1、专题五专题五 解析几何解析几何 微专题微专题2 圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的方程与性质 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 小题考法小题考法 1 圆锥曲线的定义及标准方程圆锥曲线的定义及标准方程 (1)(2020 四川省泸县第四中学月考四川省泸县第四中学月考)已知已知 F1( 1，0)，F2(1，0)是椭圆是椭圆 C 的两个焦点，过的两个焦点，过 F2且垂直于且垂直于 x 轴轴 的直线交的直线交 C 于于 A， B 两点， 且两点， 且|AB|3， 则， 则 C 的方程为的方程为( ) A.x 2 3 y 2 2 1 B.x 2 3 y21 C.x 2 4 y 2 3 1 D.x 2
2、5 y 2 4 1 (2)已知抛物线已知抛物线 C：x24y 的焦点为的焦点为 F，M 是抛物线是抛物线 C 上一点，若上一点，若 FM 的延长线交的延长线交 x 轴的正半轴于点轴的正半轴于点 N，交，交 抛物线抛物线 C 的准线的准线 l 于点于点 T，且，且FM MN ，则，则|NT| _ 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 解析：解析：(1)因为因为|AB|3，所以，所以|AF2|3 2，又 ，又|F1F2|2， 所以在直角三角形所以在直角三角形 AF1F2中，中， |AF1| |F1F2|2|AF2|2 22 3 2 2 5 2， ， 因为因为|AF1|AF2|5 2 3 2 4
3、2a， 所以所以 a2，c1，b 3. 所以椭圆的方程为所以椭圆的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)由由 x24y，知，知 F(0，1)，准线，准线 l：y1. 设点设点 M(x0，y0)，且，且 x00，y00. 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 由由FM MN ，知点，知点 M 是线段是线段 FN 的中点，的中点，N 是是 FT 中点，如图，作中点，如图，作 MM垂直于准线与点垂直于准线与点 M，作，作 NN垂直于垂直于 准线于点准线于点 N，利用抛物线定义，利用抛物线定义，|MF|MM|y01，且，且 |FF|2|NN|2.又又 2(y01)|FF|NN|3，知，知 y0
4、1 2. 所以所以|MF|1 2 13 2，从而 ，从而|NT|FN|2|MF|3. 答案：答案：(1)C (2)3 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 1凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义 转化为到准线的距离处理 如本例转化为到准线的距离处理 如本例 1(2)中充分运用抛物线中充分运用抛物线 定义实施转化，使解答简捷、明快定义实施转化，使解答简捷、明快 2求解圆锥曲线的标准方程的方法是求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后先定型，后 计算计算” ” 所谓所谓“定型定型” ，就是指确定类型，所谓，就是指确定类型，所谓“计算计算” ，
5、就是指利用待定系数法求出方程中的就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值，最的值，最 后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 1(2020 聊城模拟聊城模拟)椭圆椭圆x 2 9 y 2 3 1 的左、右焦点分别的左、右焦点分别 为为 F1、F2，点，点 P 在椭圆上，如果在椭圆上，如果 PF1的中点在的中点在 y 轴上，轴上， 那么那么|PF1|是是|PF2|的的( ) A7 倍倍 B6 倍倍 C5 倍倍 D4 倍倍 解析：解析：设设 PF1的中点为的中点为 M，因为，因为 OM 为为PF1F2的
6、中的中 位线，所以位线，所以 PF2x 轴，轴， 所以所以|PF2|b 2 a 1，因为，因为|PF1|PF2|2a6|PF1| 5，所以，所以|PF1|5|PF2|，故选，故选 C. 答案：答案：C 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 2已知双曲线已知双曲线 C：x 2 a2 y 2 b2 1(a0，b0)的一条渐近的一条渐近 线方程为线方程为 y 5 2 x，且与椭圆，且与椭圆 x2 12 y 2 3 1 有公共焦点，则有公共焦点，则 C 的方程为的方程为( ) A.x 2 8 y2 10 1 B.x 2 4 y 2 5 1 C.x 2 5 y 2 4 1 D.x 2 4 y 2 3
