1、 2021 年 1 月普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷（五） （解析版） 一、选择题（本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分，每小题列出的四个选项中只有一个 符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1.已知集合A满足1,21,2,3,4A，则集合A的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.8 解析：选 C 由题可得，集合A的可能性有 1,2 , 1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,3,4,所以有 4 个.故选 C. 2.经过点( 1,2)A 且垂直于直线2340 xy的直线l的方程为（ ） A.3210 xy B.3270 xy C.2350 xy D.2380 xy
2、解析：选 A 设所求直线方程为:320lxyn过点( 1,2)A ，所以3 40n ， 解得1n，所以:3210lxy .故选 A. 3.下列各函数中，与函数yx是同一个函数的是（ ） A. 2 ()yx B. 2 yx C. 33 yx D. 0 yxx 解析：选 C 通过化简后可知，选项 A 中 2 (),(0)yxxx，选项 B 中 2 ,(0)yxx x，选项 C 中 33 yxx，选项 D 中 0 ,(0)yxxx x.故选 C. 4.已知tan(3)2x ，则 sincos 2sin3cos xx xx 的值为（ ） A.4 B.3 C.3 D.4 解析：选B 由tan(3)2x
3、可得t a n2x，所以 sinc osta n1 2sin3c os2ta n3 xxx xxx 2 1 3 2 ( 2)3 .故选 B. 5.下列各式化简错误的是（ ） A. 211 5315 1aa a B. 2 6946 3 ()a ba b C. 122111 333442 ()()()x yx yxyy D. 113 324 115 324 153 5 25 a b c ac ab c 解 析 ： 选D 由 题 得 ， 2112 11 0 53155 3 15 1aa aaa ， 所 以 成 立 ； 222 6 ()9 () 69 333 ()a bab 46 a b ，所以成立；
4、 1221 2 21111 1 1 01 3333 3 34424 4 2 ()()()x yx yxyxyx yy ，所以成立； 113 1 1113 5 324 () 2 3 32244 115 324 151533 2555 25 a b c abcacac ab c ，所以不成立.故选 D. 6.若实数, x y满足约束条件 30 10 350 xy xy xy ，则 y z x 的取值范围是（ ） A. 1 4 , 2 3 B. 1 ,2 2 C. 4 ,2 3 D. 3 ,2 4 解析：选 B 由题可得，该约束条件表示的平面区域是一个三角形区域，其三个顶点坐 标分别为(1,2),(
5、3,4),(2,1)，代入目标函数，求得函数值分别为 4 1 2, 3 2 ，所以该目标函数 的取值范围是 1 ,2 2 .故选 B. 7.已知直线,m n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面（ ） A.有且只有一个 B.至多有一个 C.有一个或无数多个 D.不存在 解析：选 B 若两条异面直线互相垂直，则过直线n且与直线m垂直的平面存在，且只 有一个；若两条异面直线不垂直，则过直线n且与直线m垂直的平面不存在.所以满足的条 件的平面至多有一个.故选 B. 8.设xR，则“21x”是“ 2 20 xx”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条
6、件 解析： 选 A 由21x解得13x， 由 2 20 xx解得2x或1x .因为(1,3) 是(, 2)(1,) 的子集，所以“21x”是“ 2 20 xx”的充分不必要条件. 故选 A. 9.若函数( )f x是偶函数， 当10 x 时， 2 ( )41f xxx， 则当01x时， 函数( )f x 的解析式为（ ） A. 2 41xx B. 2 41xx C. 2 41xx D. 2 41xx 解析：选 A 因为函数是偶函数，所以满足()( )fxf x.因为01x，所以 10 x ， 所 以 22 ()()4() 141( )fxxxxxf x . 所 以 当01x， 2 ( )41f
