1、 2021 年 1 月普通高中学业水平考试数学仿真模拟试卷（一） 一、选择题一、选择题（本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分，每小题列出的四个选项中只有一个 是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1.函数( )1f xx的定义域为（ ） A1,) B(1,) C(,1 D(,1) 解析：选 C 由10 x可得1x，所以函数的定义域为(,1.故选 C 2.若数列 n a是等比数列，且 23 3,6aa ，则 4 a （ ） A12 B12 C2 D2 解析：选 A 因为数列 n a是等比数列，且 23 3,6aa ，所以可知 3 2 2 a q a ，所以 43 12aa
2、q. 3.直线220 xy的斜率为（ ） A 1 2 B 1 2 C2 D2 解析：选 C 2 A k B . 4.已知角满足 1 sin 2 ，则cos2（ ） A 1 2 B 1 2 C 3 4 D 3 4 解析：选 B 因为 1 sin 2 ，所以 2 2 11 cos212sin12 22 . 5.若平面向量( 1,0),(3,2)ab ，则()aab（ ） A2 B3 C4 D4 解析： 选 D 因为( 1,0),(3,2)ab ， 所以 2 ()1 34aabaa b . 6.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正方形，俯视图 是一个圆，则这个几何体的体积为（
3、 ） A B2 C3 D4 解析：选 B 由三视图可知该几何体是一个底面半径的 1，高为 2 的圆柱，所以 正视图 侧视图 俯视图 该圆柱的体积为2V. 7.若正数, a b满足1ab ，则 14 ab 的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 解析： 选 D 因为1ab ， 所以 141 4 22 44 aba b .当且仅当 14 ab ， 1 ,2 2 ab 时取等号. 8.下列函数中是奇函数且在(0,)上单调递增的是（ ） A 2 yx B 3 yx C 1 y x D 2 logyx 解析：选 C 由题可得，函数 2 yx是偶函数，且在(0,)上单调递增，所以排除 A；函 数 3 y
4、x 是奇函数，且在(0,)上单调递减，所以排除 B；函数 1 y x 是奇函数，且在 (0,)上单调递增，所以 C 满足条件；函数 2 logyx是非奇非偶函数，且在(0,)上单 调递增，所以排除 D故选 C 9.实数, x y满足约束条件 1, 3415, x xy ya 若该约束条件满足的可行域的面积为15， 则实数a 的值为（ ） A3 B1 C1 D3 解析： 选 A 由题可得， 该约束条件表示的平面区域是如图所示的三角形区域， 该三角形的三个顶点分别为(1,3),(1, ),(5, ) 3 a aa， 因为该区域的面积为15， 所 以 1 3415 23 a Sa，由3a，解得3a.
5、故选 A 10.在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c.若3,3 3,30bcB，则a（ ） A6 B3 C6或3 D6或4 解析：选 C 因为3,3 3,30bcB，由余弦定理 222 2cosbacacB可知， 2 9180aa，解得6a或3a .故选 C 11.双曲线 2 2 1 3 y x 的两条渐近线的夹角为（ ） A30 B60 C90 D120 解析：选 B 由题可得，双曲线的渐近线方程为3yx ，其与x轴的夹角为60，所 以由夹角的定义可知，这两条渐近线的夹角为60.故选 B 12.已知函数( )3sin(2) 6 f xx ，则下列说法正确的是（ ） A
6、图象关于点(,0) 6 对称 B图象关于点(,0) 3 对称 C图象关于直线 6 x 对称 D图象关于直线 3 x 对称 解析：选 C 由题可得，设2 6 xk ，解得 212 k x ，所以可知函数的对称中心 为(,0) 212 k ()kZ.设2 62 xk ，解得 26 k x ，所以可知函数的对称中 心为() 26 k xkZ ，通过对比选项可知，图象关于直线 6 x 对称成立.故选 C 13.已知:23p x，:5q x ，则q是p的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既 不充分也不必要条件 解析： 选 A 由23x可得1x或5x ， 所以q是p的充分不必要条件
