1、专题二专题二 数数 列列 微专题微专题2 数列求和及简单应用数列求和及简单应用 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 大题考法大题考法 1 等差数列、等比数列证明与判定等差数列、等比数列证明与判定 已知数列已知数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，a11，an0， S2 n a2 n 1Sn1，其中，其中 为常数为常数 (1)证明：证明：Sn 12Sn； (2)是否存在实数是否存在实数 ，使得数列，使得数列an为等比数列，若存为等比数列，若存 在，求出在，求出 ；若不存在，请说明理由；若不存在，请说明理由 (1)证明：证明：因为因为 an 1Sn1Sn，S2 n a2 n 1Sn1， 所
2、以所以 S2 n (Sn 1Sn)2Sn1， 则则 Sn 1(Sn12Sn)0. 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 因为因为 an0，知，知 Sn 10， 所以所以 Sn 12Sn0， 故故 Sn 12Sn. (2)解：解：由由(1)知，知，Sn 12Sn， 当当 n2 时，时，Sn2Sn 1， 两式相减，两式相减，an 12an(n2，nN*)， 所以数列所以数列an从第二项起成等比数列，且公比从第二项起成等比数列，且公比 q2. 又又 S22S1， 即， 即 a2a12a1， 所以， 所以 a2a11 0，得，得 1. 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 因此因此 an 1， ，
3、n1， （1） 2n 2， ，n2. 若数列若数列an是等比数列，则是等比数列，则 a212a12. 所以所以 1，经验证得，经验证得 1 时，数列时，数列an是等比数列是等比数列 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 1判定等差判定等差(比比)数列的主要方法：数列的主要方法：(1)定义法：对于定义法：对于 任意任意 n1，nN*，验证，验证 an 1an 或或a n 1 an 为与正整数为与正整数 n 无关的一常数；无关的一常数；(2)中项公式法中项公式法 2.a n 1 an q 和和 a2 n an 1an1(n2)都是数列都是数列an为为等比等比 数列的必要不充分条件，判定时还要看各
4、项是否为零数列的必要不充分条件，判定时还要看各项是否为零 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 记记 Sn为等比数列为等比数列an的前的前 n 项和已知项和已知 S22，S36. (1)求求an的通项公式；的通项公式； (2)求求 Sn，并判断，并判断 Sn 1，Sn，Sn2是否成等差数列是否成等差数列 解：解：(1)设设an的公比为的公比为 q，由题设可得，由题设可得 a1（ （1q）2， a1（1qq2）6，解得 解得 q 2， a12. 故故an的通项公式为的通项公式为 an(2)n. (2)由由(1)得得 Sn a1（1qn） 1q 21（2）n 1（2） 2 3 (2)n1， 微专
5、题2 数列求和及简单应用 对点训练 则则 Sn 12 3( 2)n 1 1，Sn 22 3( 2)n 2 1， 所以所以 Sn 1Sn22 3( 2)n 1 12 3( 2)n 2 12 3 2(2)n24 3( 2)n12Sn， 所以所以 Sn 1，Sn，Sn2成等差数列成等差数列 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 大题考法大题考法 2 等差数列、等比数列基本量的运算等差数列、等比数列基本量的运算 已知等差数列已知等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且满足，且满足 S4 24，S763. (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； (2)若若 bn2an(1)n an，求
6、数列，求数列bn的前的前 n 项和项和 Tn. 解 ：解 ： (1) 因 为因 为 an 为 等 差 数 列 ， 所 以为 等 差 数 列 ， 所 以 S 4 4a14 3 2 d24， S77a17 6 2 d63， 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 解得解得 a1 3， d2. 因此因此an的通项公式的通项公式 an2n1. (2)因为因为 bn2an(1)n an22n 1 (1)n (2n1)2 4n(1)n (2n1)， 所以所以Tn2(41424n)3579( 1)n(2n1)8（ （4n1） 3 Gn. 当当 n 为偶数时，为偶数时， Gn2n 2 n， 所以， 所以 Tn
7、8（ （4n1） 3 n； 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 当当 n 为奇数时，为奇数时，Gn2n 1 2 (2n1)n2， 所以所以 Tn8（ （4n1） 3 n2， 所以所以 Tn 8（4n1） 3 n，n为偶数，为偶数， 8（4n1） 3 n2，n为奇数为奇数. 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 1在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思 想把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求想把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求 和在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数和在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数 n 的
