1、专题五专题五 解析几何解析几何 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 类型一类型一 直线与圆直线与圆 1(2020 全国卷全国卷)若过点若过点(2，1)的圆与两坐标轴都的圆与两坐标轴都 相切，则圆心到直线相切，则圆心到直线 2xy30 的距离为的距离为( ) A. 5 5 B.2 5 5 C.3 5 5 D.4 5 5 解析：解析：由于圆上的点由于圆上的点(2，1)在第一象限，若圆心不在在第一象限，若圆心不在 第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不符合题意，第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不符合题意， 所以圆心必在第一象限，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为设圆心的坐标为(a
2、，a)，则圆的半径为，则圆的半径为 a，圆的标准，圆的标准 方程为方程为(xa)2(ya)2a2. 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 由题意可得由题意可得(2a)2(1a)2a2，可得，可得 a26a5 0，解得，解得 a1 或或 a5， 所以圆心的坐标为所以圆心的坐标为(1，1)或或(5，5)，圆心到直线，圆心到直线 2x y30 的距离均为的距离均为 d| 2| 5 2 5 5 ， 所以，圆心到直线所以，圆心到直线 2xy30 的距离为的距离为2 5 5 . 答案：答案：B 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 2 (2020 全国卷全国卷)已知已知M： x2y22
3、x2y20， 直线直线 l：2xy20，P 为为 l 上的动点，过点上的动点，过点 P 作作M 的的 切线切线 PA，PB，切点为，切点为 A，B，当，当|PM| |AB|最小时，直线最小时，直线 AB 的方程为的方程为( ) A2xy10 B2xy10 C2xy10 D2xy10 解析：解析：圆的方程可化为圆的方程可化为(x1)2(y1)24， 点点 M 到直线到直线 l 的距离为的距离为 d|2 112| 2212 52，所，所 以直线以直线 l 与圆相离与圆相离 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 依圆的知识可知，点依圆的知识可知，点 A，P，B，M 四点共圆，且四点共圆，且
4、 AB MP，所以，所以 |PM| |AB|2S PAM2 1 2 |PA|AM|2|PA|，而，而 |PA| |MP|24， 当直线当直线 MPl 时，时，|MP|min 5，|PA|min1，此时，此时 |PM| |AB|最小最小 所以所以 MPy11 2(x 1)即即 y1 2x 1 2， ， 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 由由 y 1 2x 1 2， ， 2xy20， 解得解得 x 1， y0. 所以以所以以 MP 为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为(x1)(x1)y(y 1)0，即，即 x2y2y10， 两圆的方程相减可得：两圆的方程相减可得：2xy10，即为直线
5、，即为直线 AB 的方程的方程 答案：答案：D 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 3(2019 全国卷全国卷)直线直线 yx1 与圆与圆 x2y22y30 交于交于 A，B 两点，则两点，则|AB|_ 解析：解析： 圆心圆心(0， ， 1)到直线到直线 yx1 的距离为的距离为 d 2 2 2， AB2 r2d22 22（ 2）22 2. 答案：答案：2 2 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 类型二类型二 圆锥曲线的方程与几何性质圆锥曲线的方程与几何性质 1(多选多选题题)2020 新高考卷新高考卷(山东卷山东卷)已知曲线已知曲线 C： mx2ny21.( ) A若
6、若 mn0，则，则 C 是椭圆，其焦点在是椭圆，其焦点在 y 轴上轴上 B若若 mn0，则，则 C 是圆，其半径为是圆，其半径为 n C若若 mn0，则，则 C 是两条直线是两条直线 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 解析：解析：对于对于 A，若，若 mn0，则，则 mx2ny21 可化为可化为x 2 1 m y2 1 n 1，因为，因为 mn0，所以，所以 1 m0，则，则 mx2ny2 1 可化为可化为 x2y21 n， 此时曲线 ， 此时曲线 C 表示圆心在原点， 半径为表示圆心在原点， 半径为 n n 的圆，故的圆，故 B 不正确；对于不正确；对于 C，若，若 mn0，则