7、 1 解析：解析：由题设知由题设知b a 5 2 ， 又由椭圆又由椭圆 x2 12 y 2 3 1 与双曲线有公共焦点，易知与双曲线有公共焦点，易知 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 a2b2c29， 由由解得解得 a2，b 5，则双曲线，则双曲线 C 的方程为的方程为x 2 4 y2 5 1. 答案：答案：B 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 小题考法小题考法 2 圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质 (1)(2020 武汉市外国语学校模拟武汉市外国语学校模拟)设椭圆设椭圆 C1： x2 a2 1 y2 b2 1(a1b0)与双曲线与双曲线 C2：x 2 a2 2 y 2 b
8、2 1(a20)有公共焦点，过有公共焦点，过 它们的右焦点它们的右焦点 F 作作 x 轴的垂线与曲线轴的垂线与曲线 C1，C2在第一象限分在第一象限分 别交于点别交于点 M，N，若，若S OMN S OFM 1 2(O 为坐标原点 为坐标原点)，则，则 C1与与 C2 的离心率之比为的离心率之比为( ) A.3 4 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 3 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 (2)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线中，双曲线x 2 a2 y 2 b2 1(a 0，b0)的右支与焦点为的右支与焦点为 F 的抛物线的抛物线 x22py(p0)交于交于 A，
9、B 两点，若两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线，则该双曲线的渐近线 方程为方程为_ 解析：解析：(1)设右焦点为设右焦点为 F(c，0)，则，则 c2a2 1 b2a2 2 b2，依题意，依题意 M c，b 2 a1 ，N c，b 2 a2 ，a1a2，若，若S OMN S OFM 1 2，则 ，则 |FM| |FN| 2 3，即 ，即 2 b2 a2 3 b2 a1，即 ，即a2 a1 2 3，所以 ，所以e1 e2 a2 a1 2 3. 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 (2)设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程：，联立方程： x 2 a2 y 2
10、b2 1， x22py， 消去消去 x 得得 a2y22pb2ya2b20， 由根与系数的关系得由根与系数的关系得y1y22b 2 a2 p， 又因为， 又因为|AF|BF| 4|OF|， 所以所以 y1p 2 y2p 2 4p 2，即 ，即 y1y2p， 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 所以所以2b 2 a2 pp，即，即b 2 a2 1 2， ，b a 2 2 . 所以双曲线渐近线方程为所以双曲线渐近线方程为 y 2 2 x. 答案：答案：(1)B (2)y 2 2 x 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 1分析圆锥曲线中分析圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间的关系是求各
11、量之间的关系是求 解圆锥曲线性质问题的关键解圆锥曲线性质问题的关键 2确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键 就是确立一个关于就是确立一个关于 a，b，c 的方程的方程(组组)或不等式或不等式(组组)，再，再 根据根据 a，b，c 的关系消掉的关系消掉 b 得到得到 a，c 的关系式建立关的关系式建立关 于于 a，b，c 的方程的方程(组组)或不等式或不等式(组组)，要充分利用椭圆和，要充分利用椭圆和 双曲线的几何性质、点的坐标的范围等双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 3求双曲线渐近线方程关键在于求求双曲线渐近线方程关键在于求b a或 或a b的