8、的 奇偶进行讨论最后再验证是否可以合并为一个表达式奇偶进行讨论最后再验证是否可以合并为一个表达式 2分组求和的策略：分组求和的策略： (1)根据等差、等比数列分组根据等差、等比数列分组 (2)根据正号、负号分组根据正号、负号分组 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 (2020 石家庄二中质检石家庄二中质检)Sn为数列为数列an的前的前 n 项和满项和满 足：足：4Sn2an2n(nN*) (1)设设 bnanan 1，证明，证明bn是等比数列；是等比数列； (2)求求 Sn. (1)证明：证明：因为因为 4Sn2an2n， 故故 4Sn 12an12n 1(n N*)， 可得可得 4an
9、12an12an2n 1 2n. 整理可得整理可得 an 1an2n 1，即 ，即 bn2n 1， ，(nN*) 因为因为b n 1 bn 2n 2n 12，(nN*)，故，故bn是等比数列是等比数列 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 (2)解：解：当当 n1 时，时，4S12a121 ，解得，解得 a11，又，又 an 1 an2n 1， ， 故当故当 n 为偶数时有为偶数时有 Sn(a1a2)(a3a4)(an 1an) 20222n 2 20 14 n 2 14 2 n 1 3 . 当当 n 为奇数时有为奇数时有 Sna1(a2a3)(a4a5)(an 1 an)121232n 2
10、 1 21 14 n1 2 14 2 n 1 3 . 故故 Sn 2 n 1 3 ，n为奇数，为奇数， 2n1 3 ，n为偶数为偶数. 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 大题考法大题考法 3 裂项相消法求数列的和裂项相消法求数列的和 (2020 泰安市泰安市 6 月模拟月模拟)在在Snn2n，a3 a516，S3S542，a n 1 an n 1 n ，S756 这三个条件中这三个条件中 任选一个补充在下面的问题中，并加以解答任选一个补充在下面的问题中，并加以解答 设等差数列设等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，数列，数列bn为等比数为等比数 列，列，_，b1a1，b2a1a2
11、 2 . 求数列求数列 1 Sn bn的前的前 n 项和项和 Tn. 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 解：解：选选，当，当 n1 时，时，a1S12，当，当 n2 时，时，an SnSn 12n， 又又 n1 满足满足 an2n，所以，所以 an2n. 设设bn的公比为的公比为 q，又因为，又因为 a12，a24，由，由 b1a1， b2a1a2 2 ， 得得 b12，q2，所以，所以 bn2n.所以数列所以数列bn的前的前 n 项和项和 为为2 2n 1 12 2n 1 2， 又又 1 Sn 1 n2n 1 n（n1） 1 n 1 n1， ， 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练
12、数列数列 1 Sn 的前的前 n 项和为项和为 11 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 1 1 n1， ， 故故 Tn2n 1 21 1 n1 2n 1 1 n1 1. 选选，设公差为，设公差为 d，由，由 a3a516，S3S542，得，得 2a1 6d16， 8a113d42， 解得解得 a1 2， d2， 所以所以 an2n，Snn2n. 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 设设bn的公比为的公比为 q，又因为，又因为 a12，a24，由，由 b1a1， b2a1a2 2 ，得，得 b12，q2，所以，所以 bn2n. 所以数列所以数列bn的前的前 n 项和为项和为2 2n 1
13、12 2n 1 2， 又又 1 Sn 1 n2n 1 n（n1） 1 n 1 n1， ， 数列数列 1 Sn 的前的前 n 项和为项和为 11 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 1 1 n1， ， 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 故故 Tn2n 1 21 1 n1 2n 1 1 n1 1. 选选，由，由a n 1 an n 1 n ，得，得 an 1 n1 an n ，所以，所以an n a1 1 ，即，即 ana1n， S77a428a156，所以，所以 a12，所以，所以 an2n，Sn n2n. 设设bn的公比为的公比为 q，又因为，又因为 a12，a24，由，由 b1a1，
14、 b2a1a2 2 ， 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 得得 b12，q2，所以，所以 bn2n.所以数列所以数列bn的前的前 n 项项 和为和为2 2n 1 12 2n 1 2， 又又 1 Sn 1 n2n 1 n（n1） 1 n 1 n1， ， 数列数列 1 Sn 的前的前 n 项和为项和为 11 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 1 1 n1， ， 故故 Tn2n 1 21 1 n1 2n 1 1 n1 1. 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 1裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项 或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵
