , )x y （1）画树状图或
7、列表，写出点Q所有可能的坐标； （2）求点( , )Q x y落在第二象限的概率 19 （7 分）为庆祝中华人民共和国成立 70 周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测 量“平安金融中心” AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角 为32，测得“平安中心” AB的顶部A处的仰角为44登上大厦DE的顶部E处后，测 得“平安中心” AB的顶部A处的仰角为60， （如图） 已知C、D、B三点在同一水平 直线上，且400CD 米，求平安金融中心AB的高度 （参考数据：sin320.53 ， cos320.85 ，tan320.62 ，tan440.99 ，21.41，31.73
8、) 第 5 页（共 24 页） 20 （8 分）如图，在四边形ABCD中，ABAD，AC与BD交于点E，ADBACB （1）求证： ABAC AEAD ； （2）若ABAC，:1:2AE EC ，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形 21 （8 分）某种商品的标价为 600 元/件，经过两次降价后的价格为 486 元/件，并且两次 降价的百分率相同 （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为 460 元/件，两次降价共售出此种商品 100 件，为使两次降价销售 的总利润不少于 3788 元问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 22 （9 分）如图，直线(0)yaxb a
9、与双曲线(0) k yk x 交于一、三象限内的A，B两 点与x轴交于点C，点A的坐标为(2,)m，点B的坐标为( 1, )n， 2 13 cos 13 AOC （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）点Q为y轴上一点，ABQ是以AB为直角边的直角三角形，求点Q的坐标； （3）点(P s，)(2)t s 在直线AB上运动，/ /PMx轴交双曲线于M，/ /PNy轴交双曲线 于N，直线MN分别交x轴，y轴于E，D，求 33OE ODt 的值 23（9 分） 在平面直角坐标系中， 抛物线 2 3yaxbx与x轴的两个交点分别为A、(1,0)B， 与y轴交于点D，直线:3AD yx，抛物线顶
10、点为C，作CHx轴于点H 第 6 页（共 24 页） （1）求抛物线的解析式； （2） 抛物线上是否存在点M， 使得 3 8 ACDMAB SS ？若存在， 求出点M的坐标； 若不存在， 说明理由； （3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合） ，PQAC于点Q，当 PCQ与ACH相似时，求点P的坐标 第 7 页（共 24 页） 2019-2020 学年广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷学年广东省深圳市罗湖区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）实数2sin45、
11、4cos60、2、 4 四个数中，最大的数是( ) A2sin45 B4cos60 C2 D 4 【解答】解： 2 2sin4522 2 ， 1 4cos6042 2 ， 222 4 ， 4cos602sin452 4 ， 实数2sin45、4cos60、2、 4 四个数中，最大的数是4cos60 故选：B 2 （3 分）如图是一个零件的示意图，它的俯视图是( ) A B C D 【解答】解：从上面看该零件的示意图是一个大矩形，且中间有 2 条实线段， 故选：C 3 （3 分）若23ba，则( b a ) A6 B2 C 2 3 D 3 2 【解答】解：23ba， 第 8 页（共 24 页）
12、3 2 b a ， 故选：D 4 （3 分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A对角线互相垂直 B对角线相等 C对角线互相平分 D对角互补 【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求； B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求； C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求； D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求； 故选：A 5 （3 分）关于x的一元二次方程 2 320axx有两个不相等的实数根，则a的值可以是( ) A3 B2 C1 D0 【解答】解：根据题意得0a 且 2 34( 2)0a ，
13、解得 9 8 a 且0a ， 所以a可以取1 故选：C 6 （3 分）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和 15 个黄球，这些球除颜色 不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很 多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在 0.75，则袋中白球有( ) A5 个 B15 个 C20 个 D35 个 【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得： 15 0.75 15x ， 解得：55x ， 经检验：5x 是分式方程的解， 故袋中白球有 5 个 故选：A 第 9 页（共 24 页） 7 （3 分）河堤横断面如图所示，堤高3BCm，迎水坡AB的坡比为1:3，则斜坡AB的 长为( )