7、.故选 A 14.已知直线/l平面，动直线m与直线l所成角的大小为 3 ，则平面截动直线l运动所 成的轨迹得到的图形是（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解析：选 C 由题可得，动直线按条件运动所得轨迹被平面截得的图形是双曲线.故选 C 15.已知点( 1,2,5), (3, 4,1)AB，若点C在x轴上，且满足ACBC，则点C的横坐标 为（ ） A2 B2 C 1 2 D 1 2 解析：选D 设( ,0,0)C a，因为ACBC，所以 22222 (1)25(3)( 4)1aa ，化简得 1 2 a .故选 D 16.曲线 2 14yx 与直线(2)4yk x有两个交点， 则实数k的取
8、值范围是 （ ） A 53 (, 12 4 B 53 (,) 12 4 C 1 3 ( , ) 3 4 D 5 (0,) 12 解析：选 A 由题可得，曲线 2 14yx 对应的图象是如图的半圆， 要使曲线 2 14yx 与直线(2)4yk x有两个交点，则直线 (2)4yk x过点( 2,1)，代入可得 3 4 k ，且处于切线的临界点，此 时 5 12 k ，所以实数k的取值范围是 53 (, 12 4 .故选 A 17.若向量, a b r r 满足22aab rrr ，则a r 在b r 方向上投影的最大值是（ ） A1 B1 C3 D3 解析：选 D 设 (2,0),( , )abx
9、 y rr .由2 2ab rr 可得 22 (4)4xy.所以a r 在b r 方向 上的投影为 22 2 cos 23 a bxx a x xyb r r r r .令23tx ，则 2 3 2 t x ，所 以原式为 2 3 3 2 t t .故选 D 18.如图， 在棱长为 1 的正四面体D ABC 中，O为 ABC 的中心， 过点O 作做直线分别与线段 ,AB AC 交于 ,M N（可以是线段的端点） ， 连接DM ， 点P为DM的中点，则以下说法正确的是（） A存在某一位置，使得NPDAC面 B DMN S的最大值为 3 4 C 22 tantanDMNDNM的最小值为 12 D
10、D MNC D MNBA V V 的取值范围是 4 ,1 5 解析： 选 D 本题考查空间几何体的综合问题.由题可得， 选项 A 中， 当线段MN变化时， MNDN，所以排除； 16632 26624 DMN SMN DOMN ，所以排除 B； 对于选项 D，因为 3 4 ABC S， 33 98 MNC S，又因为 MNBAABCMNC SSS ，所以 4 ,1 5 D MNCMNCMNC D MNBAMNBAABCMNC VSS VSSS .故选 D 二、填空题二、填空题（本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分） 19. 设 全 集 为R， 若 集 合( 0 , 2 P ， 1,1
11、Q ， 则PQ ， RP Q . 解析： 1, 2； 1,0 因为(0, 2P ， 1,1Q ， 1,2PQ ，又因为 (,0(2,) RP ，所以 1,0 RP Q . 20.已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 9 72S ，则 5 a . 解析：8 因为数列是等差数列，所以 95 972Sa，解得 5 8a . 21.已知直线l过圆 22 (1)(2)4xy的圆心， 当原点到直线l距离最大时， 该直线l的方 程为 . 解析：250 xy 设圆心为(1,2)A，要使原点到直线l距离最大时，则OAl，所 以 11 2 l OA k k .所以直线l的方程为 1 2(1) 2 yx ，
12、即250 xy. 22.若至少存在一个0 x，使得关于x的不等式 2 2xxa成立，则实数a的取值范围 是 . 解 析 ： 9 2, 4 要 使 不 等 式 成 立 ， 即 2 2xax成 立 ， 令 2 ( ), ( )2f xxa g xx，函数( )f xxa与x轴交于点( ,0)a，与y轴交于点 (0,)a.当函数( )f xxa的左支与y轴交于点(0,)a，此时有0a，若2a ，解得 2a或2a，则当2a时，在y轴右侧，函数( )f xxa的图象在函数 2 ( )2g xx的上方，不合题意；在y轴右侧，当函数( )f xxa的左支与曲线 2 ( )2g xx相切时， 函数( )f x