12、值，也可 的值，也可 将双曲线等号右边的将双曲线等号右边的“1”变为变为“0”，然后因式分解得到，然后因式分解得到 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 1设椭圆设椭圆 C： x2 a2 y 2 b2 1(ab0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2，点，点 E(0，t)(0tb0)的左、 右焦点， 过的左、 右焦点， 过 F2的直线交椭圆于的直线交椭圆于 A， B 两点，且两点，且AF 1 AF 2 0，AF 2 2F2B ，则椭圆，则椭圆 E 的离心率的离心率 为为( ) A.2 3 B. 3 4 C. 5 3 D. 7 4 解析：解析：因为因为AF2 2F2B ，设，设
13、BF2x，则，则 AF22x，由，由 椭圆的定义，可以得到椭圆的定义，可以得到 AF12a2x，BF12ax，因为，因为AF1 AF2 0，所以，所以 AF1AF2. 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 在在 RtAF1B 中，有中，有(2a2x)2(3x)2(2ax)2，解，解 得得 xa 3，所以 ，所以 AF22a 3 ，AF14a 3 ， 在在 RtAF1F2中， 有中， 有 4a 3 2 2a 3 2 (2c)2， 整理得， 整理得c 2 a2 5 9，所以 ，所以 ec a 5 3 . 答案：答案：C 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 小题考法小题考法 3 圆锥曲线与
14、圆、直线的综合问题圆锥曲线与圆、直线的综合问题 (2020 齐齐哈尔模拟齐齐哈尔模拟)已知焦点为已知焦点为 F 的抛物线的抛物线 C：y24x 的准线与的准线与 x 轴交于点轴交于点 A，点，点 M 在抛物线在抛物线 C 上，上， 则当则当|MA| |MF|取得最大值时，直线 取得最大值时，直线 MA 的方程为的方程为( ) Ayx1 或或 yx1 By1 2x 1 2或 或 y1 2x 1 2 Cy2x2 或或 y2x2 Dy2x2 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 解析：解析： 过过 M 作作 MP 与准线垂直， 垂足为与准线垂直， 垂足为 P， MA MF MA MP 1 cos
15、 AMP 1 cos MAF， ， 则当则当|MA| |MF|取得最大值时， 取得最大值时， MAF 最大， 此时最大， 此时 AM 与抛物线与抛物线 C 相切，相切， 易知此时直线易知此时直线 AM 的斜率存在， 设切线方程为的斜率存在， 设切线方程为 yk(x1)， 联立联立 y k（x1），）， y24x. 则则 1616k20，k21，k 1， 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 则直线则直线 AM 的方程为的方程为 y (x1) 答案：答案：A 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 圆锥曲线与圆、直线的综合圆锥曲线与圆、直线的综合问题的四个注意点问题的四个注意点 1注意使用
16、圆锥曲线的定义注意使用圆锥曲线的定义 2引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组 3注意用好直线、圆的几何性质注意用好直线、圆的几何性质 4注意把握几何关系和代数关系之间的转换注意把握几何关系和代数关系之间的转换 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 (2020 武汉外国语学校模拟武汉外国语学校模拟)已知抛物线已知抛物线 C：y2 2px(p0)的焦点为的焦点为 F，准线为，准线为 l.过点过点 F 作倾斜角为作倾斜角为 120 的直线与准线的直线与准线 l 相交于点相交于点 A，线段，线段 AF 与抛物线与抛物线 C 相交于相交于 点点 B，且，且
17、|AB|4 3，则抛物线 ，则抛物线 C 的标准方程为的标准方程为_ 解析：解析：由题得直线由题得直线 AF 的方程为的方程为 y 3 xp 2 ，从，从 而而 A p 2， ， 3p ； 由由 y 2 2px， y 3 xp 2 消去消去 x，得，得 3y22py 3p20， 微专题2 圆锥曲线的方程与性质 对点训练 解得解得 y 3 3 p 或或 y 3p(舍去舍去)， 从而从而 B 1 6p， ， 3 3 p ；由；由|AB|4 3得， 得， 1 6p 1 2p 2 3 3 p 3p 2 4 3， ， 解得解得 p1，所以抛物线，所以抛物线 C 的标准方程为的标准方程为 y22x. 答案：答案：y22x 谢谢观赏谢谢观赏 专专 题题 强强 化化 练练