14、 A3m B3 3m C6m D12m 【解答】解：迎水坡AB的坡比为1:3， :1:3BC AC，即3:1:3AC ， 解得，3 3AC ， 由勾股定理得， 2222 3(3 3)6ABACBC， 故选：C 8（3 分） 如图，EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O， 交AD于点E， 交BC于点F， 已知4AB ，6BC ，3OE ，那么四边形EFCD的周长是( ) A16 B13 C11 D10 【解答】解： 四边形ABCD为平行四边形， OBOD，/ /ADBC，4ABCD， OBFODE ， 在BOF和DOE中 OBFODE OBOD BOFDOE ()BOFDOE ASA ， BF
15、DE，3OEOF， 第 10 页（共 24 页） 6CFDECFBFBC， 633416DEEFFCCDBCOEOFCD， 故选：A 9 （3 分）关于二次函数 2 611yxx的图象与性质，下列结论错误的是( ) A抛物线开口方向向下 B当3x 时，函数有最大值2 C当3x 时，y随x的增大而减小 D抛物线可由 2 yx经过平移得到 【解答】解：A、10a ，抛物线开口方向向下，故此选项正确，不合题意； B、 2 (3)2yx的顶点坐标为：(3, 2)，故当3x 时，函数有最大值2，故此选项 正确，不合题意； C、当3x 时，y随x的增大而减小，此选项正确，不合题意； D、抛物线 2 (3)
16、2yx可由 2 yx 经过平移得到，不是由 2 yx经过平移得到，故此 选项错误，符合题意 故选：D 10 （3 分）如图，Rt ABC，90BAC，2AB ，3AC ，斜边BC绕点B逆时针方向 旋转90至BD的位置，连接AD，则AD的长是( ) A2 13 B29 C5 2 D26 【解答】解：过D作DEAB交AB的延长线于E， 90ECAB ， 斜边BC绕点B逆时针方向旋转90至BD的位置， 第 11 页（共 24 页） BDBC，90CBD， 90DBECBACBAC ， DBEC ， ()ABCEDB AAS ， 2DEAB，3BEAC， 235AE， 2222 5229ADAEDE，
17、 故选：B 11 （3 分）如图，在ABC中，/ /BCx轴，点A在x轴上，5ABAC，点M、N分别 是线段BC与BA上两点（与三角形顶点不重合） ，当BMNACO ， 3 sin 5 BMN时，反 比例函数(0,0) k ykx x 的图象经过点M，则k的值是( ) A2 B3 C4 D6 【解答】解：当BMNACO 时，可得5BMAC， 过A作ADBC于点D，如图， 第 12 页（共 24 页） ABAC， 226BCCDOA， 651CMBCBM， 3 sinsin 5 ACOBMN， 4OC， M点坐标为(1,4)， 1 44k 故选：C 12（3 分） 如图， 已知二次函数 2 (0
18、)yaxbxc a的图象如图所示， 对称轴为直线1x 分析下列 5 个结论：23cb；若03x，则 2 0axbxc； 22 ()acb； 222222 (1)(1)(2)(2)(a kb ka kb kk为实数） ； 222 (a mabm aab m为实数） 其 中正确的结论个数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：对称轴1x ， 2ba ， 2 1 2 ybxbxc ； 第 13 页（共 24 页） 当3x 时， 9 30 2 bbc， 23cb； 当1x 时，0y ，对称轴为1x ， 当3x 时，0y ， 03x，函数值有小于零的部分； 当1x 时，0abc，
19、当1x 时，0abc， ()()0abc abc， 22 ()acb； k是实数， 12kk ， 当21k 时， 222222 (1)(1)(2)(2)kb ka kb k； 当1m时，ama， 222 a mabmc aabc； 当1m时，ama， 222 a mabmc aabc； 正确， 故选：B 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）方程240 x 的解也是关于x的方程 2 20 xmx的一个解，则m的值为 3 【解答】解：240 x ， 解得：2x ， 把2x 代入方程 2 20 xmx得： 4220m， 解得：3m 故答案为：3 14
20、（3 分）若抛物线 22 (2)(4)1ymxmxm的顶点在y轴上，则m 2 【解答】解：根据题意知，对称轴0 x ，即 2 4 0 2(2) m m 且20m， 解得2m 第 14 页（共 24 页） 故答案为：2 15（3 分） 如图， 在边长为 4 的正方形ABCD中，E，F分别为BC、CD的中点， 连接AE， BF交于点G，将BCF沿BF对折，得到BPF，延长FP交BA延长线于点Q，分析下列 四个结论： QBQF； 2 5 5 BG ； 4 tan 3 BQP；2 BGEECFG SS 四边形 ， 其中正确的是 【解答】解：根据题意得，FPFC，PFBBFC ，90FPB / /CDA