15、消，要注或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注 意消去了哪些项，保留了哪些项意消去了哪些项，保留了哪些项 2消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项， 前边剩第几项，后边就剩倒数第几项前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 (2020 江西省重点中学协作体联考江西省重点中学协作体联考)已知数列已知数列an满满 足足 an 12ann1(nN*) (1)若数列若数列an是等差数列，求数列是等差数列，求数列 1 anan 1 的前的前 n 项项 和和 Sn； (2)证证明：数列明：数列an2不可能是等比数列不可能
16、是等比数列 (1)解：解：设数列设数列an的首项为的首项为 a1，公差为，公差为 d. 则则 an 1and，代入已知得：，代入已知得：annd1， 又又 ana1(n1)d，即，即 a1(n1)dnd1， 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 所以所以 nda1dnd1， 对应系数相等， 易得， 对应系数相等， 易得 a11， d1，所以，所以 ann. 设设 cn 1 anan 1，则 ，则 cn 1 n（n1） 1 n 1 n1. 所以所以 Sn11 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 n n1. (2)证明：证明： 假设数列假设数列an2是等比数列，则是等比数列，则(a22)2(a
17、1 2)(a32)， 由已知由已知 an 12ann1(nN*)， 可得， 可得 a22a1， a32a2 14a11， 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 代入代入(a22)2(a12)(a32)，易得，易得 a12，a24， a37，a412. 于是数列于是数列an2的前的前 4 项为项为 4，6，9，14； 显然它不是等比数列，所以数列显然它不是等比数列，所以数列an2不可能是等不可能是等 比数列比数列 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 大题考法大题考法 4 错位相减法求数列的和错位相减法求数列的和 公差不为公差不为 0 的等差数列的等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn
18、， 已知已知 S410，且，且 a1，a3，a9成等比数列成等比数列 (1)求求an的通项公式；的通项公式； (2)求数列求数列 an 3n 的前的前 n 项和项和 Tn. 解：解： (1)设设an的公差为的公差为 d， 由题设得， 由题设得 4a1 6d10， a2 3 a1 a9， 所所 以以 4a1 6d10， （a12d）2a1（a18d）. 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 解之得解之得 a11，且，且 d1.因此因此 ann. (2)令令 cnan 3n n 3n，则 ，则 Tnc1c2cn1 3 2 32 3 33 n 1 3n 1 n 3n， ， 1 3Tn 1 32 2
19、 33 n 1 3n n 3n 1， 得：得：2 3Tn 1 3 1 32 1 3n n 3n 1 1 3 1 1 3n 11 3 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 n 3n 11 2 1 23n n 3n 1， 所以所以 Tn3 4 2n 3 43n . 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 1一般地，如果数列一般地，如果数列an是等差数列，是等差数列，bn是等比数列，是等比数列， 求数列求数列an bn的前的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般项和时，可采用错位相减法求和，一般 是和式两边同乘以等比数列是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解的公比，然后作差求解 2在
20、写在写“Sn”与与“qSn”的表达式时应特别注意将两式的表达式时应特别注意将两式“错错 项对齐项对齐” ，以便下一步准确地写出，以便下一步准确地写出“SnqSn”的表达式的表达式 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 已知数列已知数列an的前的前 n 项和项和 Sn3n28n， bn是等差数是等差数 列，且列，且 anbnbn 1. (1)求数列求数列bn的通项公式；的通项公式； (2)令令 cn（ （an1）n 1 （bn2）n ，求数列，求数列cn的前的前 n 项和项和 Tn. 解：解：(1)由题意知，当由题意知，当 n2 时，时，anSnSn 16n5. 当当 n1 时，时，a1S11
21、1，符合上式所以，符合上式所以 an6n5. 设 数 列设 数 列 bn 的 公 差 为的 公 差 为d ， 由， 由 a1 b1b2， a2b2b3， 即即 11 2b1d， 172b13d， 微专题2 数列求和及简单应用 对点训练 可解得可解得 b1 4， d3. 所以所以 bn3n1. (2)由由(1)知知 cn（ （6n6）n 1 （3n3）n 3(n1) 2n 1， ， 又又 Tnc1c2cn， 得得 Tn3222323(n1)2n 1， ， 2Tn3223324(n1)2n 2 两式作差，得两式作差，得 Tn322223242n 1 (n1)2n 2 3 44（ （12n） 12 （n1）2n 2 3n 2n 2. 所以所以 Tn3n 2n 2. 谢谢观赏谢谢观赏 专专 题题 强强 化化 练练