7、，则 mx2ny21 可化为可化为 y21 n， ，y n n ，此时曲线，此时曲线 C 表示平行表示平行 于于 x 轴的两条直线，故轴的两条直线，故 D 正确；故选正确；故选 ACD. 答案：答案：ACD 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 2 (2020 全国卷全国卷)设双曲线设双曲线 C： x2 a2 y 2 b2 1(a0， b0) 的左、 右焦点分别为的左、 右焦点分别为 F1， F2， 离心率为， 离心率为 5.P 是是 C 上一点，上一点， 且且 F1PF2P.若若PF1F2的面积为的面积为 4，则，则 a( ) A1 B2 C4 D8 解析：解析：因为因为c a 5
8、，所以，所以 c 5a，根据双曲线的定义，根据双曲线的定义 可得可得|PF1|PF2|2a， SPF1F21 2|PF1| |PF2| 4，即，即|PF1| |PF2|8，因为，因为 F1PF2P，|PF1|2|PF2|2(2c)2， 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 所以所以(|PF1|PF2|)22|PF1| |PF2|4c2，即，即 a25a24 0，解得，解得 a1. 答案：答案：A 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 3 (2019 全国卷全国卷)若抛物线若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭的焦点是椭 圆圆 x2 3p y 2 p 1 的一个焦点，则的一个
9、焦点，则 p( ) A2 B3 C4 D8 解析：解析： 抛物线抛物线 y22px(p0)的焦点是的焦点是 p 2， ，0 ， 椭圆， 椭圆 x2 3p y2 p 1 的焦点是的焦点是( 2p，0)，所以，所以p 2 2p，所以，所以 p8. 答案：答案：D 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 4(2019 全国卷全国卷)设设 F 为双曲线为双曲线 C：x 2 a2 y 2 b2 1(a0， b0)的右焦点，的右焦点，O 为坐标原点，以为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆为直径的圆与圆 x2 y2a2交于交于 P， Q 两点 若两点 若|PQ|OF|， 则， 则 C 的离心率为的离
10、心率为( ) A. 2 B. 3 C2 D. 5 解析：解析：因为因为|PQ|OF|c，所以，所以POQ90 ，又，又|OP| |OQ|a，所以，所以 a2a2c2， 解得解得c a 2，即，即 e 2. 答案：答案：A 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 5(2019 全国卷全国卷)设设 F1，F2为椭圆为椭圆 C： x2 36 y2 20 1 的两个焦点，的两个焦点，M 为为 C 上一点且在第一象限若上一点且在第一象限若MF1F2 为等腰三角形，则为等腰三角形，则 M 的坐标为的坐标为_ 解析：解析：已知椭圆已知椭圆 C： x2 36 y2 20 1 可知，可知，a6，c4，
11、由由 M 为为 C 上一点且在第一象限，上一点且在第一象限， 故等腰三角形故等腰三角形MF1F2中中 MF1F1F28，MF22a MF14， 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 sin F1F2M 8222 8 15 4 ， yM MF2sin F1F2M 15，代入，代入 C：x 2 36 y2 20 1 可得可得 xM3.故故 M 的坐的坐 标为标为(3， 15) 答案：答案：(3， 15) 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 类型三类型三 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 1(2020 全国卷全国卷)已知已知 A、B 分别为椭圆分别为椭圆 E：x
12、 2 a2 y2 1(a1)的左、右顶点，的左、右顶点，G 为为 E 的上顶点，的上顶点，AG GB 8，P 为直为直 线线 x6 上的动点，上的动点，PA 与与 E 的另一交点为的另一交点为 C，PB 与与 E 的另的另 一交点为一交点为 D. (1)求求 E 的方程；的方程； (2)证明：直线证明：直线 CD 过定点过定点 (1)解：解：依据题意作出如下图象：依据题意作出如下图象： 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 由椭圆方程由椭圆方程 E：x 2 a2 y21(a1)可得：可得： A(a，0)，B(a，0)，G(0，1)，所以，所以AG (a，1)，GB (a，1)，所以，
13、所以AG GB a218， 所以所以 a29，所以椭圆方程为：，所以椭圆方程为：x 2 9 y21. (2)证明：证明：设设 P(6，y0)，则直线，则直线 AP 的方程为：的方程为：y y00 6（3） (x3)，即，即 yy0 9 (x3)，联立直线，联立直线 AP 的方程的方程 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 与椭圆方程可得与椭圆方程可得 x 2 9 y21， yy0 9 （x3），）， 整理得整理得 (y2 0 9)x26y2 0 x 9y2 0 810，解得，解得 x3 或或 x 3y2 0 27 y2 0 9 . 将将 x 3y2 0 27 y2 0 9 代入直线代