7、 xxx.故选 A. 10.首项为1，公比为 2 3 的等比数列 n a的前n项和为 n S，则( ) A.21 nn Sa B.32 nn Sa C.43 nn Sa D.32 nn Sa 解析：选 D 由题可得， 2 1 ( ) 2 3 3 3 ( ) 2 3 1 3 n n n S ， 1 2 ( ) 3 n n a ，所以32 nn Sa.故 选 D. 11.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是（ ） A.9 B.10 C.11 D.12 解析：选 D 由题可得，该几何体是一个圆柱与球的组合体， 所以该几何体的表面积为 4223 12S .故选 D. 12.若两
8、个非零向量, a b满足2ababa，则向量ab与a的夹角为（ ） A. 6 B. 3 C. 3 2 D. 6 5 解析： 选 B 因为2ababa， 所以ab且3ba， 所以 () cos aba ab a 2 2 1 2 2 a a ，所以夹角为 3 .故选 B. 13.如图所示，已知正四棱锥SABCD侧棱长为2，底面边长为3，E是SA 的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为（ ） A.90 B.60 C.45 D.30 解析：选 B 连接,AC BD交于点O，连接EO，则/EOSC.所以OEB为所求 角.OEB是直角三角形， 26 , 22 OEOB，所以tan3 OB OEB OE
9、 ，所以 60OEB.故选 B. 14.若函数( )yg x的定义域为 3,5，则(21)ygx的定义域为（ ） 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2 A. 5,11 B. 3,5 C. 2,2 D. 2,3 解析： 选 C 由题可得，321 5x ， 解得22x ， 所以函数的定义域为 2,2. 故选 C. 15.已知双曲线 22 22 1( ,0) xy a b ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，点A在双曲线上，且 2 AFx轴，若 1 2 5 3 AF AF ，则双曲线的离心率等于（ ） A.2 B.3 C.2 D.3 解析：选 A 由双曲线的定义式可知： 12 2A
10、FAFa，因为 1 2 5 3 AF AF ，所以可得： 12 5 ,3AFa AFa，因为 12 2FFc，由 2 AFx轴可知 12 AFF是以 21 AF F为直角 的直角三角形.故有 222 4925cca，解得 2 2 2 4 c e a ，即2e.故选 A. 16.函数 2 log1yx的零点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：选 D 由题可得，令 2 log10 x ，解得 2 log1x ，当 2 log1x 时，解得 2x ，即2x；当 2 log1x ，解得 1 2 x ，即 1 2 x .所以函数的零点有4个.故 选 D. 17.若, x y为正实数，且x
11、ya xy恒成立，则实数a的最小值为（ ） A.2 B.1 C.2 D.2 2 解析：选 C 由题可得，因为xya xy恒成立，即 xy a xy 恒成立，即 max xy a xy 恒成立.因为 2 22 11 12 xyxyxy xyxyxy yx ， 所以2 xy xy ，所以2a.所以实数a的最小值为2，故选 C. 18.如图，在长方形ABCD中，3,1ABBC，E为线段DC上一动点，现将AED沿 AE折起，使点D在平面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C时，则K所 形成的轨迹的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 2 3 3 解析：选 B 由题可得， DKA
12、E，所以K的轨迹是以 AD为直径的一段圆弧 DK. 设 AD的中点为O，因为长方形 ABCD中，3AB ，1BC ，所以 3 D AC ，所 以 2 3 DOK ，所以K所形成的轨迹的长度为 3 .故选 B. 非选择题部分非选择题部分 二、填空题（本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分） 19.已知抛物线 2 2(0)ypx p过点(1,2)A，则p ，其准线方程为 . 解析：2;1x 由题可得，24p ，解得2p .所以准线方程为1 2 p x . 20.设公差为d的等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1 1a ， 21 179 d ，则当 n S取最 大值时，n的值为 . 解
