1、 三角形的“四心”的向量表示 一外心 三角形三表的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心 =OABCOAOBOCOABCDD若 为内一点，则 是的外心 222 OAOBOC?= ()()()0OA OBABOB OCBCOC OA CA?+?+? )(0)ABCBAC ABAC ABAC ll+笵?向量（所在直线过的内心（是的角平分线所在直线） =sin:sin:sinsin2:sin2:sin2 BOCAOCAOB SSSBOCLAOCAOBABC DDD 行?则： 二垂心 三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心 OABCOA OBOB OCOC OAD圩=?是的垂心 O
2、ABCD是（非直角三角形）的垂心。 :tanA:tanB:tanC BOCAOCAOB SSS DDD =则 tantantan0A OAB OBC OC?故 下面证明关于垂心的一个结论 O 是 平 面 上 一 定 点 ， A ， B ， C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足 ( c o sc o s A BA C O PO AA B C A BBA CC ll=+D）（0）则P的轨迹一定通过的垂心 ) coscosCcoscosC cos()cos 0 coscosC cos ABACBC ABBC AC BC ABBACABBAC BCABBBCACC B
3、CBC ABBAC ABAC BC ABBA p 鬃 +=+ ? =+= -+= + （ （) cosC ) coscosC ) coscosC C ABAC ABC ABBAC ABAC OPOA ABBAC PABC l +D =+ D （在的边BC的高AD上 （时， 的轨迹一定通过的垂心 三重心 三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心 1.0 + +0 1 3.=) 3 ABACBCAD OA OBOC PGPAPBPCGABC ll+违 D?= +跠 （），是边上的中线上的任意向量，过重心 2.O是 ABC的重心 （为的重心 下面对结论 3 给出证明 = 3()() 00 3 1
4、 = 3 PG PAAGPBBGPCCG PGAGBGCGPAPBPC GABC GA GBGCAGBGCG PGPAPBPC PG +=+=+ ?+ D +=?+= =+ 为的重心 即 （PAPBPC+） 四内心 三角形三内角平分线交于一点，这一点位三角形内切圆的圆心，称内心 设 a,b,c 是三角形的三边长，O 是三角形 ABC 内心的充要条件是 0 0 aOA bOBcOC BC OACA OBAB OC += ?+= 证 , + + =+= (+ () AB AC AB AC cb ABAC BAC cb ABAC AOBACAO cb ABACbc AO cbabc bcABAC A
5、O abccb abc OA bABcAC ll ? 衆 + + = + + + + 分别是方向上的单位向量 向量平分 平分，与共线 （），令 ） 化简得0 ()()0 0 0 aOA b OAABc OAAC aOA bOBcOC aOA bOBcOC = += += += ?结论：内心 : 0 sinsinsin0 0 BOCAOCAOB OABCSSSa b c aOA bOBcOC AOABOBCOC AB PCBC PACA PBPABC DDD D= += += += 跠 若 是的内心，则 故或 为的内心 )(0)ABCBAC ABAC ABAC ll+笵?向量（所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）
