1、热点热点(九九) 球球 12020 大同市测试试题(正方体外接球)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则 该球的体积为( ) A4 3 B8 3 C12 3 D6 3 2(四棱柱外接球体积)已知底面边长为 1，侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个 球面上，则该球的体积为( ) A.32 3 B4 C2 D.4 3 3(三棱柱外接球)已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB3， AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为( ) A.3 17 2 B2 10 C.13 2 D3 10 4(球与三视图)某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接
2、球的表面积为( ) A.16 3 B4 C3 D以上都不对 5(球体体积)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，现将一 个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器 的厚度，则球的体积为( ) A.500 3 cm3 B.866 3 cm3 C.1 372 3 cm3 D.2 048 3 cm3 62020 深圳市统一考试(三视图球)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的 是某四面体的三视图，则该四面体的外接球的表面积为( ) A.32 3 3 B32 C36 D48 72020 广东省联考试题(圆锥外接球的表面积)已知
3、一圆锥的底面直径与母线长相等， 一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为( ) A.2 3 B. 4 9 C. 2 6 9 D. 8 27 8(三棱柱内切球最值)在封闭的直三棱柱 ABC - A1B1C1内有一个体积为 V 的球若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是( ) A4 B.9 2 C6 D.32 3 92020 江西南昌摸底考试(三棱锥球)已知在三棱锥 S - ABC 中，SASBSCAB 2，ACBC，则该三棱锥的外接球的体积为( ) A.32 3 27 B.4 3 9 C.32 3 D.16 3 102020 山东枣庄 9 月月考(三棱锥
4、球)如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 E，F 分别为 AB，A1B1的中点，则三棱锥 F - ECD 的外接球的体积为( ) A.41 4 B.4 3 C.41 41 64 D.41 41 48 11(正方体内切球体积)设球 O 是正方体 ABCD - A1B1C1D1的内切球，若平面 ACD1截 球 O 所得的截面面积为 6，则球 O 的半径为( ) A.3 2 B3 C. 3 2 D. 3 12 (三棱锥外接球表面积)已知正三棱锥 S - ABC 的顶点均在球 O 的球面上， 过侧棱 SA 及球心 O 的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，若三棱锥的体积
5、为 2 3，则球 O 的表面 积为( ) A16 B18 C24 D32 13 (三棱锥外接球表面积)已知 S、 A、 B、 C 是球 O 表面上的点， SA平面 ABC， ABBC， SAAB1，BC 2，则球 O 的表面积等于_ 14 2020 惠州市考试试题(三棱柱外接球内切球)已知底面边长为 a 的正三棱柱 ABC - A1B1C1的六个顶点均在球 O1上，又知球 O2与此正三棱柱的 5 个面都相切，则球 O1与球 O2 的半径之比为_，表面积之比为_ 15 2020 武汉市调研测试(四面体外接球半径)在四面体 ABCD 中， ADDBACCB 1，则当四面体的体积最大时，它的外接球半
6、径 R_. 162020 广东惠州第一次联考(三棱锥外接球最值)在三棱锥 A - BCD 中，底面 BCD 是直角三角形且 BCCD，斜边 BD 上的高为 1，三棱锥 A - BCD 的外接球的直径是 AB，若该 外接球的表面积为 16，则三棱锥 A - BCD 体积的最大值为_ 热点热点(九九) 球球 1答案：A 解析：由正方体的体积为 8，可知其棱长为 2，且正方体的体对角线为其外接球的直径， 所以其外接球的半径 R 222222 2 3，则外接球的体积 V4 3 R34 3.故选 A. 2答案：D 解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径 r1 2 1212 2
7、21， 所以 V球4 3 134 3 ，故选 D. 3答案：C 解析：如图，过球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为线段 BC 的中点 M.易知 AM1 2BC 5 2， OM1 2AA16，所以球 O 的半径 ROA 5 2 26213 2 ，故选 C. 4答案：A 解析：由题意可知该几何体是轴截面为正三角形的圆锥，底面圆的直径为 2，高为 3， 外接球的半径 r 1 cos 30 2 3 3 ， 外接球的表面积为 4 2 3 3 216 3 ，故选 A. 5答案：A 解析：设球半径为 R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为 4 cm，球心到截面的距离为(R2) cm
8、，所以由 42(R2)2R2，得 R5， 所以球的体积 V4 3R 34 35 3500 3 cm3，故选 A. 6答案：D 解析： 由三视图可知该四面体为 PBCD，如图，将它补成棱长为 4 的正方体，则正方体的体对角 线 PC 就是该四面体的外接球的直径，所以外接球的直径 2R 342，所以 R2 3，则该四 面体的外接球的表面积为 4R24(2 3)248，故选 D. 7答案：B 解析：设圆锥底面圆的半径为 R，球的半径为 r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为 2R 的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，如图所示，所以 r 3 3 R，S球4r2 4 3 3 R 24 3 R2，S