21、B， CFBABF ， ABFPFB， QFQB，故正确； E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点， CFBE， 在ABE和BCF中， ABBC ABEBCF BECF ， ()ABEBCF SAS ， BAECBF ， 又90BAEBEA， 90CBFBEA， 90BGE， AEBF； ABEBCF ，则 22 422 5AEBF， AEBF 第 15 页（共 24 页） 11 22 AB BEAE BG，故 4 24 5 52 5 AB BE BG AE 故错误； 由知，QFQB， 令(0)PFk k，则2PBk 在Rt BPQ中，设QBx， 222 ()4xxkk， 5 2 k x
22、， 3 2 k PQ， 4 tan 3 BP BQP PQ ，故正确； BGEBCF ，GBECBF ， BGEBCF， 1 2 BEBC， 5 2 BFBC， :1:5BE BF， BGE的面积：BCF的面积1:5， 4 BGEECFG SS 四边形 ，故错误 综上所述，其中正确的是 故答案为： 16 （3 分）如图，矩形ABCD中，20AB ，30AD ，点E，F分别是AB，BC边上的 两个动点，且10EF ，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则 GHCH的最小值为 45 【解答】解：由已知，点G在以B圆心，5 为半径的圆在与长方形重合的弧上运动 作C关于AD的对称点
23、C，连接C B，交AD于H，交以D为圆心，以 5 为半径的圆于G 由两点之间线段最短，此时C B的值最小 第 16 页（共 24 页） 最小值为 2222 304050BCCC ， 则GHCH的最小值50545， 故答案为：45 三、解答题（共三、解答题（共 52 分）分） 17 （5 分）计算： 20 23tan60| 3| (2sin603) 【解答】解： 20 23tan60| 3| (2sin603) 43331 432 1 18 （6 分）在一个不透明的布袋里装有 4 个标有1，2，3，4 的小球，它们的形状、大小、 质地完全相同，小李从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小张在剩
24、下的 3 个小球中 随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点Q的坐标( , )x y （1）画树状图或列表，写出点Q所有可能的坐标； （2）求点( , )Q x y落在第二象限的概率 【解答】解： （1）列表得： 第 17 页（共 24 页） 点Q所有可能的坐标有：( 1,2)，( 1,3)，( 1,4)，(2, 1)，(2,3)，(2,4)，(3, 1)，(3,2)， (3,4)，(4, 1)，(4,2)，(4,3)共 12 种； （2）共有 12 种等可能的结果，其中点( , )Q x y落在第二象限的结果有 3 个， 即：( 1,2)，( 1,3)，( 1,4)， 点( , )Q x
25、 y落在第二象限的概率 31 124 19 （7 分）为庆祝中华人民共和国成立 70 周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测 量“平安金融中心” AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角 为32，测得“平安中心” AB的顶部A处的仰角为44登上大厦DE的顶部E处后，测 得“平安中心” AB的顶部A处的仰角为60， （如图） 已知C、D、B三点在同一水平 直线上，且400CD 米，求平安金融中心AB的高度 （参考数据：sin320.53 ， cos320.85 ，tan320.62 ，tan440.99 ，21.41，31.73) 【解答】解：如图，作EFAB于F 在Rt
26、 DCE中，90CDE，32ECD，400CD 米， tan4000.62248DECDECD（米) 设EFDBx米，248BFDE米，60AEF 在Rt ABC中，90ABC， tan0.99(400)ABBCACBx（米)， 在Rt AFE中，90AFE， tan3AFEFAEFx（米)， 24830.99(400)ABBFAFxx， 解得200 x ， 0.99(400)0.99 (400200)594x 故平安金融中心AB的高度约为 594 米 第 18 页（共 24 页） 20 （8 分）如图，在四边形ABCD中，ABAD，AC与BD交于点E，ADBACB （1）求证： ABAC A
27、EAD ； （2）若ABAC，:1:2AE EC ，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形 【解答】证明： （1）ABAD， ADBABE， 又ADBACB ， ABEACB ， 又BAECAB ， ABEACB， ABAC AEAB ， 又ABAD， ABAC AEAD ； （2）设AEx， :1:2AE EC ， 2ECx， 由（1）得： 2 ABAE AC，即 2 3ABxx 3ABx， 又BAAC， 2 3BCx， 第 19 页（共 24 页） 30ACB， F是BC中点， 3BFx， BFABAD， 连接AF，则AFBFCF，30ACB，60ABC， 又30ABDADB ， 30C