14、入直线 yy0 9 (x3)可得：可得：y 6y0 y2 0 9 所以点所以点 C 的坐标为的坐标为 3y2 0 27 y2 0 9 ， 6y0 y2 0 9 . 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 同理可得点同理可得点 D 的坐标为的坐标为 3y2 0 3 y2 0 1 ， 2y0 y2 0 1 所以直线所以直线 CD 的方程为：的方程为：y 2y0 y2 0 1 6y0 y2 0 9 2y0 y2 0 1 3y2 0 27 y2 0 9 3y 2 0 3 y2 0 1 x3y 2 0 3 y2 0 1 ， 整理可得整理可得 y 2y0 y2 0 1 8y 0（ （y2 0 3）
15、 6（9y4 0） ） x3y 2 0 3 y2 0 1 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 8y0 6（3y2 0） ） x3y 2 0 3 y2 0 1 ， 整理得整理得 y 4y0 3（3y2 0） ）x 2y0 y2 0 3 4y0 3（3y2 0） ） x3 2 ， 故直线故直线 CD 过定点过定点 3 2， ，0 . 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 2(2019 全国卷全国卷)已知已知 F1，F2是椭圆是椭圆 C：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的两个焦点，的两个焦点，P 为为 C 上的一点，上的一点，O 为坐标原点为坐标原点 (1)若若POF2
16、为等边三角形，求为等边三角形，求 C 的离心率；的离心率； (2)如果存在点如果存在点 P，使得，使得 PF1PF2，且，且F1PF2的面的面 积等于积等于 16，求，求 b 的值和的值和 a 的取值范围的取值范围 解：解： (1)连接连接 PF1， 由， 由POF2为等边三角形可知在为等边三角形可知在F1PF2 中，中，F1PF290 ，|PF2|c，|PF1| 3c，于是，于是 2a|PF1| |PF2|( 31)c，故，故 C 的离心率为的离心率为 ec a 31. 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 (2)由题意可知，满足条件的点由题意可知，满足条件的点 P(x，y)存在当
17、且仅当存在当且仅当 1 2|y| 2c 16， y xc y xc 1，x 2 a2 y 2 b2 1， 即即 c|y|16， x2y2c2， x2 a2 y 2 b2 1. 由由及及 a2b2c2得得 y2b 4 c2. 又由又由知知 y216 2 c2 ，故，故 b4. 专题五 解析几何 真题研析 命题分析 知识方法 由由得得 x2a 2 c2(c 2 b2)， 所以所以 c2b2，从而，从而 a2b2c22b232， 故故 a4 2. 当当 b4，a4 2时，存在满足条件的点时，存在满足条件的点 P. 所以所以 b4，a 的取值范围为的取值范围为4 2，) 专题五 解析几何 命题分析 真
18、题研析 知识方法 1在高考数学试题中，解析几何内容在整个试卷中在高考数学试题中，解析几何内容在整个试卷中 的平均峰值为的平均峰值为 22 分，一般是两个小题，一个解答题分，一般是两个小题，一个解答题 2高考题对解析几何的考查几乎覆盖了该部分的所高考题对解析几何的考查几乎覆盖了该部分的所 有知识，如直线、圆、圆锥曲线等的方程和性质，直线和有知识，如直线、圆、圆锥曲线等的方程和性质，直线和 圆锥曲线的位置关系是必考内容圆锥曲线的位置关系是必考内容 3对直线方程、直线和圆的位置关系、点到直线的对直线方程、直线和圆的位置关系、点到直线的 距离、 圆锥曲线的定义等知识的考查， 其难度多为容易题距离、 圆
19、锥曲线的定义等知识的考查， 其难度多为容易题 和中档题，有时也作为小题的压轴题，以选择、填空的形和中档题，有时也作为小题的压轴题，以选择、填空的形 式出现式出现 专题五 解析几何 命题分析 真题研析 知识方法 4直线与椭圆、抛物线的位置关系是解析几何考查直线与椭圆、抛物线的位置关系是解析几何考查 的重点，一般以压轴题的形式出现考查的内容有最值的重点，一般以压轴题的形式出现考查的内容有最值 和范围问题、定点与定值问题，证明问题、探索性问题和范围问题、定点与定值问题，证明问题、探索性问题 等等 5高考题对解析几何的要求很高，既重思维，高考题对解析几何的要求很高，既重思维，又重又重 计算，所以训练严