9、圆锥R 2RR23R2，所以球与圆锥的表面积之比 S球 S圆锥 4 3 R2 3R2 4 9，故 选 B. 8答案：B 解析：由 ABBC，AB6，BC8，得 AC10. 要使球的体积 V 最大，则需球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面 ABC 的内切圆的半径为 r， 易知1 268 1 2(6810) r，所以 r2， 此时 2r43，不合题意 因此当球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大， 由 2R3，得 R3 2， 故球的最大体积 V4 3R 39 2，故选 B. 9答案：A 解析： 由题意画出图形如图所示，取 AB 的中点 D，连接 SD，CD.因为 ACBC
10、，所以点 D 为 RtABC 的外接圆的圆心，则外接球的球心 O 在过点 D 且与平面 ABC 垂直的直线上又 SA SBSCAB2，所以 SDAB，且 SD 3 2 AB 3，CD1 2AB1，所以 SC 2SD2CD2， 所以 SDCD，所以 SD平面 ABC，故球心 O 为SAB 外接圆的圆心，则 OD1 3SD 3 3 .连 接 OA，设外接球的半径为 R，则 ROA AD2OD212 3 3 22 3 3 ，所以三棱锥 S - ABC 的外接球的体积 V4 3R 34 3 2 3 3 332 3 27 ，故选 A. 10答案：D 解析： 如图所示，连接 FC1，FD1. 三棱锥 F
11、- ECD 的外接球为三棱柱 FC1D1 - ECD 的外接球 在三角形 ECD 中，取 CD 的中点 H，连接 EH，则 EH 垂直平分 CD，所以ECD 的外心 在 EH 上，设ECD 的外心为点 M. 同理可得FC1D1的外心 N. 连接 MN，则三棱柱外接球的球心为 MN 的中点，设为点 O. 连接 CM，易得 EM2CM2CH2MH2. 又 MH2EM，CH1，所以 EMCM5 4， 连接 OC，则 OC2MO2CM21 5 4 2，解得 OC 41 4 ，即三棱锥 F - ECD 的外接球的 半径 R 41 4 . 所以三棱锥 F - ECD 的外接球的体积 V4 3R 34 3
12、41 4 341 41 48 .故选 D. 11答案：B 解析：如图，易知直线 B1D 过球心 O，且 B1D平面 ACD1，不妨设垂足为点 M，正方体 棱长为 a，则球半径 Ra 2，易知 DM 1 3DB1，所以 OM 1 6DB1 3 6 a，所以截面圆半径 r a 2 2OM2 6 6 a，由截面圆面积 Sr26，得 r 6 6 a 6，即 a6，所以球 O 的半径 Ra 23，故选 B. 12答案：A 解析：设正三棱锥的底面边长为 a，外接球的半径为 R， 因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为 a， 所以 AD 3 2 a，则 AO2 3AD 3 3 a， 所以 3 3 aR，即 a
13、 3R， 又因为三棱锥的体积为 2 3， 所以1 3 3 4 a2R1 3 3 4 ( 3R)2R2 3， 解得 R2，所以球的表面积 S4R216，故选 A. 13答案：4 解析：将三棱锥 S - ABC 补成以 SA、AB、BC 为棱的长方体，易得其对角线 SC 为球 O 的 直径，即 2RSC2R1，所以表面积为 4R24. 14答案： 51 51 解析： 设球 O1、球 O2的半径分别为 R，r，由于正三棱柱的六个顶点均在同一个球面上，所以 球心 O1在上、下底面中心连线段的中点处，又球 O2与正三棱柱的 5 个面都相切，所以点 O2 与 O1重合如图，取上、下底面的中心分别为 F，E
14、，BC 的中点为 D，EF 的中点为 O1，连 接 EF，AD，O1A，则 E 在 AD 上，O1AR，O1Er，在O1EA 中，AE2 3 3 2 a 3 3 a，O1E r1 3 3 2 a 3 6 a，由于 O1A2O1E2AE2，所以 R2 5 12a 2，r21 12a 2，则球 O 1与球 O2的半 径之比为 51，所以球 O1与球 O2的表面积之比为4R 2 4r2 R2 r2 5 12a 2 1 12a 251. 15答案： 15 6 解析：当平面 ADC 与平面 BCD 垂直时，四面体 ABCD 的体积最大，因为 ADAC1， 所以可设等腰三角形 ACD 的底边 CD2x，高
15、为 h，则 x2h21， 此时四面体的体积 V1 3 1 22xh 21 3x(1x 2)，则 V1 3x 2，令 V0，得 x 3 3 ， 从而 h 6 3 ， 则 CDAB2 3 3 ，故可将四面体 ABCD 放入长、宽、高分别为 a，b，c 的长方体中，如 图，则 a2b21， b2c21， a2c24 3， 解得 a2c22 3，b 21 3，则长方体的体对角线即四面体 ABCD 的外接 球直径，(2R)2a2b2c25 3，R 15 6 . 16答案：4 3 解析： 如图所示，过点 C 作 CHBD 于点 H.由外接球的表面积为 16，可得外接球的半径为 2， 则 AB4.因为 AB
16、 为外接球的直径， 所以BDA90 ，BCA90 ，即 BDAD，BCCA. 又 BCCD，CACDC，所以 BC平面 ACD，则 BCAD. 又 BCBDB，所以 AD平面 BCD， 因为 AD平面 ABD，所以平面 ABD平面 BCD. 又平面 ABD平面 BCDBD，所以 CH平面 ABD. 设 ADx(0x4)，则 BD 16x2. 在BCD中， 因为BD边上的高CH1， 所以V三棱锥A - BCDV三棱锥C - ABD1 3 1 2x 16x 2 11 6 x416x21 6 x28264， 当 x28 时，V三棱锥A - BCD有最大值，且三棱锥 A - BCD 体积的最大值为4 3.
