1、专题三专题三 立体几何立体几何 微专题3 确定几何体外接球与内切球球心的方法 微中微 确定几何体外接球与内切球球心的方法 方法方法 利用长方体与球的中心对称性质利用长方体与球的中心对称性质 根据球与长方体的对称性可知， 长方体的对称中心就根据球与长方体的对称性可知， 长方体的对称中心就 是球心，所以长方体是球心，所以长方体(或可补形为长方体的柱体、锥体或可补形为长方体的柱体、锥体)的的 体对角线就是其外接球的直径体对角线就是其外接球的直径 1三棱柱的补形方法：分别以上、下底面直角三角三棱柱的补形方法：分别以上、下底面直角三角 形的两条直角边为邻边构造上、 下矩形底面， 再根据对称形的两条直角边
2、为邻边构造上、 下矩形底面， 再根据对称 性即可把三棱柱补为长方体性即可把三棱柱补为长方体 微中微 确定几何体外接球与内切球球心的方法 2四面体的补形方法：若一个四面体的对棱相等四面体的补形方法：若一个四面体的对棱相等(或或 相互垂直相互垂直)， 则可以其六条棱作为长方体， 则可以其六条棱作为长方体(正方体正方体)的面对角的面对角 线构造长方体线构造长方体(正方体正方体)；若四面体从同一顶点出发的三条；若四面体从同一顶点出发的三条 棱两两垂直，则以这三条棱为邻边构造长方体棱两两垂直，则以这三条棱为邻边构造长方体 微中微 确定几何体外接球与内切球球心的方法 (2020 眉山第二次诊断眉山第二次诊
3、断)已知腰长为已知腰长为 3，底边长，底边长 为为 2 的等腰三角形的等腰三角形 ABC，D 为底边为底边 BC 的中点，以的中点，以 AD 为为 折痕，将三角形折痕，将三角形 ABD 翻折，使翻折，使 BDCD，则经过，则经过 A，B， C，D 的球的表面积为的球的表面积为( ) A10 B12 C16 D20 解析：解析：因为因为 ABAC3，BC2，则，则 AD 3212 2 2，BDCD， 又又 BDAD，CDAD，所以可以将三棱锥，所以可以将三棱锥 DABC 补补 成一个长方体，则经过成一个长方体，则经过 A，B，C，D 的球为长方体的的球为长方体的 微中微 确定几何体外接球与内切球
4、球心的方法 外接球，设球的半径为外接球，设球的半径为 r，故，故(2r)2AD2BD2CD281 110，所以，所以 r25 2，所以所求的表面积为 ，所以所求的表面积为 S4r210，故，故 选选 A. 答案：答案：A 微中微 确定几何体外接球与内切球球心的方法 方法方法 利用球的集合定义及直角三角形斜边上的利用球的集合定义及直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半中线等于斜边的一半 1如图如图(1)，若，若PABPCB 都是直角，则都是直角，则 OA OBOCOP1 2PB，所以 ，所以 O 就是三棱锥的就是三棱锥的 P-ABC 的外的外 接球的球心接球的球心 2如图如图(2)，若，若PAC
5、PBC 都是直角，则都是直角，则 OA OBOCOP1 2PC，所以 ，所以 O 就是三棱锥的就是三棱锥的 P-ABC 的外的外 接球的球心接球的球心 微中微 确定几何体外接球与内切球球心的方法 3如图如图(3)，若，若 PA平面平面 ABC，且，且 ABBC，则，则 OA OBOCOP1 2PC，所以 ，所以 O 就是三棱锥的就是三棱锥的 P-ABC 的外接的外接 球的球心球的球心 微中微 确定几何体外接球与内切球球心的方法 四面体四面体 ABCD的四个顶点都在球的四个顶点都在球 O的表面上，的表面上， AB2，BCCD1，BCD60 ，AB平面平面 BCD， 则球则球 O 的表面积为的表面
6、积为( ) A8 B8 2 3 C8 3 3 D16 3 解析：解析：过底面正过底面正BCD 的外心的外心(重心重心)G 作作 GH平面平面 BCD，过棱，过棱 AB 的中点的中点 F 作作 FO BG 交交 GH 于点于点 O，则，则 O 为球心，为球心，FO 垂直平垂直平 分棱分棱 AB，连接，连接 BG，并延长交，并延长交 CD 于点于点 E. 微中微 确定几何体外接球与内切球球心的方法 R 2 球球OB2OG2BG2 1 2AB 2 2 3BE 2 1 2 3 1sin 60 2 4 3，所以球 ，所以球 O 的表面积的表面积 S4R216 3 . 答案：答案：D 微中微 确定几何体外
7、接球与内切球球心的方法 方法方法 利用射影长定理利用射影长定理(射影线段等长射影线段等长斜线段等长斜线段等长) 分别过几何体的两个相交平面分别过几何体的两个相交平面(多边形多边形)的外接圆的圆心的外接圆的圆心 作各自所在平面的垂线，垂线的交点就是球心，特别地，当作各自所在平面的垂线，垂线的交点就是球心，特别地，当 一个平面一个平面(多边形多边形)的外心恰好在另一个的外心恰好在另一个(下指第二个下指第二个)与其相与其相 交的平面交的平面(多边形多边形)的垂线的垂线(垂线过第二个平面多边形的外心垂线过第二个平面多边形的外心) 上时，则该外心即为几何体外接球的球心上时，则该外心即为几何体外接球的球心
8、 微中微 确定几何体外接球与内切球球心的方法 已知三棱锥已知三棱锥 S-ABC 的底面是以的底面是以 AB 为斜边的为斜边的 等腰直角三角形，等腰直角三角形，AB4，SASBSC4，则三棱锥的，则三棱锥的 外接球的球心到平面外接球的球心到平面 ABC 的距离为的距离为( ) A4 3 3 B2 3 C2 D3 3 解析：解析：SASBSC顶点顶点 S 在底面在底面 ABC 内内 的射影是底面的外心，取的射影是底面的外心，取 RtABC 斜边斜边 AB 的中的中 点点 D 连接连接 SD 则则 SD平面平面 ABC.所以所以 SDAB， 所， 所 以以SAB 的外心的外心 O 在在 SD 上，从而上，从而 O 即为球心，即为球心，R球 球OS OB.由由 R2(2 3R)24，解得，解得 R4 3 3 . 答案：答案：A 谢谢观赏谢谢观赏