13、析：9 因为等差数列 n a的公差d满足 21 179 d ，所以 n a是递减数列.又 因 为 1 1a ，0d ， 所 以 令 1 (1)0 n aand， 即 1 1 1 da n dd ， 因 为 21 179 d ，所以 1 9.5110n d ，所以9n.即9n时，0 n a ，当10n时， 0 n a .所以当9n时， n S取到最大值. 21.已知ABC的三边分别是, ,a b c，且面积 4 222 cba S ，则角C _ 解析： 4 因为 222 1 sin 42 abc SabC ，所以 222 2sin2cosabcabCabC，所以sincosCC，即tan1C ，
14、解得 4 C . 22.设,0a b ， 且满足21ab.若不等式(2)(1)3abttatbt恒成立， 则实数t 的取值范围是 . 解析： 9 4 t 因为对于任意的正数,0a b ，不等式(2)(1)3abttatbt恒成 立，即不等式可转化为 12 11 t ab 恒成立.因为 121211 () 111142 ab abab 51159 1 42(1)2(1)44 ba ab ，当且仅 当 11 2(1)2(1) ba ab ，即 1 3 ab时，取到最小值.因为 12 11 t ab 恒成立，所以有 9 4 t . 三、解答题（本大题共 3 小题，共 31 分） 23.已知函数 2
15、( )2cos2 3sin cos1f xxxx. (1)求函数( )f x的最小正周期； (2)在锐角ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c.若()2 2 C f，且 2 cab，试判 断ABC的形状. 解：(1) 2 ( )2cos2 3sin cos1f xxxx 3sin2cos22sin(2) 6 xxx 所以 2 2 T . 所以函数的最小正周期为. (2)()2sin()2 26 C fC ， 因为0 2 C ，所以解得 3 C . 又因为 22222 2coscabababCabab， 所以 2 ()0ab，即ab 所以ABC是正三角形. 24.已知中心在
16、坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点(2,3)P，且它 的离心率 2 1 e. (1)求椭圆的标准方程； (2)与圆1) 1( 22 yx相切的直线: l ykxt交椭圆于NM， 两点，若椭圆上一点C满足OCONOM，求实数的取值 范围. 解：(1)设椭圆的标准方程为)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 由已知得： 22 222 49 1, 1 , 2 ab c a cab 解得4,2 3,2abc 所以椭圆的标准方程为：1 1216 22 yx . (2)因为直线: l ykxt与圆 22 (1)1xy相切， 所以 2 1 1 tk d k ，解得 2 1 2(0) t kt t .
17、把ykxt代入1 1216 22 yx 并整理得 222 (34)8(448)0kxktxt. 设 1122 ( ,),(,)M x yN xy，则有 12 2 8 34 kt xx k ， 1212 2 6 ()2 34 t yyk xxt k ， 因为 1212 (,)OCxx yy 所以 )43( 6 , )43( 8 22 k t k kt C 又因为点C在椭圆上， 所以1 )43( 3 )43( 4 222 2 222 22 k t k tk ， 解得 2 2 2 2 22 1 11 34 ()() 1 t k tt 因为0 2 t，所以 11) 1 () 1 ( 2 2 2 tt
18、所以10 2 所以的取值范围为) 1,0()0, 1(. 25.设函数( )( ,)f xx xab a bR. (1)当0a时，求函数( )yf x的单调区间； (2)若不存在正数a，使得不等式( )0f x 对任意0,1x恒成立，求实数b的取值范围. 解：(1)当0a时， 2 2 , ( ) , xaxb xa f xx xab xaxb xa 当xa时，函数 2 ( )f xxaxb在 ,)a 上单调递增； 当xa时，函数 2 ( )f xxaxb 在(, 2 a 上单调递增，在, ) 2 a a上单调递减. 所以函数( )yf x的单调递增区间为(, 2 a 和 ,)a ，单调递减区间为, ) 2 a a. (2)由题可得，0b时显然成立； 当0b时，( )0f x 即 b xa x ，即 bb xa xx ， 所以有 , b xa x b xa x . 所以不等式( )0f x 对任意0,1x恒成立即为 max min , b xa x b xa x 由 max b xa x 可得1 ba ， 由 min b xa x 可得当10b 时，2ba ； 当1b时，1 ba . 所以当1b时，11bab ，符合题意的正数a总是存在的. 当10b 时，当12bb时符合题意的正数a不存在， 此时解得3 2 20b . 综上可得，3 2 2b .