20、谨的思维品质，提高运算技能是解决计算，所以训练严谨的思维品质，提高运算技能是解决 解析几何压轴题的关键解析几何压轴题的关键 专题五 解析几何 知识方法 真题研析 命题分析 1两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线若两条不重合的直线 l1，l2的斜率的斜率 k1，k2存在，则存在，则 l1l2 时，时，k1k2，l1l2时，时，k1k21.若给出的直线方程中存在字若给出的直线方程中存在字 母系数，则要考虑斜率是否存在母系数，则要考虑斜率是否存在 2两个距离公式两个距离公式 (1)两平行直线两平行直线 l1：AxByC10 与与 l2：AxByC20 间的距离间的距离
21、 d |C1C2| A2B2. (2)点点(x0，y0)到直线到直线 l：AxByC0 的距离的距离 d |Ax0By0C| A2B2 . 专题五 解析几何 知识方法 真题研析 命题分析 3圆的方程圆的方程 (1)圆的标准方程：圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心，圆心 为为(a，b)，半径为，半径为 r. (2)圆的一般方程：圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E2 4F0)，圆心为，圆心为 D 2 ，E 2 ，半径为半径为 r D2E24F 2 . 4直线与圆的位置关系的判定直线与圆的位置关系的判定 把圆心到直线的距离把圆心到直线的距离 d 和半径和半径 r 的大小加以
22、比较：的大小加以比较： dr相离相离 专题五 解析几何 知识方法 真题研析 命题分析 5圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义 (1)椭圆：椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|) (2)双曲线：双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|) (3)抛物线：抛物线：|MF|d(d 为为 M 点到准线的距离点到准线的距离) 温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中 隐含条件导致错误隐含条件导致错误 6圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆：椭圆： x2 a2 y 2 b2 1(ab0)(焦点在焦点在 x 轴上轴上)或或y 2 a2
23、x 2 b2 1(ab0)(焦点在焦点在 y 轴上轴上) 专题五 解析几何 知识方法 真题研析 命题分析 (2)双曲线：双曲线： x2 a2 y 2 b2 1(a0， b0)(焦点在焦点在 x 轴上轴上)或或y 2 a2 x 2 b2 1(a0，b0)(焦点在焦点在 y 轴上轴上) (3)抛物线：抛物线：y22px，y22px，x22py，x22py(p 0) 7圆锥曲线的重要性质圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系之间的关系 在椭圆中：在椭圆中：a2b2c2；离心率为；离心率为 ec a 1b 2 a2. 在双曲线中：在双曲线中：c2a2b2；离心率
24、为；离心率为 ec a 1b 2 a2. 专题五 解析几何 知识方法 真题研析 命题分析 (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标双曲线的渐近线方程与焦点坐标 双曲线双曲线x 2 a2 y 2 b2 1(a0，b0)的渐近线方程为的渐近线方程为 y b ax； ； 焦点坐标焦点坐标 F1(c，0)，F2(c，0) 双曲线双曲线y 2 a2 x 2 b2 1(a0，b0)的渐近线方程为的渐近线方程为 y a bx， ， 焦点坐标焦点坐标 F1(0，c)，F2(0，c) (3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线的焦点坐标与准线方程 抛物线抛物线 y22px(p0)的焦点的焦点 F p 2， ，0 ， 准线
25、方程， 准线方程 xp 2. 抛物线抛物线 x22py(p0)的焦点的焦点 F 0，p 2 ，准线方程，准线方程 yp 2. 专题五 解析几何 知识方法 真题研析 命题分析 8弦长问题弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交的弦长直线与圆锥曲线相交的弦长 设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入即当斜设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入即当斜 率为率为k， 直线与圆锥曲线交于， 直线与圆锥曲线交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)时，时， |AB| 1k2 |x1x2| 1k2（x1x2）24x1x2. (2)过抛物线焦点的弦长过抛物线焦点的弦长 抛物线抛物线 y22px(p0)过焦点过焦点 F 的弦的弦 AB， 若， 若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则，则 x1x2p 2 4 ，y1y2p2，弦长，弦长|AB|x1x2p. 谢谢观赏谢谢观赏