13、xa左支图象对应的解析式为yax， 将y a x 代入 2 2yx，得 2 2axx，即 2 (2)0 xxa ，由判别式为零可得940a， 解得 9 4 a ，则当 9 4 a 时，如图（一）所示，在y轴右侧，函数( )f xxa的图象在 函数 2 ( )2g xx的上方或相切，则不等式 2 2xax在(0,)上恒成立，不合于题 意；当 9 2 4 a 时，如图（二）所示，在y轴右侧，函数 f xxa的图象的左支或 右支与函数 2 2g xx相交，在y轴右侧，函数 f x的图象中必有一部分图象在函数 2 2g xx的下方，即存在0 x，使得不等式 2 2xax成立，故实数a的取值范 围是 9
14、 2, 4 . 图一 图二 三、解答题三、解答题（本大题共 3 小题，共 31 分） 23 （本小题满分 10 分）在等差数列 n a中， 1 3a ，其前n项和为 n S，等比数列 n b的 各项均为正数， 1 1b ，公比为q，且 22 12bS， 2 2 S q b （）求 n a与 n b； （）证明： 12 1112 3 n SSS 解： （）设 n a的公差为d， 因为 22 2 2 12,bS S q b 所以 612, 6 qd d q q 解得3q 或4q （舍去） ，3d . 所以3 3(1)3 n ann ， 1 3n n b . （II）因为3 n an，所以 (33
15、) 2 n nn S ， 所以 122 11 () 3 (1)31 n Sn nnn ， 所以 12 111 n SSS 21111111 (1) 3223341nn 212 (1) 313n . 24.（本小题满分 10 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 短轴的一个端点与椭圆C的两 个焦点构成面积为3的直角三角形 （I）求椭圆C的方程； （II） 过圆 22 :2E xy上任意一点P作圆E的切线l， 若l与椭圆C相交于,A B两点 求 证：以AB为直径的圆恒过坐标原点O. 解： （I）设椭圆C的焦距为2c， 由题意得 2 222 , 1 3, 2 bc a abc 解
16、得 222 6,3abc. 所以椭圆C的方程为 22 1 63 xy . （II）圆E的方程为 22 2xy，设O为坐标原点， 当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为2x ， 则( 2,2),( 2,2)AB,所以 2 AOB . 此时，以AB为直径的圆过坐标原点 当直线l的斜率存在时，设其方程设为ykxm，设 1122 ( ,), (,)A x yB xy. 因为直线l与圆E相切，所以 2 2 1 m d k ，解得 22 22mk. 联立方程组 22 , 26 ykxm xy 消元化简得 222 (1 2)4260kxkmxm 22222 164(1 2)(26)8(41)0k mk
17、mk ， 由韦达定理得 2 1212 22 426 , 1 21 2 kmm xxx x kk ， 所以 22 22 12121212 2 (1)(26) (1)() 1 2 km OA OBx xy ykx xkm xxm k uur uu u r 2222 2 22 4366 0 1 21 2 k mmk m kk . 所以OAOB，此时，以AB为直径的圆恒过坐标原点O 综上可知，以AB为直径的圆恒过坐标原点O 25.（本小题满分 11 分） 已知函数 2 ( )()f xxax aR. （I）若( )f x在0,1上单调递增，求实数a的取值范围； （II）记( )M a为( )f x在0
18、,1上的最大值，求( )M a的最小值. 解： （I）因为0,1x. 当0a时， 2 ( )f xxax在区间0,1上单调递增； 当0a时， 2 2 2 (),0, ( ) , xaxxa f xxax xax xa 所以要使( )f x在0,1上单调递增，则需1 2 a ，即2a. 所以满足条件的实数a的取值范围是(, 20,) . （II）由（I）知，当2a或0a时，( )f x在0,1上单调递增， 则( )(1)1M afa. 当20a 时， 2 ( )max(),(1)max,1 24 aa M affa . 在20a 时解不等式 2 1 4 a a， 解得22(12)a ， 所以此时 2 , 22(12), 4( ) 1,2(12)0 a a M a aa 综上可知， 2 , 22(12), 4( ) 1,22(12). a a M a aaa 或 所以当22(12)aa 或时，( )22 2132 2M a ； 当22(12)a 时， 2 1 ( )(22 2)32 2 4 M a . 所以( )M a的最小值为3 2 2.