28、BD， 30ADBCBDACB ， / /ADBF， 四边形ABFD是平行四边形， 又ADAB， 四边形ABFD是菱形 21 （8 分）某种商品的标价为 600 元/件，经过两次降价后的价格为 486 元/件，并且两次 降价的百分率相同 （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为 460 元/件，两次降价共售出此种商品 100 件，为使两次降价销售 的总利润不少于 3788 元问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 【解答】解： （1）设该种商品每次降价的百分率为%x， 依题意得： 2 600 (1%)486x， 解得：10 x ，或190 x （舍去） 答：该种商品每次降价
29、的百分率为10% （2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100)m件， 第一次降价后的单件利润为：600 (1 10%)46080（元/件） ； 第二次降价后的单件利润为：48646026（元/件） 第 20 页（共 24 页） 依题意得：8026 (100) 3788mm， 解得：22m 答：为使两次降价销售的总利润不少于 3788 元，第一次降价后至少要售出该种商品 22 件 22 （9 分）如图，直线(0)yaxb a与双曲线(0) k yk x 交于一、三象限内的A，B两 点与x轴交于点C，点A的坐标为(2,)m，点B的坐标为( 1, )n， 2 13 co
30、s 13 AOC （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）点Q为y轴上一点，ABQ是以AB为直角边的直角三角形，求点Q的坐标； （3）点(P s，)(2)t s 在直线AB上运动，/ /PMx轴交双曲线于M，/ /PNy轴交双曲线 于N，直线MN分别交x轴，y轴于E，D，求 33OE ODt 的值 【解答】解： （1）如图，连接OA，作AHOE于H 22 13 cos 13 OH AOC OAOA ， 13OA， 22 3AHOAOH， (2,3)A， 点A在 k y x 上， 6k， 6 y x ， ( 1, 6)B ， 设直线AB的解析式为yaxb，则有 23 6 ab ab ，
31、第 21 页（共 24 页） 解得 3 3 a b 直线AB的解析式为：33yx （2）如图，过点A作AQAB交OD于Q，连接BQ，设PB交y轴于T 由题意(0, 3)T，(1,0)C， 22 1310CT ， 22 262 10AT ， OTCATQ ，90TOCTAQ， TOCTAQ， OTTC ATTQ ， 310 2 10TQ ， 20 3 TQ， 2011 3 33 OQQTOT， 11 (0,) 3 Q， 当BQAB时，同法可得 19 (0,) 3 Q 综上所述，满足条件的点Q坐标为 11 (0,) 3 或 19 (0,) 3 （3）( , )P s t，/ /PMx轴，/ /PN
32、y轴， 6 (M t ，) t， 6 ( , )N s s ， 6 PMs t 6 PNt s ， / /PNOD， MNPODE ， tantanCDEMNP， 6 6 s OEPMs t ODPNt t s ， 点P在直线33yx上， 第 22 页（共 24 页） 33ts ， 333333 1 OEsst ODttttt 23（9 分） 在平面直角坐标系中， 抛物线 2 3yaxbx与x轴的两个交点分别为A、(1,0)B， 与y轴交于点D，直线:3AD yx，抛物线顶点为C，作CHx轴于点H （1）求抛物线的解析式； （2） 抛物线上是否存在点M， 使得 3 8 ACDMAB SS ？若
33、存在， 求出点M的坐标； 若不存在， 说明理由； （3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合） ，PQAC于点Q，当 PCQ与ACH相似时，求点P的坐标 【解答】解： （1）直线:3AD yx，则点( 3,0)A ， 则抛物线的表达式为： 2 (3)(1)(23)ya xxa xx， 故33a，解得：1a ， 故抛物线的表达式为： 2 23yxx ； 第 23 页（共 24 页） （2）设直线AD与CH交于点( 1,2)R ， 113 23 228 ACDMAB SCROAS ， 则 1 4| 2 MABM SABy ，解得：4 M y ， 将4 M y 代入并解得：12 2x
34、 或1， 故点M的坐标为：( 12 2 ，4)或( 12 2 ，4)或( 1,4)； （3）若点P在对称轴右侧（如图2)，只能是PCQCAH，得QCPCAH ， 延长CP交x轴于M， AMCM， 22 AMCM 设( ,0)M m，则 222 (3)4(1)mm， 2m，即(2,0)M， 设直线CM的解析式为 11 yk xb， 直线CM的解析式 48 33 yx ， 第 24 页（共 24 页） 联立并解得： 1 3 x 或1（舍去1) 故点 1 (3P， 20) 9 ； 若点P在对称轴左侧（如图3)，只能是PCQACH，得PCQACH 过A作CA的垂线交PC于点F，作FNx轴于点N， 由CFACAH得：2 CACH FAAH ， 由FNAAHC得： 1 2 FNNAAF AHHCCA ， 2AN，1FN ，4CH ，1HO ，则2AH ， 点F坐标为( 5,1) 设直线CF的解析式为： 319 44 yx， 联立并解得： 7 4 x 或1（舍去1) 7 ( 4 P， 55) 16 ， 满足条件的点P坐标为 1 (3， 20) 9 或 7 ( 4 ， 55) 16
